2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)(内考)

1、2019 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在题目给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求.1（5 分）已知全集 u =r ，集合 a =-2， -1，0，1， 2 ， b = x | x 24 ，则如图中阴影部分所表示的集合为 ( )a -2， -1，0， 1 b 0c -1， 0d -1，0， 12（5 分）若复数 z =(1-i )1 +i2，则 | z |=()a8 b 2 2c2 d 23（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( )a23b43c2d834 2 14（5 分）已知 a =2 3

2、， b =4 5 ， c =253 ，则 ( )a b a cb a b cc b c ad c a 0, a 1) 的图象恒过点 a ，则下列函数中图象不经过点 a 的是a y = 1 -xb y =|x -2 |c y =2 x -1d y =log (2 x )28（5分）已知函数 y =sin(wx +j)的最小正周期为p2，直线 x =p3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为 ( )a y =4sin(4 x +p6)b y =sin(2 x +p3)pc y =sin(4 x - )31 5pd y =sin( x + )4 129（5 分）阅读如图所示的程序框图，

3、若运行相应的程序输出的结果为 0，则判断框中的条 件不可能是 ( )a n 2014b n 2015c n 2016d n 2018x 2 y 210（5 分）已知双曲线 c : - =1(a 0, b 0) 的右焦点 f 到渐近线的距离为 4，且在双a 2 b 2 2曲线 c 上到 f 的距离为 2 的点有且仅有 1 个，则这个点到双曲线 c 的左焦点 f 的距离为 2 1( )a2 b4 c6 d811（5 分）已知 x2+y2=4 ，在这两个实数 x ， y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差第 2 页（共 17 页）数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ( )a 2 10b121

4、0c 10d321012（5分）函数 f ( x ) =xe x，方程 f ( x)2-( m +1) f ( x ) +1 -m =0 有 4 个不相等实根，则 m 的取值范围是 ( )e 2 -ea ( ,1)e 2 +eb (e2 -e +1 e 2 +e, +)c (e2 -e +1 e2 +e,1)d (e 2 -ee 2 +e, +)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）已知向量 a =(2, -4) ， b =( -3, -4) ，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为 14（5 分）设 x， y 满足约束条件3x +2 y -6 0x0，则 z

5、 =x -y 的最大值是 y015（5 分）学校艺术节对同一类的 a ， b ， c ， d 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评 奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“a 作品获得一等奖”；乙说：“c 作品获得一等奖”丙说：“b ， d 两项作品未获得一等奖”丁说：“是a 或 d 作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 16（5分）正四面体 abcd 的棱长为 4， e 为棱 bc 的中点，过 e 作其外接球的截面，则截 面面积的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（

6、12 分）在 dabc ， b =p3， bc =2 （1） 若 ac =3 ，求 ab 的长；（2） 若点 d 在边 ab 上， ad =dc ， de ac ， e 为垂足， ed =62，求角 a 的值18（12 分）某城市随机抽取一年 (365 天）内 100 天的空气质量指数 api 的监测数据，结果第 3 页（共 17 页）统计如表：api0 ， 50 (50 ，100(100 ，(150 ，(200 ，(250 ，300150200250300空气质量优良轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污 重度污染天数染4 13 18 30 9 11 15（1）若某企业每天由空气污染造成的经

7、济损失 s （单位：元）与空气质量指数 api（记为 w) 的关系式为：0,0 剟w 100s =4w-400,100 300不超过 600 元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面 2 2 列 联表，并判断能否有 95% 的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：p ( k 2k ) 00.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k 2 =n ( ad -bc ) 2( a +b )(c +d )( a +c )(b +d

8、 )非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10019（12 分）如图，多面体 abcdef 中，底面 abcd 是菱形， bcd =60，四边形 bdef 是正方形且 de 平面 abcd （）求证： cf / / 平面 ade ；（）若 ae = 2 ，求多面体 abcdef 的体积 v 第 4 页（共 17 页）20（12 分）已知椭圆 c :x 2 y 2 6+ =1(a b 0) 的离心率为 ，以 m (1,0) 为圆心，椭圆的 a 2 b 2 3短半轴长为半径的圆与直线 x -y + 2 -1 =0 相切（1） 求椭圆 c 的标准方程；（2） 已知点 n (3,2) ，和平面内一点

9、 p ( m ，n)(m 3) ，过点 m 任作直线 l与椭圆 c 相交于 a ，b 两点，设直线 an ， np ， bn 的斜率分别为 k ， k ， k ， k +k =3k ，试求 m ， n 满1 2 3 1 3 2足的关系式21（12 分）已知函数 f ( x ) =lnx -kx +1 （1） 求函数 f ( x) 的单调区间；（2） 若 f ( x) 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围；（3）证明：ln 2 ln3 lnn n( n -1)+ + 1) 3 4 n +1 4 +请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分答题时用 2b 铅笔在答

10、题卡上把所选的题号涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）已知曲线 c : x + 3 y = 3 和 c :1 2x = 6 cos j y = 2 sin j(j为参数），以原点o 为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位（1）把曲线 c 、 c 的方程化为极坐标方程1 2（2）设 c 与 x 轴、 y 轴交于 m ， n 两点，且线段 mn 的中点为 p 若射线 op 与 c 、c 交 1 1 2于 p 、 q 两点，求 p ， q 两点间的距离选修 4-5：不等式选讲23设 a ， b ， c 0 ，且 ab +bc +ca =1 ，求证：

11、（1） a +b +c 3 ；第 5 页（共 17 页）a b c（2） + + 3( a + b + c ) bc ac ab第 6 页（共 17 页）2019 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）（内考）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在题目给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求.【解答】解：由 venn 图可知阴影部分对应的集合为 a ( b ) ，ub = x | x2厖4 =x | x 2 或 x -2 ， a =-2， -1，0，1， 2 ， b =x | -2 x b 4a =2 31=16 31 ， c =25

12、3， a c ，第 7 页（共 17 页）n2nn5可得： b a 0, a 1) 的图象恒过点 a ，即 x -1 =0 ，可得 x =1 ，那么： y =1 恒过点 a(1,1)把 x =1 ， y =1 带入各选项，经考查各选项，只有 a 没有经过 a 点故选： a 【解答】解：函数 y =sin(wx +j)的最小正周期为 2p p，故： t = =w 2解得： w =4 ，p2，第 8 页（共 17 页）直线 x =p3是其图象的一条对称轴，故： 4p3+j=kp+p2， ( k z )解得： j=kp-5 p6(k z )，当 k =1 时， j=p6，故选： a 【解答】解：模拟

13、执行程序，可得前 6 步的执行结果如下： s =0 ， n =1 ；满足条件，执行循环体， s = 3 ， n =2 ；满足条件，执行循环体， s =0 ， n =3 ；满足条件，执行循环体， s =0 ， n =4 ；满足条件，执行循环体， s = 3 ， n =5 ；满足条件，执行循环体， s =0 ， n =6观察可知， s的值以 3 为周期循环出现，当 n 的值除以 3 余 1 时，可得对应的 s的值为 3 ，由于： 2014 =671 3 +1所以：判断条件为 n 2014 ？时， s = 3 符合题意 故选： a bx ，【解答】解：设渐近线为 y =a右焦点 f 到渐近线的距离为

14、 4， 2abc2 +b 2=4 ，即 b =4 双曲线 c 上到 f 的距离为 2 的点有且仅有 1 个，这个点是右顶点， c -a =2 2 (c -a )2=4 =b ， (c -a )4=b2=(c -a )(c +a ) ， c +a =(c -a )3=8 则这个点到双曲线 c 的左焦点 f 的距离为 c +a =8 ，1故选： d 【解答】解：根据题意，设插入的三个数为 a 、b 、c ，即构成等差数列的五个数分别为 x ，第 9 页（共 17 页）2a ， b ， c， y ，则有 x +y =a +c =2b ，则 b =x +y2x +y+yb +y x +3 y ， c

15、= = =2 2 4，则这个等差数列后三项和为 b +c +y =3b =3 x +9 y 4，又由x2+y2=4，设x =2ac，y =2sina，则b +3c + (4y = 33xa)+2y ( =a c3 1 0o +s a ，3 =js 2 2i3 1n +)0s i即这个等差数列后三项和的最大值为 故选： d 3 102；【解答】解：函数f ( x ) =xe x是连续函数，x =0 时，y =0 x 0 时，函数的导数为 f (x) =1 -xe x，当 0 x 0 ， f ( x) 递增；当 x 1 时， f (x) 0 ， f ( x) 递减，1 1可得 f ( x ) 在

16、x =1 处取得极大值 ， f ( x ) (0 ， e ex 0 时， f (x) =-1 -xe x0 ，函数是减函数，作出 y = f ( x ) 的图象， 设 t = f ( x) ，关于 x 的方程 f ( x)2-( m +1) f ( x ) +1 -m =0 即为 t2-( m +1)t +1 -m =0 ，1 1 有 1 个大于 实根，一个根在 (0, )e e；1 1 -( m +1) +1 -m 0解得 m (e2 -e +1 e 2 +e,1) 故选： c 第 10 页（共 17 页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.【解答】解：根据题意，设

17、向量 a 与 b 夹角为 q ， 向量 a =(2, -4) ， b =( -3, -4) ，则 | a |=2 5 ， | b |=5 ，且 a b =2 (-3) +( -4) ( -4) =10 ，cosq =a b 10 5= = ， | a | b | 5 2 5 5故答案为：55【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z =x -y 得 y =x -z ，平移直线 y =x -z ，由图象直线当直线 y =x -z 经过 b (2,0) 时，直线 y =x -z 的截距最小，此时 z 最大为 z =2 -0 =2 ， 即 z =x -y 的最大值是 2，故答案为：2第 11

18、 页（共 17 页）【解答】解：根据题意， a ， b ， c ， d 作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品 a 为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意； 假设参赛的作品 b 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品 c 为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意；假设参赛的作品 d 为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意； 故获得参赛的作品 c 为一等奖；故答案为： c 【解答】解：将四面体 abcd 放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体 abcd 的外接球，正四面体 abcd 的棱长为 4

19、， 正方体的棱长为 2 2 ，可得外接球半径 r 满足 2 r =2 2 3 ，解得 r = 6e 为棱 bc 的中点，过 e 作其外接球的截面，当截面到球心 o 的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心 o 到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为 r = r 2 -2 =2 ，得到截面圆的面积最小值为 s =pr 故答案为： 4p2=4p三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.【解答】解：（1）设 ab =x ，则由余弦定理有： ac2=ab2+bc2-2 ab bc cos b ，即 32 =2 2 +x 2 -2 x 2c

20、os60 ， 解得： x = 6 +1 ，所以 ab = 6 +1 ；第 12 页（共 17 页）p（2）因为 ed =6 ed 6 ，所以 ad =dc = = 2 sin a 2sin a在 dbcd 中，由正弦定理可得：bc cd= ，sin bdc sin b因为 bdc =2a ，所以2 6=sin 2 a 2sin a sin 60所以 cos a =22，所以 a = 4【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 s 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 a （1 分）由 200 s 600 ，得 150 3.841 （10 分）所以有 95% 的把握认为空

21、气重度污染与供暖有关 （12 分）【解答】（）证明： 底面 abcd 是菱形， ad / / bc ， 四边形 bdef 是正方形， de / / bf ，bf bc =b ， 平面 ade / /平面 bcf ，cf 平面 bcf ， cf / /平面 ade （）解：连结 ac ，交 bd 于 o ，四边形 bdef 是正方形且 de 平面 abcd de 平面 abcd ，又 ac 平面 abcd ， ac de ， 底面 abcd 是菱形， ac bd ，又 bd de =d ， ac 平面 bdef ，ae = 2 ， bcd =60，ad =de =bd =1 ，第 13 页（共

22、17 页） ao =co =32， 多面体 abcdef 的体积：v =2va -bdef1=2 ao s 3正方形bdef1 3 =2 123 2=33【解答】解：（1）由椭圆 c :x 2 y 2+ =1(a b 0) ，焦点在 x a 2 b 2轴上，则 m (1,0) 到直线 x -y + 2 -1 =0 的距离 d =|1 +0 - 2 -1| 1 +1=1 ， b =d =1 ，c b 2 6离心率 e = = 1 - = ，解得： a = 3 ， a a 2 3 椭圆 c 的标准方程x 23+y 2 =1 ；（2）当直线斜率不存在时，由x =1x2+y32=16，解得 x =1

23、， y = ，3不妨设 a(1,6 6 ) ， b (1,- ) ，3 3k +k =2 ，1 32 k = ，2 3 m ， n 的关系式为 3n =2 m 当直线的斜率存在时，设点 a( x ， y ) ， b ( x ， y ) ，直线 l : y =k ( x -1) ，1 1 2 2联立椭圆整理得： (3k2+1)x2-6 k2x +3k2-3 =0 ，第 14 页（共 17 页）1 21 2131 16k 2 3k 2 -3由韦达定理可知： x +x = ， x x = ，3k 2 +1 3k 2 +12 -y 2 -y 2 -k ( x -1)(3 -x ) +2 -k ( x

24、-1)(3 -x ) k +k = 1 + 2 = 1 2 2 13 -x 3 -x (3 -x )(3 -x )1 2 1 22kx x -(4 k +2)( x +x ) +6 k +12= 1 2 1 2 ，x x -3( x +x ) +91 2 1 2，=2(12k 2 +6) 12k 2 +6=2 2 k = ，2 3 m ， n 的关系式为 3n =2 m 【解答】解：（1）函数f( x ) 的定义域为 (0, +), f (x) =1 1-k ，当k 0 时，f (x) = -k 0, f ( x) x x1 1 1在 (0, +)上是增函数，当k 0 时，若 x (0, )

25、时，有 f (x) = -k 0 ，若 x ( , +)k x k时，有 f(x) =1 1 1-k 0 ， f ( x) 0 不成立，故k 0 ，又由（1）知 f ( x ) 的最大值为 f ( ) ，要使 f ( x ) 0 恒成立，则 f ( ) 0 即可，即k k-lnk 0 ，得 k1 （3）由（2）知，当k =1 时，有 f ( x ) 0 在 (0, +)恒成立，且 f ( x) 在 (1,+)上是减函数， f（ 1 ） =0 ，即 lnx x-1 ，在 x 2 ， +)上恒成立，令 x =n2，则 lnn2n2-1 ，即2lnn ( n -1)( n+1)，从而lnn n -1 ln 2 ln3 ln 4 lnn 1 2 3 n -1 n ( n -1) , + + + + + + =n +1 2 3 4 5 n +1 2 2 2 2 4得证请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分答题时用 2b 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程【解答】解：（1）线c :x + 3y = 3 和 c :1 2x = 6 cos j y = 2 sin j(j为参数），以原点o 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为 x =rcosq， y =rsin q