小学奥数 几何五大模型相似模型

1、页眉内容任意四边形、梯形与相似模型四 似 角 模型（一）金字塔模型金 AD AE DE AFaB AC BC AG ； SA ade : SA ABC AF : AG。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数

2、里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例11（二）沙漏模型【解析】如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB 16 , AD 10 , 度是多少？图中有一个沙漏，也有金字塔，所以 BF:FC BE:CD 4:16但我们用沙漏就能解决问题，41:4，所以FC 101 4【例2】【解析】【例3】【解析】S ADE 【例41【解析】$ afg【巩固】 【解析】 【巩固】【解析】型相三形BE 4，那么FC的长因为AB平行于CD，ABC , AB的长为15厘米，AC被分为60等份。如图，测量小玻璃管口径的量具如果小玻璃管口 DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB ），那么小玻璃管口径

3、 DE是多大？有一个金字塔模型， 所以DE: AB DC: AC , DE:15 40:60 ,所以DE 10厘米。 如图，de平行BC , 根据金字塔2 2$ ADE : $ ABC 2: 5设 $ ADE 4 份，:$ ECB 4:15。如图， ABC中，DE , FG , BC互相平行，贝y Sa aDE : &边形 DEGF : &边形 FGCB设Sa ade 1份，根据面积比等于相似比的平方，所以 Sa ade : Sa afg AD : AF 1: 4 , Sa ade4 份，SA ABC 9 份，进而有S四边形DEGF 3份，S四边形FGCB 5份，所以 SA ade : S四边

4、形DEGF : S四边形FGCB如图， DE平行BC，且AD 2 , AB 5 , AE 4，求AC的长。由金字塔模型得 AD: AB AE:AC DE: BC 2:5，所以AC 4 2 5 10如图， ABC 中，DE , FG , MN , PQ , BC互相平行，AD DF FM MP PB , 贝U Sa ade : Sa边形 DEGF : Sa边形 FGNM : S边形 MNQP : S四边形 PQCB设 Sa ade 1份， Sa ade : Sa afg AD2 :AF2 1:4 ,因此Saafg 4份，进而有S四边形DEGF 3份，冋理有S四边形FGNM 5份，Ss边形MNQP

5、 7份，Sg边形PQCB 9份若AD:DB 2:3，那么 ADE模型 AD : AB AE : AC:$ ecbDE : BC2: (24:25 ,则 $ ABC 25 份，SbeC25 53 153)2:5AD DFFB ,0ABC AD2: AB21:9 ,1:3: 5所以有 Sa ADE : &边形DEGF : S四边形FGNM : S四边形MNQP : S边形PQCB 1:3: 5:7:9【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。【例51【解析】已知 a ABC 中，DE 平行 BC，若 AD:DB 2:3 ,且 S弟形 dbce 比 Sa

6、ade 大 8.5 cm2 , 求 Sa ABC。根 据 金【例6】【解析】BM 6【巩固】【解析】【例7】【解析】【例8】【解析】【例9】【解析】AD : AB DE : BC 2: (23)2:54份，大17份，字塔 模 型22 : 524 : 25设421份，S弟形DBCE比2Sa ABC 12.5 cm如图：MN平行BC , 在沙漏模型中，因为AM : AB MN : BC42 cm如图，已知 DE平行ADE :ABCS梯形 DBCE25MPN : Sa BCPSamPN : S BCP 2:3 ,因为由沙漏模型得BO:EOAD : AB DE: BC 2:3如图， ABC中,平方厘米

7、。那么1因为AE - AB ,4根据相似模型可知则 S CDEADEADE则 ABC 25 份，恰好是8.5 cm2 ,所以4:9 ,4:9，所以MN : BC 2:3 ,在金字塔模型中有：AM 4 cm , AB 4 2 36 cm，所以AM 4 cm，求BM的长度3: 2，那么 AD : ABBC, BO:EOBC:DE 3:2，再由金字塔模型得11 AB , AD -AC , ED与BC平行， EOD的面积是 1 44AED的面积是平方厘米。1 AD AC , ED 与 BC 平行，4ED: BC 1:4, EO:OC 1:4 ,AES COD 4s eod 4平方厘米，4 15平方厘米

8、，又因为S aED : S CDE在图中的正方形中，积的几倍？ 连接BC，易知OA-3A , B , C分别是所在边的中点，AD : DC 1:3，所以 S AED 55 （平方厘米）.VCDO的面积是VABO面/ EF ,根据相似三角形性质，可知 所以VCDO的面积等OB:OD AE:AD，且 于VCBO的面积；由OA:BE DA:DE 1:2 ,11OA -BE AC 可得 CO24VABO面积的3倍。如图，线段AB与BC垂直，面积是多少？解法一：这个图是个对称图形， 且各边长度已经给出，看看.作辅助线BO ,则图形关于BO对称，有SvadoSvADO : SvDBO 4 : 6设VADO

9、的面积为因为 SvABE 6 1030 8 4 15.解法二：连接 DE、AC 由于 AD EC 4 , BD BE 6，所以DE / AC，根 据相似三角形性质，可知 DE: AC BD:BA 6:10根据梯形蝴蝶定理，Svdoe : Svdoa : S/coe : S/coa 32:3OA,所以 SVCDOScBO已知 AD EC 4，BD3S/ABO ,即 VCDO的面积是BE 6，那么图中阴影部分不妨连接这个图形的对称轴S/ceO ，S/dBOSveBO ，且2:3 .2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形 ABE的面积为8份.2 30 ,而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为

10、3:5，3 5:35所以S阴影：S弟形adec15 15 : 9 15 15 2515: 32，即S阴影:529:15:15:25 ,S梯形ADEC ；32【例10】【解析】1 115又 S梯形ADEC 10 10 - 6 6=32，所以 S阴影S梯形ADEC 15 .2 232（2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形 ABCD的面积是16, BG: GC 3:1，则四边形EFGH的面积 因为FGHE为平行四边形，所以 EC/AG，所以AGCE为平行四边形.1-164 .41BG:GC 3:1，那么 GC: BC 1:4，

11、所以 Syagce Syabcd4又AE GC，所以AE:BG GC : BG 1:3，根据沙漏模型，Syagce4FG:AF BG:AE 3:1，所以 Syfghe已知三角形ABC的面积为a , 交CD于G，求阴影部分的面积.【解析】已知AF: FC 2:1 ,【例11】AF : FC2:12 4 3 .4,E是BD的中点，且EF / BC ,【例12】【解析】【例13】【解析】【巩固】【解析】且EF/EF :BC AF : AC 2:3又因为E是BD的中点,EG:EF -22 3:4，所以EFBC ,2bc ,3用相似三角形性且 S/aef : S/ABC 4 : 9 .所以质可知EG是三

12、角形DBC的中位线，那么GF :EF 1:4 ,可得 S/CFG :SafeEG1:8a18 .已知正方形 ABCD，过C的直线分别交 AB、AD的延长线于点AE 10 cm , AF 15 cm，求正方形 ABCD的边长.方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC : AF CE: EF ,CF EFS/CFG : S/ABC1:18，那么 S/CFGF，且BCDC:AE CF:EF，设正方形的边长为xcm，所以有Ax x即石w 1，解得x 6，所以正方形的边长为6cm .DC CEAE EF方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得x1015如图，三角形 ABC是一块锐角三角形余料，边

13、 BC 120毫米，高 米，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 观察图中有金字塔模型PNBCx120 如图，AP PH BPAB， AD ABx一 1，解得x80AD80毫AB、5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有AP BPAB ABPN，设正方形的边长为X毫米,-48，即正方形的边长为 48毫米.在 ABC中，有长方形DEFG , G、F在BC上,PHAD1，即E分别在AB、AC上，AH 是 ABC 边 BC 的高，交 DE 于 M , DG: DE 1:2 , BC 12 厘米, AH 8厘米，求长方形的长

14、和宽.观察图中有金字塔模型DEBCADDGBD所以有DEDGABAHABBCAH2xx,解得2448-1 .x 一,2x12877所以有5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以AD -BD 1，设 DG x，则 DE 2x , AB AB48，因此长方形的长和宽分别是一厘米,7厘米.7【例14】【解析】【例15】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角 形，已知这个三角形在 AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多 少？根据题中条件，可以直接判断出 EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相 似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题

15、.做GM垂直DC于M，交AB于N .因为EF / DC ,所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为 EF :DC 4:121:3 ,所以 GN :GM 1:3，又因为 MN GM GN 12,1 2 所以三角形GDC的面积为12 18 108 cm2 .2如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长 求阴影部分的面积是多少？所以 GM 18 cm ,1和3，割出图中的阴影部分,【解析】根据相似三角形的对应边成比例有:NF 3EM 1【例16】【解析】5 则 NF , EM9（2008年101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 .设大、小正方形的

16、边长分别为 m厘米、n厘米（m n ）,则【例17】【解析】【例18】【解析】【例19】（厘米），它们的面积2 2m n 52，所以m 8 .若m 5，则m2 n2 52 2 50 52 ,不合题意，所以m只能为6或7 .检验可知只有m 6、n 4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米.根据相似三角形性质， BG:GFBG 3.6（厘米），所以阴影部分的面积为:如图，O是矩形一条对角线的中点，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少?AB:FE 6: 4 3: 2，而 BG GF1-6 3.6 10.8（平方厘米）.2图中已经标出两个三角形的面积为6,得连接OB,面积为4的三角形

17、占了矩形面积的丄，所以$ OEB4OE:EA 1:3所以CE:CA 5:8,由三角形相似可得阴影部分面积为8 （期弓8 8G是BC边上的已知长方形 ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、 三等分点，求阴影 EHO的面积是多少厘米？ 因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形 的长分成6份的话，那么ED AD 3份、BF FG GC 2份，大家能在图形中 找到沙漏 EOD和BOG :有ED：BG = 3：4，所以OD ： BO 3： 4，相当于把BD 分成（3 4）7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：ED： BF 3：2，由此可以推出： 那么我们就可以把份,

18、HO占6份, EHD和BHF也是沙漏，HD：BH 3：2,相当于把BD分成（3 2）5份，BD分成35份（5和7的最小公倍数）其中OD占15份，BH占1435 BED的面积为70 4，在BD为底的三角2连接EB则可知35则面积为：352ABCD是平行四边形，面积为 则图中阴影部分的面积为 形中HO占6份,63（平方厘米）.3572平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点, .平方厘米.【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质.设G、H分别为AD、DC的中点，连接 GH、EF、BD .可得SvAED = S平行四边形ABCD ,4对角线BD被EF、341S-S平行四边

19、形ABCD4AC、GH平均分成四段，又 0M /EF ,23DO : ED -BD:-BD413所以S/AEO2:3 ,0E : EDED 0D : ED:31:3 ,726（平方厘米）,S/ADOS/AEO12（平方厘米）.同理可得S/CFM所以S/ ABC /AEO SvCFM 3666于是，阴影部分的面积为 24 12 12 方法二：寻找图中的沙漏， AE:CD12平方厘米.24 （平方厘米）,48（平方厘米）.AO:OC 1:2 , FC : AD 116平方厘米,S/CDMCM : AM1:2 ,因此O, M为AC的三等分点，ODM S平行四边形ABCD 667212（平方厘米）,A

20、EO SOCD4S阴影72126【例20】 如图，三角形146 48（平方厘米）.PDM的面积是8平方厘米，长方形 ABCD的长是6厘米，宽是12 2 6 （平方厘米），同理FMC6 （平方厘米），所以4厘米，M是BC的中点，则三角形【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，般需要通过这一点做垂线.取AD的中点N，连接MN，设MN则三角形PDM被分成两个三角形，1PDM的面积等于 1 MK2APD的面积是平方厘米.而且其中一点是矩形某一条边的中点,交PD于K .而且这两个三角形有公共的底边角形BC 8（平方厘米MK，可知三），所以MK=-（厘米），那么3NK844 - 一（厘米）.33因为

21、NK是三角形APD的中位线,所以AP 2 NK8-（厘米），所以三角形APD的31 8面积为-8 623【例21】如图，长方形8 （平方厘米）.ABCD中，E为AD的中点，AFOE垂直AD于E，交AF于O,已知AH 5 cm ,【解析】由于AB / DF ,禾U用相似三角形性质可以得到OE: FD 1:2 ,与BE、BD分别交于G、H ,HFAB:DF3 cm，求AH : HFAG .5:3 ,又因为E为AD中点，那么有3所 以 AB:OE 5：10:3210:3 ,AG:GO AB:OE11而 AO - AF -22cm，所以AG101340一 cm13【例22】右图中正方形的面积为 1,

22、E、F分别为AB、BD的中点,GC1-FC .求3阴影部分的面积.【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求 解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半， 只要求出高，便可求出面积.可 以作FH垂直BC于H , GI垂直BC于I .【例23】【解析】【例24】【解析】根据相似三角形性质，CICl :CB 1:6，即 BI : BC:CH CG:CF 1:3，又因为 CH 16 1 :65: 6，所以 Svbge -2梯形ABCD的面积为的面积是G .于F ,四边形CDFE 延长BF、

23、CD相交于由于E为AC的中点,再根据相S ABD : S BCD所以S BCD12, AB 2CD ,根据相似三角形性质,似三角形性质，AF :FDAB : CD132:1，HB，所以5 56 24 .E为AC的中点，BE的延长线与AD交CG ABAB: DG2CD，2:11 AB ,2GF :GB 1:3 ,1GD -GC2124 , S GBC 2S BCD一 SabcD31 123三角形16，SeBCABC的面积为60平方厘米，那么阴影部分的面积是 平方厘米.又許S GBC如图,1S GBC，所以 S3DFE216F分别为各边的中点,S 1SS GBC S GBC3阴影部分是一个不规则的

24、四边形，不方便直接求面积,的面积之差.而从图中来看，既可以转化为 化为BCM与CFN的面积之差.（法1）如图，连接DE .由于D、E、F分别为各边的中点，那么 ABC面积的一半，即30平方厘米；那么 一半，为15平方厘米.根据几何五大模型中的相似模型，BEF与可以将其转化为两个三角形EMN的面积之差，又可以转BDEF为平行四边形，且面积为三角形 BEF的面积为平行四边形 BDEF面积的半，贝U EM:BMDE :BC1:2 ,由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的 丄EB ;3所以EMEN : FN DE:FC1:1，所以EN1 -EF2那么 EMN的面积占 BEF面1 11-,所以阴影

25、部分面积为36115 1石12.5 （平方厘米）.（法 2）如图，连接AM .根据燕尾定理，S ABM : S BCM AE : EC 11-6020平方厘米，3S ACM:S BCM AD : DB 1:1 ,1所以 S BCO S ABC31而S BDC S ABC260 30平方厘米，所以S FCN1S BDC 7.5平方厘米,4那么阴影部分面积为 20 7.5 12.5（平方厘米）.【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：利用面积公式：底高2 ;利用整体减去部分；利用比例和模型.【例25】如图，ABCD是直角梯形，AB 4, AD 5,DE 3，那么梯形ABCD的面积是多少？【解析】

26、延长EO交AB于F点，分别计算 AOD, AOB,A DOC , BOC的面积，再求和.-$ AOD ： $ AOB 3 - 1 ； $ DOC $ BOC 3 ： 1页眉内容1【例26】【解析】【例27】【解析】【例28】【解析】【例29】【解析】又 S ABD - 4 5 102- Sa AOD $ ABD47.5 , Saaob2.5, Saboc7.5,Sadoc3Saboc3 7.5 22.5二 S梯形ABCD 7.52.5 7.522.540边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？给图形标注字母，按顺时针方向标注，分别交AC, AD于O

27、,H两点，AO：OC AB： EC 12： 20 3：5 , AO： AC 3：8 ,T Sa adc 1229- SA AHO Sa adc40如右图，长方形AH : AD 3： 5 ,72972 16.240ABCD 中，EF因为DA /又因为DF大正方形为 ABCD ,小正方形为 MNDE , EBAH : BC AO：OC 3：5AHO :ADC 9 : 40BE，根据相似三角形性质知16 , FG 9 ,求 AG 的长.DGGBAGGE/ AB，DGGA，即 ag2FGGA29225 15，所以 AG 15.所以AGGE（第21届迎春杯试题）如图，已知正方形 ABCD的边长为4 ,

28、F是BC边的中点, E是DC边上的点，且 DE:EC 1:3 , AF与BE相交于点G，求abg 方法一：连接 AE ,延长AF , DC两条线交于点 MAB:CM BF : FC 1:1，因此 CM有 GB:GE AB:EM方法AEFABF :AEFGE FG 254:7 ,所以BG : GEAE,EF2 44:7，所以如图所示，已知平行四边形ABCBF交EC于M，求 BMG的面积. 解法一:由题意可得，E、 FFH : HC 1:2 , BG:GD 1:2 所以 CH :CFH是BD的三等分点，所以BM : MF 2:3BF , S BFD51又因为BG -BD，所以3FD:BC EB:C

29、D 并得G、 BG:EF所以BM1Sabd2S BMG4，根据题意有CE3，再根据另一个沙漏44C、 32XABGSa ABE(4 42).4 71111, 分别求Sa ABF4 22 4,7,根据蝴蝶定理4432Sa abg SaABE (4 42) 一 .471111:D的面积是1 ,E、F是AB、AD的中点，是AB、AD的中点，得EF/BD ,而，构造出两个沙漏，所以有GH : EFBG GH ,2:3 ,所以122Sy ABCD2S BFD1 丄430解法二：延长CE交DA于I，如右图， 可得，AI : BC AE:EB 1:1 , 从而可以确定 M的点的位置，BM : MF BC:

30、IF 2:3 ,55页眉内容BM -BF , BG5-BD （鸟头定理）,32 1s5 3【例30】（清华附中入学试题是BC的中点，四边形可得S bmGBDF2 1 1 -1Syabcd 5 3 430）正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F bghf的面积是_平方厘米. CHF的面积.由题意可得到： EG:GCEB:CD1:2 ：将AB、DF延长交于M点，可得：BM : DC MF : FD BF :FC1:1 :而 EH : HC EM : CD(1ABAB):CD而CF BC，所以SCHF12sBCE-2251S四边形 bghfS EBC 3 SEBCSebc5Is15本题也可以用蝴蝶定理来做,连接1EF ,能解出.31】女0图，已知SaABC14 ,点1EBC确定【例S四边形DBEF Sa ABE贝U ABE的面积占【解析】欲求四边形bghf的面积须求出 ebg和AD 2,BD 5,AF FC , ABC的面积已知，若知道 ABE的面积连接CD .T S四边形 DBEF SA ABE- Sa def Sa ADE AC与DE平行，SA ADE SA CDE- Sa ABE Sacdb/ AD 2, BD- SVACD : ScDB1所以可得：Sebg -Sbce33: 2，得 CH【解析】【例32】【解析】【例