不等式在实际问题中的应用微点突破

1、微点突破不等式在实际问题中的应用应用 1基本不等式在实际问题中的应用【例 1】 (2017 天一中学检测 )某种商品原来每件售价为25 元，年销售 8 万件 .(1)据调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2 000 件，要使销售的总收入不低于原总收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面12技术创新，并提高定价到x 元.公司拟投入 6(x 600)万元作为技改费用，投入501万元作为固定宣传费用，投入 5x 万元作为浮动宣传费用 .试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原总收入与总

2、投入之和？并求出此时商品的每件定价.解 (1)设每件定价为 x 元，x25依题意，有80.2 x258，1整理得 x2 65x 1 0000，解得 25 x40.答：要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元.(2)依题意， x25 时，121不等式 ax 25850 6(x 600) 5x 有解，15011等价于 x25 时， a x 6x 5有解，1501150 1x x2x 10(当且仅当 x 30 时，等号成立 )， a10.2.6x 6答：当该商品明年的销售量a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原总收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30 元.

3、应用 2二次不等式在实际问题中的应用【例 2】 某公司为帮助尚有26.8 万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20 万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息 ).已知该种消费品的进价为每件40 元，该店每月销售量q(单位：百件 )与销售价 p(单位：元 /件)的关系用图中的一条折线表示 .职工每人每月工资600 元，该店应交付的其他费用为每月13 200 元.(1)若当销售价 p 为 52 元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)若该店只安排40 名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元

4、？解 (1)设该店每月的利润为 S 元，有职工 m 名，则 S q(p 40) 100600m 13 200. 2p140， 40p58，又由图可得 qp 82，58p81，所以当 40p58 时，S( 2p140)(p40) 100600m13 200，当 58p 81 时，S( p 82)(p40) 100 600m13 200.由题设知，当 p52 时， S0，即(252140)(52 40) 100600m 13 2000，解得 m50，即此时该店有员工 50 人 .(2)由题意知 S（ 2p140）（ p40）10037 200，40p 58，（ p82）（ p40） 100 37

5、200， 58p81，当 40p58 时，求得当 p55 时， S取最大值 7 800(元 )；当 58p 81 时，求得当 p61 时， S取最大值 6 900(元 ).所以当 p55 时， S有最大值为 7 800 元.设该店最早可在n 年后还清所有债务，依题意得 127 800 n268 000200 0000，解得 n5，即该店最早可在5 年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55 元.探究提高 不等式在实际问题中应用广泛，常借助于函数模型求解最值，进而探求实际问题的解；在利用不等式研究实际问题模型中的数量关系时，常常运用基本不等式、二次函数等工具探求最值，有时也涉及导数的应用，问题

6、最终还原为实际问题的解 .【训练 1】 某单位拟建一个扇环面形状的花坛 (如图所示 )，该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成 .按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为 (弧度 ).(1)求 关于 x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘 (实线部分 )进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元 /米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 为何值时， y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为 ，则 30(1

7、0x)2(10x)，10 2x所以 10x (0x10).(2)花坛的面积为1(102x2(52)x)(10 x) x25x 50(0x10).装饰总费用为 9(10 x)8(10 x)17010x，所以花坛的面积与装饰总费用的比x2 5x5025x50y x，17010x10（ 17x）3913243令 t17x，则 y1010 t t10，12当且仅当 t18 时取等号，此时x1，11.答：当 x1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.【训练 2】 (2017 常州水平监测 )某辆汽车以 x 千米 /小时的速度在高速公路上匀速行驶 (考虑到高速公路行车安全要求60 x 120)时，每小时的

8、油耗 (所需要的汽1 4500 油量 )为5 xk x升，其中k 为常数，且60 k 100.(1)若汽车以120 千米 /小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 升，欲使每小时的油耗不超过9 升，求x 的取值范围；(2)求该汽车行驶100 千米的油耗的最小值.解(1)由题意，当1x120 时， 5 xk4 500 11.5， k100.x14 500由5 x100x9，得 x2145x4 5000， 45x100.又 60x120， 60x100.(2)设该汽车行驶100 千米的油耗为 y 升，则 y100 1x4 500xx5k20k90 00020 x x2 (60 x 120)，111令 t x，则 t120，60，y90 000t2 20kt 20k2k290 000 t9 000 20900，对称轴 tk， 60k100，9 000k119 000150，90 .若k1 ，即 75k100，9 000120k2则当 tk，即 x9 000k时， ymin20；9 0