上海春考数学试卷

1、2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合 A1,2,3,集合B3,4,则AB.2. 不等式 x 1 3 的解集为。3.若复数 z 满足 2z 13 6i （ i 是虚数单位），则 z 。4.若 cos1 ，则 sin。325. 若关于 x 、 y 的方程组 x 2 y 4 无解，则实数 a 。3xay66. 若等差数列 an 的前 5 项的和为 25 ，则 a1 a5 =。7.若 P 、 Q 是圆 x2y22x 4 y4 0 上的动点，则

2、PQ 的最大值为。8.已知数列 an 的通项公式 an3n ，则 lim a1a2 a3an。nann9.若 x2 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数x项的值为。10. 设椭圆x2y 21 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，2则使得F1F2P 是等腰三角形的点 P 的个数是。11.设 a1, a2 , a6 为1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1a2 a3a4 a5 a6 3 的不同排列的个数为。12.设 a ， bR ，函数 f ( x) xab 在区间 1,2上有两个不同的零点，x则 f1 的取值范围为。二、选择题13. 函数 f ( x

3、) x 1 2 的单调递增区间是（）。(A) 0,(B) 1,(C),0 (D),114. 设 aR ，“ a0”是“ 10 ”的（）。a(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件15. 过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。(A) 三角形 (B) 长方形 (C) 对角线不相等的菱形 (D) 六边形16. 如图所示，正八边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为 2 . 若 P 为该正八边形上的动点，则 A1 A3 A1P 的取值范围为（）(A)0, 862 (B)2

4、2, 862(C)862, 22 (D)862,862三、解答题17. 如图，长方体 ABCD A1 B1C1D1 中，ABBC2, AA13.（ 1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积；（ 2）求异面直线 A1C 与 DD 1 所成角的大小 .18. 设 a R , 函数2xa.f (x)12x（1）求 a 的值，使得 f ( x) 为奇函数；（2）若 f xa2 对任意 xR 成立，求 a 的取值范围 .219. 某景区欲建造两条圆形观景步道 M 1 、M 2 （宽度忽略不计），如图所示，已知 AB AC ，AB AC AD 60（单位：米），要求圆 M 1 与 AB 、AD分别相切于点 B

5、、D，圆 M2与 AC、 AD分别相切于点 C、D.（ 1）若 BAD 60 ，圆 M 1 和圆 M 2 的半径（结果精确到 0.1 米）；（ 2）若观景步道 M 1 与 M 2 的造价分别为每米 0.8千元与每米 0.9 千元。如何设计圆 M 1 、M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？ （结果精确到 0.1 千元）。220. 已知双曲线： x2y2 1 （ b 0 ），直线 l ： y kx m （ km 0 ），bl 与交于 P 、 Q 两点， P 为 P 关于 y 轴的对称点，直线 PQ 与 y 轴交于点 N 0, n .（1）若点 2,0 是 的一个焦点，求的渐近线方程；（

6、2）若 b1，点 P 的坐标为 1,0 ，且 NP3 PQ ，求 k 的值；2（3）若 m2 ，求 n 关于 b 的表达式。21. 已知函数 f x log 2 1x1x（1）解方程 f x1 ；（2）设 x1, 1， a1,，证明： ax 11,1 且axfax 1f xf1;a xa（3）设数列 xn中， x11, 1 ， xn 11 n 1 3xn1 ， nN * , 求 x1 的取值3xn范围，使得 x3xn 对任意 nN* 成立.2017 年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第712 题每题 5 分）考生

7、应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合 A1,2,3,集合B3,4,则AB.【知识点】集合的运算【解】 A B 1,2,33,4 1,2,3,4 ，故 A B 1,2,3,4 .2. 不等式 x 1 3 的解集为。【知识点】绝对值不等式的解法【解】 x 1 33x 132 x 4 ，故原不等式的解集为2,4 。3. 若复数 z 满足 2z136i （ i 是虚数单位），则 z 。【知识点】复数的基本概念、运算【解】 2z46i ， z2 3i ，故 z 2 3i 。4. 若 cos1 ，则 sin。32【知识点】诱导公式【解】 sincos1 ，故 sin21 .2335. 若关于 x

8、、 y 的方程组 x 2 y 4 无解，则实数 a 。3xay6【知识点】线性方程组解的判定【解】方程组x2 y4 无解直线 l 1 ： x2y 4 与直线 l2 ： 3x ay 63xay6互相平行，所以 3a6 ，解得 a6 。1246. 若等差数列 an 的前 5 项的和为 25 ，则 a1 a5 =。【知识点】等差数列的前 n 项和，等差中项【解】由 S5 5a325 得 a35 ，所以a1 a5 2a3 10，故 a1 a5 10 .7. 若 P 、 Q 是圆 x2y22x4 y 4 0上的动点，则PQ 的最大值为。【知识点】圆的一般方程，圆的性质【解】由 x2y 22x 4 y 4

9、0 得 x 1 2y 2 21，所以半径 r1，故 PQ的最大值为 2.8. 已知数列 an 的通项公式 an3n ，则 lim a1a2 a3an。nan【知识点】等比数列的前n 项和，数列极限【解】由 an3n 得首项 a13 ，公比 q31，所以 a1a2a3an3 13n3n，1323 1a1a2a3an33n1313故 limlim2limn1nnann3n2322n9. 若 x的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数x项的值为。【知识点】二项式定理n【解】令 x1 ，则 x23n729 ，解得 n6 ；x6r所以 x2展开式的通项 Tr 1C6r x6 r2C6r 2r

10、 x6 2rxx令 r3，则 T4C63 23160, 故所求的常数项为 160.10. 设椭圆 x2y 21 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，2则使得F1F2P 是等腰三角形的点P 的个数是。【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想【解】由x22y21得 a22, b21 ，所以 ca2b21，故F1F22c2 且F11,0 , F21,0.（1）若点P 位于椭圆的短轴的端点处，F1F2 P 是等腰三角形， 此时点P 有两个；（2）若点 P 在椭圆上，则 PF2 max 21； PF2 min21 . ，所以21F1F22 1, F1F2 为两腰、 PF2 为

11、底边构成, 故以 PF1等腰三角形， 此时点 P 有两个；同理以 PF2, F1F2为两腰、 PF1 为底边构成等腰三角形，此时点P 有两个；综上（ 1）（ 2）满足条件的点 P 的个数为 6 个。11. 设 a1, a2 , a6 为1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1a2a3a4a5a63 的不同排列的个数为。【知识点】排列、组合【解】根据题意可知，若 i1,2,3,4,5,6 ； j1,2,3,4,5,6 ，且 ij ，则ai a j1,2,3,4,5即 aia j的最小值为1，当 a1a2a3a4a5a63时，只有 a1a2 a3a4a5 a61，所以在 1,2与 2,1中选

12、出一个，在 3,4与 4,3中选出一个，在 5,6与 6,5中选出一个，然后将选出的三个元素全排列，故不同排列的总数为C21 C21 C21P3348 .12. 设 a ， b R ，函数 f ( x)xab 在区间1,2上有两个不同的零点，x则 f 1的取值范围为。【知识点】函数性质的综合，不等式的基本性质【解】方法 1 令函数 f ( x)xab 在区间 1,2上有两个不同的零点分x别为 x1 、 x2 ,且 x1x2 ，所以 1x12 、1x22，故0x111、 0x21 1 （* ）令 f (x)0，则 xab 0 ，即 x2bxa0 （ x0 ） （ * ）x故 x1 、 x2 是（

13、 * ）的解，所以 x2bxa( xx1 ) x x2 0于是 f (1)(1 x1)(1x2 )( x11)( x21)由（*）可知 0( x11)( x2 1)1，即 0f (1)1 。方法 2f1a b1由于函数 f ( x)ab 在区间 1,2上有两个不同的零点，则必xx有 a0。且 1a2 ，即1 a4，此时 xaa （当且仅当 xa 时，等号成2x立）令 xab 0 ，即 xabxa ， yxa 在区间 1,2 上与函数记 g( x)xb ，则函数 g( x)xxxy b 的图像有两个不同的交点。由于 g(1) 1a, g(2)2 a ，再令 1a2aa10得 a22a ，则 2

14、a22（1）若 1 a2，则 1 a 2b 1 a21a2可行域为 b2a ，其端点分别为 2,3、 2,22、 1,2 。所以ba1当 a2,b3或 a1,b2时，ab10 ；当 a2, b22 时，a b1322。此时 0f (1) 32 2 ；（2）若 a2 ，则 1 a 2 a3，则2 2b 3 ，即 3b2 2 ，2所以 0 1 ab322，此时 0f (1)322 ；（3）若 2 a4 ，则 1 a 2a ，则 2 ab 2a ，221a2可行域为 b2a其端点分别为 2,3、4,4、2,22ba22当 a2, b3 时， ab1 0 ；当 a4,b4 时， ab11；当a 2,

15、b2 2 时， ab1322. 此时，0f (1)1；综上（ 1）（2）（3）可得，0f (1)1，即 f(1)的取值范围是0,1 .方法 3 令 f (x) xab0 ，则 x 2bxa0xa故“函数 f (x)xb 在区间 1,2上有两个不同的零点”等价于x“关于 x 的方程 x 2bxa0 在区间 1,2 上有两个不同的根。”记 g (x)x 2bxa ，对称轴为 xb ，则其图像在区间1,2 上与 x20b24a01b24b2轴有两个不同的交点，需满足条件：2可行1ba0g (1)042ba0g (2)0域端点为3,2、2,1、4,4 ，故当 b3, a2 或 b2, a1时，f (1

16、)ab10；当 b4, a4 时，f (1)ab1，所以0f (1)1，即 f (1)的取值范围是 0,1 .方法 4 要使得函数 f (x) xab 在区间1,2上有两个不同的零点，必x有 a0 ， b0 ，否则不成立。还需满足如下条件：1a21a41ab0f (1)02ab0 ，以下解法同上。fa0af (2)02b02二、选择题13. 函数 f ( x) x 1 2 的单调递增区间是（）。(A) 0,(B) 1,(C),0 (D),1【知识点】函数的单调性【解】函数f (x)x1 2 图像的对称轴为直线x1 ，且该抛物线的开口向上，所以该函数的单调递增区间为1,，故正确选项为B.14.

17、设 aR ，“ a 0 ”是“ 10 ”的（）。a(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件【知识点】分式不等式的解法，充要条件【解】C.10a 0 , 所以 a0 是 10 成立的充要条件 . 故正确选项为aa15. 过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。(A) 三角形 (B) 长方形 (C) 对角线不相等的菱形 (D) 六边形【知识点】平面的性质、截面【解】不可能是三角形，故正确选项为A16. 如图所示，正八边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为 2 . 若

18、P 为该正八边形上的动点，则 A1 A3 A1P 的取值范围为（）(A)0, 862(B)22, 862(C)862, 22 (D)862,862【知识点】平面向量的数量积【解】 A1 A3A1 A2A2 A3，当点 P 在 A8 处， A1A3A1 P 取最小值，此时A1P A1 A8 A1 A3 A1PA1 A2A2 A3A1A8 22cos135cos9022 ；当点 P在 A4处， A1A3A1P 取最大值， A1PA1 A2A2 A3A3 A484222262 .82所以 A1 A3A1 P 的取值范围是22,862，故正确答案为 B三、解答题17. 如图，长方体 ABCD A1 B

19、1C1D1 中，ABBC2, AA13.（ 1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积；（ 2）求异面直线 A1C 与 DD 1 所成角的大小 .【知识点】椎体的体积，异面直线所成的角【解】（ 1）四棱锥 A1ABCD 的底面为正方形ABCD ,其面积 S4;由于A1 A 底面 ABCD , 所以 A1 A 是四棱锥 A1 ABCD 的高，故 h3 ，于是 VA ABCD1 Sh1434 .133（2）由于 A1 A / D1 D , 所以 AA1C 或其补角即为异面直线 A1C 与 DD1 所成角。在三角形 AA1C 中， A1 A3, AC22, A1C22223217由余弦定理可得， cosA

20、A1C91783 170, 所以2317173 17cosAA1C，即 AA1Carccos 317 ，故异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小为17arccos 3 17 .1718. 设 a R , 函数2xa.f (x)12x（1）求 a 的值，使得 f ( x) 为奇函数；（2）若 fxa2 对任意 xR 成立，求 a 的取值范围 .2【知识点】函数的奇偶性，指数函数的性质，分类讨论思想【解】（ 1）函数 f ( x)2xa 的定义域为，2x1R由于 f ( x) 为奇函数，所以对于任意实数x , 均有 f ( x)f ( x) 成立即 2 xa2xa 对于任意实数 x 都成立 ,

21、 所以 1a 2x2xa2 x12x11 2x12x于是 1 a 2x2xa , 即 1 a 12x0 , 所以 a 1 .（2） f xa 22xaa2 ，由于 2 x1 0 ，故 a2xa 222x12若 a0，则 02 ，不等式恒成立；若若a0，则 2xa2 ，因为 y 2x0 ，所以 a 20 ，解得 0 a2 ；aaa0 ，则 2xa2 ，此时不等式不是恒成立。a综上所述，实数a 的取值范围是0,2 。19. 某景区欲建造两条圆形观景步道 M 1 、M 2 （宽度忽略不计），如图所示，已知 ABAC ，AB AC AD 60（单位：米），要求圆 M 1 与 AB 、AD分别相切于点

22、B、D，圆 M2与 AC、 AD分别相切于点 C、D.（1）若 BAD60 ，求圆 M 1 和圆 M 2 的半径（结果精确到 0.1 米）；（ 2）若观景步道 M 1 与 M 2 的造价分别为每米 0.8千元与每米 0.9 千元。如何设计圆 M 1 、M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？ （结果精确到 0.1 千元）。【知识点】三角比，建立函数关系式，基本不等式【解】（ 1）已知 BAD 60 ，得圆 M 1 的半径为AB tan 1BAD60tan 3034.6（米）。2又CAD906030 , 得圆M2的半径为ACtan 1ACD60tan1516.1（米）。2（2）设圆 M

23、1 和圆 M 2 的半径分别为 r1 和 r2， ttan1BAD2由于 0BAD 90, 得01BAD45，故0t12r1 60tan1BAD60t ， r260 tan451BAD60 1t ，221t因此，观景步道的总造价为12 8 1 t18263.9 （千元）17 12 2 144 17 841 t当且仅当 t1 时等号成立，此时半径 r130, r2 202答：当观景步道M 1 和 M 2 的半径分别设计为30米和 20 米时，总造价最低，且最低总造价约为 263.9 千元。220. 已知双曲线： x2y2 1 （ b 0 ），直线 l ： y kx m （ km 0 ），bl 与

24、交于 P 、 Q 两点， P 为 P 关于 y 轴的对称点，直线 PQ 与 y 轴交于点 N 0, n .（1）若点2,0 是 的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若 b1，点 P 的坐标为 1,0 ，且 NP3 PQ ，求 k 的值；2（3）若 m2 ，求 n 关于 b 的表达式。【知识点】双曲线的标准方程及其基本性质，直线与双曲线的位置关系【解】（1）根据已知条件，可得 c2,a1 ，所以 b23, 故 的方程为x2y21，其渐近线方程为 y3x .3（2）当 b1 时，的方程为 x2y21，点 P 1,0设 Q s,t，由 NP3 PQ 得， 1,n3s1, t，解得 s5223又由点 Q

25、 在 上，解得 t4 ，故直线 l的斜率 kt01 .3s ( 1)2（3）当 m 2时，直线 l 的方程为 ykx2 ，设 P x1, y1Q x1 , y1由 b2 x2y 2b2 得， b2k 2 x24kx b24 0ykx2由已知可得， b2k 20 且16 k24 b2k 2b240x1x24kb2k 2 （ * ），又 P所以x1, y1，x1x2b24b2k 2故直线 PQ 的方程为 yy1y2y1xx1x2x1由点 N 0,n 在直线 P Q 上，得x1 y2x2 y1x1 kx22x2kx122kx1x22（* ）nx1x2x1x2x1x2将（ *）代入（ * ）得， n2kb242 ，即 nb2.4k221. 已知函数1xf xlog 2 1x（1）解方程 f x1 ；（2）设 x1, 1 ， a1,，证明： ax11, 1且axf ax1f xf1;axa（3）设数列