等差数列与等比数列的性质

1、3.4 等差数列与等比数列的性质一、.等差数列的性质1若公差 ，则为递增等差数列， 若公差 ,则为递减等差数列,若公差 ,则为常数列.2若数列an成等差数列，则数列AanB也成等差数列3在等差数列an中，若mnpq (m、n、p、q N*)， 则 特别地，若m+n=2k，则 与首末两项距离相等的两项之和相等,即 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=4若数列an成等差数列，则数列a2n1， a2n、。也成等差数列（下标成等差，对应的项也成等差）5若等差数列an的前n项和为Sn，则数列 Sm, S2mSm, S3mS2m构成等差数列 ak, ak+m ak+2m , ak+3m,成等差数列

2、 S2k-1=（2k-1）ak6 若an、bn是等差数列，Sn为等差数列an的前n项和，则pan +qbn、sn/ n是等差数列，（其中p、q是常数）7 若an是等差数列，则 (a0)成等比数列；若an是等比数列，且an0，则lgan是等差数列.8 在等差数列an中，当项数为偶数 2n 时;S偶-S奇= nd ;项数为奇数 2n-1 时;S奇-S偶= a中，S2n-1=(2n-1)a中(这里a中 即an );S奇S偶=(k+1)k.9若等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn, 且 =f(n),则 = = =f(2n-1).10“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项 之和;

3、“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小 值是所有非正项之和. 思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列的基本性质二.等比数列的性质(1)当m +n=p +q 时，则有 , 特别地，当 m +n=2p 时，则有 与首末两项距离相等的两项之积相等,即 a1an=a2an-1=a3an-2=(2)若an是等比数列，则kan、an2、1/an成等比数列；注意： 下标成等差，对应的项成等比(3)若an、bn成等比数列，则anbn、 成等比数列;(4)若an是等比数列,且公比q-1,则数列 Sn S2n-Sn S3n- S2n 也是 数列.当 q = -1,且n为偶数时,数列Sn S2n-Sn S

4、3n-S2n 是常数数列 0,它不是等比数列.(5)若a10,q1,则an为 数列；若a11,则an为 数列;若a10,0q1,则an为递减数列；若a10,0q1，则an为递增数列；若q0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=( )A. n(2n-1) B. (n+1)2 C. n2 D. (n-1)2本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的成对下标和的性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归

5、是基本方法.2 (2010湖北省模拟)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lgan与lgbn的前n项和,且 = ,则logb5a5= .“和与部分和”性质 例3（1）两个等差数列an，bn的前n项和的比是(7n2)(n3)，这两个数列中第7项的比a7b7.= ， (2) 已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m_. (3) 等差数列的前n项和为54，前2n项的和为60， 则前3n项的和为 . 巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要. 巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.对于有穷的等差、等比数列的相关计算问题有着特殊的计算方法，比如在一个

6、项数n为奇数的等差数列中 (其中 为中项)例4 (1) 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项和项数(2) 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为 3227，求等差数列的公差3.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数【方法规律】1 知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,Sn共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2 了解和掌握等差数列和等比数列的基本性质，有利于更深

7、刻地理解等差数列和等比数列问题，使有关的计算和证明问题能做到更简洁、明了、快速和准确 巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果. 3除去以上所列出的等差数列和等比数列的基本性质之外，还要注意以下的一些常见情况：(1)若等差数列an的项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan；(2)若等差数列an的项数为2n，公差为d，则S偶S奇nd；(3)若等比数列an的项数为2n，公比为q， 则 q.(4)等比数列的相关结论可以看作是等差数列结论的运算升级.(本题满分12分)若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，(1)求数列S1，S2，S4的公比；(2)若S24，求an的通项公式.【考卷实录】【分析点评】1. 考题对等差数列和等比数列进行综合考查，考卷实录中第(1)问很好把握了等差数列前n项和的特征SnAn2Bn.而第(2)问利用了已知Sn求an，要注意 an要注意对a1S1是否适合anSnSn1，n2的检验2本题的一般解法具体如下：(1)由已知条件得S22 S1S4，即(