高三文科数学总复习专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题1.已知直线l:y=x+1,圆o:x2+y2=,直线l被圆截得的弦长与椭圆c: =1(ab0)的短轴长相等,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆c的方程.(2)过点的直线l0交椭圆于a,b两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点t,使得无论l0如何转动,以ab为直径的圆恒过定点t?若存在,求出点t的坐标;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出a,b的值,从而求得椭圆c的方程.(2)先根据直线l0的斜率不存在及斜率

2、为0的情况确定t的坐标,然后再证明以ab为直径的圆恒过定点t即可.【解析】(1)由题意知,圆o的半径r=,圆o(0,0)到直线y=x+1的距离d=,则直线l被圆截得的弦长为,依题意2=2b,b=1.又椭圆的离心率,所以椭圆c的方程为+y2=1.(2)假设存在定点t(x0,y0),设a(x1,y1),b(x2,y2)(x1x2).当直线l0的斜率不存在时,易知a(0,1),b(0,-1),则圆的方程为x2+y2=1.当直线l0的斜率为0时,直线l0的方程为y=-,代入椭圆方程可得即圆的方程为易知t(0,1).下面证明,当直线l0的斜率存在且不为0时,t(0,1)也符合.设直线l0的方程为y=kx

3、-,联立消去y得(2k2+1)x2-=0.则.此时,=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),即当直线l0的斜率存在且不为0时,以ab为直径的圆恒过点t(0,1).综上所述,存在定点t,其坐标为(0,1).【加固训练】已知椭圆c: =1(ab0)的左,右焦点分别为f1,f2,a为上顶点,af1f2为正三角形,以af2为直径的圆与直线y=x+2相切.(1)求椭圆c的标准方程.(2)过点f2作斜率为k的直线l与椭圆交于m,n两点,在x轴上是否存在点p(m,0),使得=+时四边形pmqn为菱形,且点q在椭圆c上?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知af1f2为正三角形,由a

4、(0,b),f2(c,0),得af2的中点,点b到直线y=x+2的距离为解得a2=4,b2=3,所以椭圆c的标准方程为=1.(2)由(1)可知f2(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1).联立方程,得整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设m(x1,y1),n(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2-2)=,又=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),所以=+=(x1+x2-2m,y1+y2)得5k4+16k2+12=0,因为5k4+16k2+120恒成立,故满足条件的点p(m,0)不存在.2.过x轴上动点a(a,0)引抛物线y=x2+

5、1的两条切线ap,aq.切线斜率分别为k1和k2,切点分别为p,q.(1)求证:k1k2为定值,并且直线pq过定点.(2)记s为面积,当最小时,求的值.【解析】(1)方法一:设过a点的直线为:y=k(x-a),与抛物线联立得得x2-kx+ka+1=0,=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1k2=-4为定值.抛物线方程y=x2+1,求导得y=2x,设切点p,q的坐标分别为(xp,yp),(xq,yq),k1=2xp,k2=2xq,所以xp+xq=2a,xpxq=-1.直线pq的方程:y-yp=(x-xp),由yp=+1,yq=+1,得到y=(xp+xq)x-xpxq+1,整理可得y=

6、2xa+2,所以直线pq过定点(0,2).方法二:设切点p,q的坐标分别为(xp,yp),(xq,yq),求导得y=2x,所以lap:y=2xp(x-a),(xp,yp)在直线上,即yp=2xp(xp-a),由p(xp,yp)在抛物线方程上得yp=+1,整理可得yp=2xpa+2,同理yq=2xqa+2,所以lqp:y=2xa+2,所以直线pq过定点(0,2).联立pq的直线方程lqp:y=2xa+2和抛物线方程y=x2+1,可得:x2-2xa-1=0.所以xpxq=-1,xp+xq=2a,所以k1k2=2xp2xq=-4为定值.(2)设a到pq的距离为d.当且仅当t=时取等号,即a=.因为=

7、(xp-a,yp)(xq-a,yq)=xpxq-a(xp+xq)+a2+ypyq,ypyq=(2xpa+2)(2xqa+2)=4a2xpxq+4+4a(xp+xq)=4a2+4,所以=3a2+3=.3.(2015郑州模拟)已知两点a(-2,0)和b(2,0),直线am,bm相交于点m,且这两条直线的斜率之积为-.(1)求点m的轨迹方程.(2)记点m的轨迹为曲线c,曲线c上在第一象限的点p的横坐标为1,直线pe,pf与圆(x-1)2+y2=r2（0rb0)经过点,离心率为.(1)求椭圆c的方程.(2)直线y=k(x-1)(k0)与椭圆c交于a,b两点,点m是椭圆c的右顶点,直线am与直线bm分别

8、与y轴交于点p,q,试问以线段pq为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.【解析】(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆c的方程是+y2=1.(2)以线段pq为直径的圆过x轴上的定点,由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则有又因为点m是椭圆c的右顶点,所以点m(2,0),由题意可知直线am的方程为y=(x-2),故点.直线bm的方程为y=(x-2),故点q若以线段pq为直径的圆过x轴上的定点n(x0,0),则等价于=0恒成立,又因为(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4y1y2=k(x1-1)

9、k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1即x轴上的定点为(,0)或(-,0).故以线段pq为直径的圆过x轴上的定点(,0).5.(2014平顶山模拟)已知椭圆e:+=1(ab0)的离心率为,过其右焦点f2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于a,b两点,与抛物线y2=4x交于c,d两点,且=.(1)求椭圆e的方程.(2)若过点m(2,0)的直线与椭圆e相交于g,h两点,设p为椭圆e上一点,且满足+=(t0,o为坐标原点),当|-|时,求实数t的取值范围.【解析】(1)因为直线l过右焦点f2且与x轴垂直,所以|ab|=,|cd|=4.又椭圆e的离心率为,且=,故椭圆e的方程为:+=1.(2)由

10、题意知直线gh的斜率不为零.设直线gh的方程为:x=my+2.联立+=1与x=my+2,消去x得:(m2+2)y2+4my-28=0.设p(x,y),g(x1,y1),h(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,x1+x2=m(y1+y2)+4=.因为+=,所以p(,-).因为p点在椭圆上,所以将p点坐标代入椭圆方程得t2=.因为|-|,所以|gh|2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y214m4+11m2-250,所以0m2b0)的左、右焦点,p是椭圆e上的点,以f1p为直径的圆经过f2,=a2.直线l经过f1,与椭圆e交于a,b两点,f2与a,b两点

11、构成abf2.(1)求椭圆e的离心率.(2)设f1pf2的周长为2+,求abf2的面积s的最大值.【解析】(1)因为f1,f2分别是椭圆e的左、右焦点,p是椭圆e上的点,以f1p为直径的圆经过f2,所以pf2x轴.所以|pf2|=.又=a2,所以|pf2|2=a2,即=a,所以a2=4b2,即a2=4(a2-c2),化简得3a2=4c2,所以=,所以椭圆e的离心率等于.(2)因为f1pf2的周长为2+,所以2a+2c=2+.所以b2=,所以椭圆e的方程为x2+4y2=1.当直线l的斜率不存在时,abf2的面积s=2c=.当直线l的斜率存在时,设为k,由f2与a,b两点构成abf2得到k0.由已知得直线l的方程为y=k(x+),即2kx-2y+k=0,所以f2(,0)到直线l的距离d=.得(1+4k2)x2+4k2x+3k2-1=0,所以|ab|=.当且仅当k2=时等号成立.又,所以abf2的面积s的最大值等于.【加固训练】如图,已知椭圆c: =1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,其上顶点为a.已知f1af2是边长为2的正三角形.(1)求椭圆c的方程.(2)过点q(-4,0)任作一动直线l交椭圆c于m,n两点,记=.若在线段mn上取一点r,使得=-,当直线l运动时,点r在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.【解析】(1)因为f1af2是边长为2的正三角形,所以