初中数学竞赛：几何图形的计数问题

1、初中数学竞赛：几何图形的计数问题在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递 推法等例 1 如图 165 所示，数一数图中有多少条不同的线段？解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将 线段分 5 类分别计数：(1) 以 a 为左端点的线段有 ab，ac，ad，ae，af 共 5 条；(2) 以 b 为左端点的线段有 bc，bd，be，bf 共 4 条；(3) 以 c 为左

2、端点的线段有 cd，ce，cf 共 3 条；(4) 以 d 为左端点的线段有 de，df 共 2 条；(5) 以 e 为左端点的线段只有 ef 一条所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)一般地，如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)，那么这 n+1 个点把这条线段一共 分成的线段总数为n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2例 2 图 166 中有多少个三角形？解 以 oa 为一边的三角形有oab，oac，oad， oae，oaf 共 5 个；以 ob 为一边的三角形还有 4 个(前面已计数过的不再数，下同)，它们 obc obd obe， obf；以 oc 为一边的三角

3、形有ocd，oce，ocf 共 3 个；以 od 为一边的三角形 ode， odf 共 2 个；以 oe 为一边的三角形 oef 一个所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)说明 其实，不同的三角形数目等于线段 af 中不同线段的条数一般地，当原三角形的一条边上有 n+1 个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为 n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2.例 3(1)图 167 中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有 5 个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有 1+2+3+4=10(条)同样，宽的一边上不同的线段

4、也有 10 条所以，共有长方形1010=100(个)(2)因为长的一边上的 10 条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，宽的一边上的 10 条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3 所以，所有长方形面积和为(52+56+53)+(172+176+173)+(12+16+13)=(5+17+1)(2+6+3)= 14486=12384例 4 图 168 中共有多少个三角形？解 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三 角形又可分为 6 类：最大的三角形 1 个(即abc)，第二大的三角形有 1+2=3(个)，第三大的

5、三角形有 1+2+3=6(个)，第四大的三角形有 1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有 1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)我们的计数是有规律的当然，要注意在abc 外面还有三个最小的尖向上的三角形 (左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是 21 个而是 24 个于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)图中共有三角形592=118(个)例 5 图 169 中有多少个等腰直角三角形？解 图 169 中有55+44=41个点在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数因此，共 有等腰直角三角形48+516

6、+64+104+84+114+161=268(个)例 6(1)图 170(a)中有多少个三角形？(2)图 170(b)中又有多少个三角形？解(1)图 170(a)中有 6 条直线一般来说，每 3 条直线能围成一个三角形，但是这 3 条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了从 6 条直线中选 3 条，有种选法(见说明)，每次选出的 3 条直线围成一个三角形，但是在图 170(a)中，每个 顶点处有 3 条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形(2)图 170(b)中有 7 条直线，从 7 条直线中选 3 条，有765/6=35种选法每不过同一点的 3 条直线构

7、成一个三角形图 170(b)中，有 2 个顶点处有 3 条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有 4 条直线通过，因为 4 条直线中选 3 条有 4 种选法，即能构成 4 个三角形，现在这 4 个三 角形没有了，所以，图 170(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)说明 从 6 条直线中选 2 条，第一条有 6 种选法，第二条有 5 种选法，共有 65 种选法但是每一种被重复算了一次， 例如 l l 与 l l 实际上是同一种，所以，不同的选法是 651 2 2 12=15 种从 6 条直线中选 3 条，第一条有 6 种选法，第二条有 5 种选法，第三条有 4 种选法，共有 65

8、4 种选法但是每一种被重复计算了 6 次，例如，1 1 1 ，1 1 1 ，1 1 1 ，1 1 1 ，1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 11 1 1 ，1 1 1 实际上是同一种，所以，不同的选法应为 654/6=20 种3 1 2 3 2 1下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题例 7 问 8 条直线最多能把平面分成多少部分？解 1 条直线最多将平面分成 2 个部分；2 条直线最多将平面分成 4 个部分；3 条直线最多将平面分成 7 个部分；现在添上第 4 条直线它与前面的 3 条直线最多有 3 个交点，这 3个交点将第 4 条直线分成 4 段，其中每一段将原来所在平面部分

9、一分为二，如图171，所 以 4 条直线最多将平面分成 7+4=11 个部分完全类似地，5 条直线最多将平面分成 11+5=16 个部分；6 条直线最多将平面分成16+6=22 个部分；7条直线最多将平面分成 22+7=29 个部分；8条直线最多将平面分成 29+8=37 个部分所以，8 条直线最多将平面分成 37 个部分说明 一般地，n 条直线最多将平面分成个部分例 8 平面上 5 个圆最多能把平面分成多少个部分？解 1 个圆最多能把平面分成 2 个部分；2 个圆最多能把平面分成 4 个部分；3 个圆最多能把平面分成 8 个部分；现在加入第 4 个圆，为了使分成的部分最多，第 4 个圆必须与

10、前面3 个圆都有两个交点如图 172 所示因此得 6 个交点，这 6 个交点将第 4 个圆的圆周分成 6 段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4 个圆最多 将平面分成 8+6=14 个部分同样道理，5 个圆最多将平面分成 14+8=22 个部分所以，5 个圆最多将平面分成 22 个部分说明 用上面类似的方法，我们可以计算出 n 个圆最多分平面的部分数为2+12+22+(n-1)2=2+21+2+(n-1)=n2-n+2例 9 平面上 5 个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解 首先，由上题可知，平面上 5 个圆最多能把平面分成 22 个部分现在加入一条直线

11、由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5 个圆最多有 10 个交点10 个点把这条直线分成了 11 段，其中 9 段在圆内，2 条射线在圆外9 条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了 9 个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个 部分所以，总共增加了 10 个部分因此，5 个圆和 1 条直线，最多将平面分成 22+10=32 个部分例 10 平面上 5 条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解 首先，由例 7 知，5 条直线最多将平面分成 16 个部分现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与 5 条直线最多有 10 个交点这10 个交点将

12、圆周分成 10 段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10 段圆弧又把 原来的部分增加了 10 个部分因此，5 条直线和一个圆，最多能把平面分成 16+10=26 个部分例 11 三角形 abc 内部有 1999 个点，以顶点 a，b，c 和这 1999 个点为顶点能把原三角 形分割成多少个小三角形？解 设abc 内部的 n-1 个点能把原三角形分割成 a 个小三角形，我们考虑新增加一个n-1点 p 之后的情况：n(1)若点 p 在某个小三角形的内部，如图 173(a)，则原小三角形的三个顶点连同 pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；n(2)若点 p 在某两个小三角形公共

13、边上，如图 173(b)则这两个小三角形的顶点连同n点 p 将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形n所以，abc 内部的 n 个点把原三角形分割成的小三角形个数为a =a +2n n-1易知 a =1，于是0a =a +2，a =a +2，a a +21 0 2 1 n n-1将上面这些式子相加，得a =2n+1n所以，当 n=1999 时，三个顶点 a，b，c 和这 1999 个内点能把原三角形分割成 2 1999+1=3999 个小三角形【练习】1填空：(1) 在圆周上有 7 个点 a，b，c，d，e，f 和 g，连接每两个点的线段共可作出_条(2) 已知 5 条线段的长分别是 3，5，7，9，11，若每次以其中 3 条线段为边组成三角形， 则最多可构成互不全等的三角形_个(3) 三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为 4，但它不是最短边，这样不同的三 角形共有_个(4) 以正七边形的 7 个顶点中的任意 3 个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是 _(5) 平面上 10 条直线最多能把平面分成_个部分(6) 平面上 10 个圆最多能把平面分成_个区域2有一批长度分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适