【数学】山东省济南市2017届高考一模试卷(理)(解析版)

1、2+x山东省济南市 2017 届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1（5 分）设集合 a=x|0，b=x|4x1，则 ab=（ ）a3，1b4，2c2，1 d（3，12（5 分）若复数 z 满足（+i）z=4i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）a1i bi c+i d1+ i3（5 分）中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里 40 名学生得分数据的茎叶图如图所示若规定得分不小于 85 分的学生得到“诗词达人”的称号，小于 85 分且不小于 70 分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得

2、到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生， 则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）a2 b4 c5 d64（5 分）在abc 中，ac=，bc=1，b=60，则abc 的面积为（ ）ab2c2 d35（5 分）若变量 x，y 满足约束条件则 z=的最小值等于（ ）a4 b2 cd06（5 分）设 xr，若“|xa|1（ar）”是“x 20”的充分不必要条件，则 a 的取值 范围是（ ）a（，32，+） c（3，2）b（，3）（2，+） d3，27（5 分）我国古代数学家刘徽（如图 1）在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是，他对九章算术中

3、“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟盒方盖”：一正方体相邻的两个侧面为底座两次内切圆柱切割，然后剔除外部，3 33 3 2剩下的内核部分（如图 2）如果“牟盒方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为 下列几幅图中的（ ）abcd8（5分）若 0，有四个不等式：a b ；log 3log 3；a+2 b+1a +b 2ab ，则下列组合中全部正确的为（ ） ；abcd9（5 分）已知 o 为坐标原点，f 是双曲线 c：=1（a0，b0）的左焦点，a，b 分别为左、右顶点，过点f 做 x 轴的垂线交双曲线于点 p，q，连接 pb 交 y 轴于点 e，

4、连 结 ae 交 qf 于点 m，若 m 是线段 qf 的中点，则双曲线 c 的离心率为（ ）a2 b10（5 分）设函数 f（x）=则实数 a 的取值范围是（ ） a（ ， ）c3 d当 x ， 时，恒有 f（x+a）f（x），b（1， ）n*22c（ ，0）d（ ， 二、填空题（本小题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11（5 分）函数 f（x）= +的定义域为 12（5 分）执行如图所示的程序框图，当输入的 x 为 2017 时，输出的 y=13（5 分）已知（12x） （nn ）的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，则展 开式中所有项的系数和为 14（5 分）在平

5、面直角坐标系内任取一个点 p（x，y）满足y= 与直线 x=2，y=2 围成的阴影区域（如图所示）内的概率为 ，则点 p 落在曲线15（5 分）如图，正方形 abcd 的边长为 8，点 e，f 分别在边 ad，bc 上，且 ae=3ed，cf=fb，如果对于常数 m，在正方形 abc 的四条边上有且只有 6 个不同的点 p，使得 =m 成立，那么 m 的取值范围是 三、解答题（本题共 6 小题，共 75 分）16（12 分）已知函数 f（x）=（sin +cos ） 2 cos +（1）求 f（x）的单调区间；（2）求 f（x）在0，上的值域17（12 分）如图，正四棱台 abcda b c

6、d 的高为 2，下底面中心为 o，上、下底面边1 1 1 1长分别为 2 和 4（1）证明：直线 oc 平面 add a ；1 1 1（2）求二面角 bcc o 的余弦值118（12 分）已知a 是公差不为零的等差数列，s 为其前 n 项和，s =9，并且 a ，a ，an n 3 2 5 14成等比数列，数列b 的前 n 项和为 t =n n（1）求数列a ，b 的通项公式；n n（2）若 c = n，求数列c 的前 n 项和 m n19（12 分）2017 年 1 月 25 日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式，mobike lite 型（lite 版）每 3

7、0 分钟收 0.5 元（不足 30 分钟的部分按 30分钟计算）有甲、乙、丙三人相互对立的到租车点租车骑行（各租一车一次）设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为 ， ， ，三人租车时间都不会超过 60 分钟，甲、乙 均租用 lite 版单车，丙租用经典版单车（1） 求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（2） 设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望20（13 分）已知函数 f（x）= ax2（a+1）x+lnx，其中 ar （1） 当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性；（2） 当 a=0 时，设 g（x）=xf（x）+2，是否存在区间m，n （

8、1，+）使得函数 g（x）在区间m，n上的值域为k（m+2），k（n+2）？若存在，求实数 k 的取值范围；若不存在， 请说明理由22221（14 分）设椭圆 c：+ =1（ab0），定义椭圆的“伴随圆”方程为 x +y=a2+b2；若抛物线 x =4y 的焦点与椭圆 c 的一个短轴重合，且椭圆 c 的离心率为 （1）求椭圆 c 的方程和“伴随圆”e 的方程；（2）过“伴随圆”e 上任意一点 p 作椭圆 c 的两条切线 pa，pb，a，b 为切点，延长 pa 与“伴 随圆”e 交于点 q，o 为坐标原点1 证明：papb；2 若直线 op，oq 的斜率存在，设其分别为 k ，k ，试判断 k

9、k 是否为定值，若是，求出1 2 1 2该值；若不是，请说明理由2 2 22abc一、选择题1d【解析】集合 a=x|参考答案0=x|3x2，b=x|4x1，ab=x|3x1=（3，1 故选：d2d【解析】（+i）z=4i，故选：d3a【解析】由茎叶图可得，获”诗词达人”的称号有 8 人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为 故选：a4a【解析】ac=，bc=1，b=60，=，解得 n=2 人，由余弦定理可得：ac =ab +bc 2abbcsinb，即：13=ab +1ab， 解得：ab=4 或3（舍去）， = abbcsi

10、nb= 故选：a5b=【解析】由约束条件作出可行域如图，2+x2+x3 3联立z=z=，解得 a（2，2），的几何意义为可行域内的点与定点 p（3，0）连线的斜率 ，的最小值等于2故选：b6a【解析】由|xa|1（ar），解得：a1xa+1由 x 20，解得 x1 或 x2又“|xa|1（ar）”是“x 20”的充分不必要条件，1a1，或 a+12a2，或 a3故选：a7d【解析】由题意，“牟盒方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为故选 d8b【解析】若 0，则 ba0，1 a b ，正确；2 令 b=2，a=1，则 log 3=log 3；故错误；a+2 b+1由 ，2222223

11、3 2 22 2 2得：b+a2ba，故 a，故 ab，成立，故正确；ba0，a 2ab+b 0，a ab+b ab（*）而 a，b 均为正数，a+b0，（a+b）（a ab+b ）ab（a+b），a +b a b+ab 成立而 2ab a b+ab ，故不一定成立，故错误；故选：b9c【解析】由题意可得 p（c， ），b（a，0），可得 bp 的方程为：y= （xa），x=0 时，y=，e（0， ），a（a，0），则 ae 的方程为：y=m 是线段 qf 的中点，可得：2=即 2c2a=a+c， 可得 e=3故选：c，（x+a），则 m（c， ），10c2【解析】a=0 时，显然不符题意；当

12、 x ， 时，恒有 f（x+a）f（x），即为 f（x）的图象恒在 f（x+a）的图象之上， 则 a0，即 f（x）的图象右移故 a，b 错；画出函数 f（x）=（a0）的图象，当 x= 时，f（ ）=a ；而 f（x+a）=，则 x= 时，由a（ +a） +a =a ，解得 a=（舍去），随着 f（x+a）的图象左移至 f（x）的过程中，均有 f（x）的图象恒在 f（x+a）的图象上，则 a 的范围是（故选：c，0），二、填空题11 x|x1【解析】由题意得：解得：x1，故答案为：x|x1 124，n*992【解析】模拟程序的运行，可得x=2017，x=2015，满足条件 x0，x=2013

13、满足条件 x0，x=2011满足条件 x0，x=1不满足条件 x0，退出循环，y=4输出 y 的值为 4故答案为：4131【解析】（12x） （nn ）的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，=，n=2+7=9（12x） 的展开式中所有项的系数和为： （121） =1故答案为：114【解析】s =2（2 ） 阴影s =4，正方形dx=3lnx| =3（ln2ln ）=3ln4则点 p 落在曲线 y= 与直线 x=2，y=2 围成的阴影区域（如图所示）内的概率为 故答案为：15（1，8）【解析】以 ab 所在直线为 x 轴，以 ad 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 如图，则 e

14、（0，6），f（8，4）（1）若 p 在 ab 上，设 p（x，0），0x8，=（x，6），=（8x，4）=x 8x+24，x0，8，824222当 m=8 时有一解，当 8m16 时有两解（2）若 p 在 ad 上，设 p（0，y），0y8=（0，6y），=（8，4y）=（6y）（4y）=y 10y+24，0y8，124当 m=1 或 8m24，有一解，当1m8 时有两解 （3）若 p 在 dc 上，设 p（x，8），0x8=（x，2），=（8x，4）=x 8x+8，0x88 4当 m=8 或 m=8 时有一解，当8m8 时有两解 （4）若 p 在 bc 上，设 p（8，y），0y8，=（8

15、，6y），=（0，4y）=（6y）（4y）=y 10y+24，0y8，124当 m=1 或 8m24 时有一解，当1m8 时有两解综上，在正方形 abc 的四条边上有且只有 6 个不同的点 p，使得 那么 m 的取值范围是（1，8）故答案为：（1，8）=m 成立，22三、解答题16解：（1）函数 f（x）=（sin +cos ） 2cos +化简可得：f（x）=1+sinx 由cosx+得=sinxxcosx+1=2sin（x，）+1，f（x）的单调增区间为 由，得，kzx+2k，f（x）的单调减区间为，kz（2）由（1）可知 f（x）=2sin（x x0，上，）+1，x当 x当 x=，时，函

16、数 f（x）取得最小值为时，函数 f（x）取得最大值为 12+1=3=1故得函数 f（x）在0，上的值域为，317证明：（1）证法一：正四棱台 abcda b c d 的高为 2，1 1 1 1下底面中心为 o，上、下底面边长分别为 2 和 4ao a c ，四边形 aoc a 是平行四边形，1 1 1 1aa oc ，1 1aa 平面 add 1a ，oc 平面 add a ， 1 1 1 1 1直线 oc 平面 add a 1 1 1证法二：设上底面中心为 o ，以 o 为原点，oa 为 x 轴，ob 为 y 轴，oo 为 z 轴，1 1建立空间直角坐标系，o（0，0，0），c （1d（

17、，0，2），a （1，0，2），a（2），0，0），=（0，2），=（2， ，0），=（ ，0，2），设平面 add a 的法向量 =（x，y，z）， 1 1则 ，取 x=2+2=0oc 平面 add a ，1 1 1直线 oc 平面 add a 1 1 1解：（2）b（0， ，0），c（2，得 =（ ，2，0，0），1），=（2， ，0），=（ ，2），设平面 bcc 的法向量 =（x，y，z），1则 ，取 x=1，得 =（1，2，平面 cc o 的法向量 =（1，0，0），1设二面角 bcc o 的平面角为 ，1），则 cos= = =二面角 bcc o 的余弦值为 118解：（1）设a

18、的公差为 d，ns =9，并且 a ，a ，a 成等比数列， 3 2 5 14a =1+2（n1）=2n1 n，解得 a =1，d=21nn+1n+1 nn n+1t = = （3 1），t = （3 1）， n n+1b =t t = （3 3 ）=33 =3 n+1 n+1 nb =3nn（2）c = = = = n，m = + + n m = + + + n，得： m =1+ + + +n=1+= ，m = n19解：（1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过 30 分钟还车其概率 p= （2） 的取值可能为 1.5，2，2.5，3p（=1.5

19、）= = ，p（=2）=（1 ） + （1 ） + （1 ）=，p（=2.5）=（1 ）（1 ） + （1 ）（1 ）+（1 ） （ 1 ）=，p（=3）=（1 ）（1 ）（1 ）= 的分布列为：p1.52 2.5 3e=1.5 +2+2.5+3=2220解：（1）f（x）的定义域是（0，+），f（x）=ax（a+1）+ =，（a0），令 f（x）=0 得：x= 或 x=1；若 0a1，则 x（0，1）时，f（x）0，x（1， ）时，f（x）0，x（ ，+）时，f（x）0，函数 f（x）在（0，1），（ ，+）递增，在（1， ）上递减；a=1 时，则 x（0，+）时，f（x）0，当且仅当 x=

20、1 时，f（x）=0，故函数 f（x）在（0，+）递增；若 a1 时，则 x（0， ）时，f（x）0，x（ ，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，故函数 z 在（0， ），（1，+）递增，在（ ，1）递减，综上，0a1 时，f（x）在（0，1），（ ，+）递增，在（1， ）递减；a=1 时，f（x）在（0，+）递增，无递减区间；a1 时，f（x）在（0， ），（1，+）递增，在（ ，1）递减；（2）a=0 时，f（x）=lnxx，g（x）=x xlnx+2，g（x）=2xlnx1，令 （x）=g（x），则 （x）=2 0，x（1，+），g（x）在（1，+）递增，x（1，+），有 g

21、（x）g（1）=10，即函数 g（x）在区间（1，+）递增，假设存在区间m，n（1，+），使得函数 g（x）在区间m，n上的值域是k（m+2），k（n+2），则 ，问题转化为关于 x 的方程 x xlnx+2=k（x+2）在区间（1，+）上是否存在两个不相等实 根，222222 22 222 2222 222222 2即方程 k=在区间（1，+）上是否存在两个不相等实根，令 h（x）=，x（1，+），h（x）=，令 p（x）=x +3x2lnx4，x（1，+），则 p（x）=0，x（1，+），故 p（x）在（1，+）递增，故x（1，+），p（x）p（1）=0，即 h（x）0， 故 h（x）在区间（1，+）递增，故方程 k=在区间（1，+）上不存在