完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案

1、相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案)1 已知：如图，在 ABC中，点D在边BC上，且/ BAC= / DAG , / CDG= / BAD(1) 求证：丄丄厶；AB AC(2) 当 GC丄BC 时，求证：/ BAC=90 第28页共27页F分别是垂足.2.如图，已知在 ABC中，/ ACB=90 点D在边BC上，CE丄AB , CF丄AD , E、 (1)求证：ac2=af?ad ；4. 如图，在平行四边形 ABCD中，过B作BE丄CD，垂足为点 E,连接AE , F为AE上一点，且 / BFE= / C.(1) 求证： ABF EAD ;(2) 若 AB=4 , / BAE=30 求

2、 AE 的长.E5. 已知：如图， ABC 中，/ ABC=2 / C, BD 平分/ABC . 求证：AB?BC=AC?CD .6. 已知 ABC , / ACB=90 AC=BC，点 E、F 在 AB 上，/ ECF=45 设厶 ABC 的面积为 S,说明 AF?BE=2S7 等边三角形 ABC的边长为6,在AC, BC边上各取一点 E, F,连接AF, BE相交于点P.(1) 若 AE=CF ; 求证：AF=BE，并求/ APB的度数； 若AE=2，试求 AP?AF的值；(2) 若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.&如图所示，AD , BE是钝角 ABC的边BC

3、 , AC上的高，求证:AD=ACBE=BC9. 已知：如图，在 ABC中，AB=AC , DE / BC,点F在边AC 上, DF与BE相交于点 G,且/ EDF= / ABE . 求证：(1) DEFBDE ； (2) DG?DF=DB?EF.3C10. 如图， ABC、 DEF都是等边三角形，点 D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？O,当/ A= / C时，求证:OA?OB=OC?OD .12 .如图，已知等边三角形 AEC，以AC为对角线做正方形 ABCD (点B在厶AEC内，点D在厶AEC夕卜).连接 EB,过E作

4、EF丄AB，交AB的延长线为 F.(1) 猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想.(2) 证明： BEF ABC，并求出相似比.AD13. 已知：如图， ABC中，点D、E是边AB上的点,(1) 求证： CEDACD ;2CD 平分 / ECB，且 BC =BD ?BA .14. 如图， ABC中，点 D、E分别在 BC和AC边上，点 G是BE边上一点，且 / BAD= / BGD= / C,联结 AG .(1) 求证：BD?BC=BG ?BE ;(2) 求证：/ BGA= / BAC .15. 已知：如图，在 ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD丄BC, BE丄AC ,

5、 BE, AD相交于点 G , 过点B作BF / AC交AD的延长线于点 F, DF=6 .(1)求AE的长；(2)求邑匹的值.AFBG16 .如图， ABC 中，/ ACB=90 D 是 AB 上一点，M 是 CD 中点，且/ AMD= / BMD , AP / CD 交 BC 延长线 于P点，延长 BM交PA于N点，且PN=AN .(1) 求证：MN=MA ;(2) 求证：/ CDA=2 / ACD .17. 已知：如图，在 ABC中，已知点 D在BC上，联结 AD，使得/ CAD= / B, DC=3且Saacd : Saadb = 1 : 2. (1)求AC的值；的值.(2) 若将 A

6、DC沿着直线AD翻折，使点 C落点E处，AE交边BC于点F，且AB / DE，求18. 在 ABC中，D是BC的中点，且 AD=AC , DE丄BC ,与AB相交于点E, EC与AD相交于点F.(1) 求证： ABCFCD;(2) 若 DE=3 , BC=8，求 FCD 的面积.CE19 .如图， ABC为等边三角形， D为BC边上一点，以 AD为边作/ ADE=60 DE与厶ABC的外角平分线 交于点E.(1)求证：/ BAD= / FDE ;连接AE，若AB=6 , AE=5时，求线段 AG的长.20. 如图所示， ABC中，/ B=90 点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，

7、点 Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P, Q分别从A , B同时出发，经几秒，使 PBQ的面积等于8cm2?P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在 CA边上前进,(2)如果P, Q分别从A，B同时出发，并且21. 已知：如图， ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将 DB绕点D顺时针旋转60。得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE .(1) 求证： ADE DFC;(2) 过点E作EH / DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH .求/ AHE的度数；(3) 若 BG=-=，CH=2，求 BC 的长.22 .如图，在 ABC中，CD平分/

8、 ACB，BE / BC交AC于点E.(1) 求证：AE?BC=AC ?CE;(2) 若 Sade : Sacde=4 : 3.5，BC=15，求 CE 的长.23. 如图，四边形 ABCD中，AC平分/ DAB , / ADC= / ACB=90 E为AB的中点,(1) 求证：AC2=AB ?AD ；(2) 求证：CE/ AD ;(3) 若 AD=4 , AB=6，求竺的值.AF24. 在 ABC中，/ CAB=90 AD丄BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G,点F在BC 上.(1) 如图 1, AC : AB=1 : 2, EF 丄 CB,求证：EF=CD .(2) 如图 2,

9、 AC : AB=1 :EF丄CE,求 EF: EG 的值.25 .如图，M、N、P分别为 ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于 E、F.(1)求证：BF=2FP ;26 .在 Rt ABC 中，/ ACB=90 CD 丄 AB，垂足为 D, E、F 分别是 AC , BC 边上一点，且 CEAC , BFBC ,4|4|(1) 求证：翌型；BC BD(2) 求/ EDF的度数.27 .如图， ABC是等边三角形，且 AB / CE .(1) 求证： ABDCED ;(2) 若 AB=6 , AD=2CD , 求E到BC的距离EH的长. 求BE的长.28.如图，Rt AB

10、 C是由Rt ABC绕点A顺时针旋转得到的,(1) 若 AC=3，AB=4，求；(2) 证明： ACEFBE ;(3) 设/ ABC= a，/ CAC = 试探索 a B满足什么关系时,连接CC交斜边于点E，CC 的延长线交BB于点F. ACE与厶FBE是全等三角形，并说明理由.29 .如图， ABC是等边三角形， / DAE=120 求证:2(1) ABD s ECA ; (2) BC2=DB?CE .30.如图，在 Rt ABC中，/ C=90且AC=CD= 应，又E, D为CB的三等分点.(1) 证明： ADEBDA ;(2) 证明：/ ADC= / AEC+ / B ;(3) 若点P为

11、线段AB上一动点，连接 PE,则使得线段PE的长度为整数的点 P的个数有几个？请说明理由.相似三角形性质和判定专项练习 30题参考答案:1 解：(1) I/ADC= / B+ / BAD , 且 / CDG= / BAD , / ADG= / B;/ / BAC= / DAG , ABC ADG , AD_ 昶(2) / / BAC= / DAG , / BAD= / CAG ;又/ / CDG= / BAD , / CDG= / CAG , A、D、C、G四点共圆， / DAG+ / DCG=180 / GC 丄 BC , / DCG=90 / DAG=90 / BAC= / DAG=90

12、62.解：(1)如图，/ / ACB=90 CF 丄 AD , / ACD= / AFC，而 / CAD= / FAC, ACD AFC ,坐型丽预2 ac2=af?ad .(2)如图，/ CE丄 AB , CF丄 AD , / AEC= / AFC=90 A、E、F、C四点共圆， / AFE= / ACE ;而 / ACE+ / CAE= / CAE+ / B, / ACE= / B , / AFE= / B ;/ / FAE= / BAD , AEF ADB , AE : AD=BD : EF , AE?DB=AD ?EF.C / B= / PCB ; / PC 平分 / ACB ,:丄

13、ACP= / PCB, / B= / ACP ,/ Z A= / A , APC ACB .(2) / APC s ACB ,肛&童気，/ AP=2 , PC=6, AB=8 ,AC=4 ./ AP+AC=PC=6 ,这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，该题无解.4. (1)证明：/ AD / BC, Z C+Z ADE=180 / Z BFE= Z C, Z AFB= Z EDA ,/ AB / DC , Z BAE= Z AED , ABF EAD ;(2)解：/ AB / CD , BE 丄 CD , Z ABE=90 / AB=4 , Z BAE=30 AE=2BE ,由勾股定理

14、可求得 AE=；35. 证明：/ Z ABC=2 Z C, BD 平分 Z ABC , Z ABD= Z DBC= Z C, BD=CD ,在厶ABD和厶ACB中，一止 ,IZABDZC ABD ACB , AC= BC即 AB?BC=AC ?BD , AB?BC=AC ?CD .6 .证明：/ AC=BC , Z A= Z B,/ Z ACB=90 Z A= Z B=45 ,/ Z ECF=45 Z ECF= Z B=45 Z ECF+ Z 1 = Z B+ Z 1,/ BCE= / ECF+ / 1, / 2= / B+ / 1 ; / BCE= / 2,/ A= / B , ACFBEC

15、 . AC AF 伍氓， AC?BC=BE?AF, Saabc=XAC?BC=be?AF ,J b AF?BE=2S .7. (1) 证明：/ ABC为等边三角形， AB=AC , / C= / CAB=60 又 AE=CF ,在厶ABE和厶CAF中，Cab=acZBAE=ZACF,Iae=cp ABE CAF (SAS), AF=BE , / ABE= / CAF .又/ / APE= / BPF= / ABP+ / BAP , / APE= / BAP+ / CAF=60 , / APB=180 - / APE=120 /C= / APE=60 / PAE= / CAF , APEACF

16、,AP?AF=12(2)若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况. 当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点 P经过弧AB的中点，此时 ABP为等腰三角形，且 / ABP= / BAP=30 , / AOB=120 又 AB=6 , 0A= 乙点P的路径是当AE=BF时，点P的路径就是过点 C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为：丨：.所以，点P经过的路径长为8 证明：/ AD , BE是钝角 ABC的边BC , AC上的高, / D= / E=90 / / ACD= / BCE , ACD s BCE ,血埜丽 B

17、C9 .证明：(1) / AB=AC , / ABC= / ACB ,/ DE / BC , / ABC+ / BDE=180 / ACB+ / CED=180 / BDE= / CED ,/ / EDF= / ABE , DEF BDE ;(2)由 DEFBDE，得丄DE EF2 DE =DB ?EF,由厶 DEF BDE，得/ BED= / DFE ./ / GDE= / EDF , GDEEDF .圈 deF2 de2=dg ?df , DG?DF=DB ?EF.10. 解：设 EC=x , CH=y，贝U BE=2 - x, ABC、 DEF都是等边三角形， / B= / DEF=60

18、 / / B+ / BDE= / DEF+ / HEC , / BDE= / HEC , BED CHE ,圉盘顷五， AB=BC=2，点D为AB的中点， BD=1 ,鼻二空-x，22即：y= - x +2x= -( x- 1)+1.当x=1时，y最大.此时，E在BC中点11. 解：I/A= / C, / AOD= / BOC , OAD sOCB , I， OA?OB=OC?OD .12 .解：（1）猜测BE和直线AC垂直. 证明：/ AEC是等边三角形， AE=CE,四边形ABCD是正方形， AB=CB ,/ BE=BE , AEB CEB （SSS）. / AEB= / CEB ,/ A

19、E=CE , BE 丄 AC ;(2) / AEC是等边三角形, / EAC= / AEC=60 / BE 丄 AC , / BEA=丄/ AEC=30 2-四边形ABCD是正方形， / BAC=45 / BAE=15 / EBF=45 -EF 丄 BF, / F=90, / EBF= / BAC , / F= / ABC ,相似比是:DE F BEF ACB ,B艮a-ac|2a2a1 2延长 EB 交 AC 于 G,设 AC 为 2a,贝U BG=a, EB= :；a- a,213. 证明：（1） / BC =BD?BA , BD: BC=BC : BA ,/ / B是公共角， BCD B

20、AC , / BCD= / A ,/ CD 平分 / ECB , / ECD= / BCD , / ECD= / A ,/ / EDC= / CDA , CED s ACD ;(2) / BCD s BAC , CED s ACD ,AB=ACCEBCCDEDABraACu.，14. 证明：(1) / Z DBG= / EBC , / BGD= / C, BDG s BEC ,坐更丽 BC，贝U BD?BC=BG ?BE ;(2) / Z DBA= Z ABC , Z BAD= Z C, DBA s ABC ,=丄，即 ab / Z BDF=90 Z F=30 BD=2 一；, BF=2DB=

21、4 .:,/ AC / BF , AEG FBG ,AE) 2=1議T(雨詞=bd?bc,AB BC/ BD?BC=BG?BE , ab2=bg?be，即丄=,AB BE/ Z GBA= Z ABE , GBA s ABE , Z BGA= Z BAC .15 .解：(1) 在 ABC中，点D是BC中点，点 E是AC中点，且 AD丄BC , BE丄AC , AC=AB=BC , ABC是等边三角形， Z C=60 / BF / AC , Z CBF= Z C=60/ AD 丄 BC , Z FDB=90 , Z F=30/ DF=6 , BD=2 一 ；,/ AE=EC=BD=DC , AE=

22、2 一 ；16 .证明:(1) / AP / CD, / AMD= / MAN , / BMD= / MNA , / / AMD= / BMD , / MAN= / MNA , MN=MA . MC=MD , CN为直角 ACP斜边AP的中线， CN=NA , / NCA= / NAC ,/ AP / CD , / NAC= / ACD , / NCM=2 / ACD ,/ / CMN= / DMB , / DMA= / BMD , / CMD= / DMA ,在厶CMN和厶DMA中，|fCM=KD ZCMN=ZDHA, CMN DMA (SAS),/ ADM= / NCM=2 / ACD .

23、即：/ CDA=2 / ACD .17. 解:(1) / Saacd : Saadb = 1: 2, BD=2CD ,/ DC=3 , BD=2 X3=6, BC=BD+DC=6+3=9 ,/ / CAD= / B , Z C=Z C, ABC DAC ,竺些 ； T，解得AC=3 .:;(2)由翻折的性质得，Z E=Z C, DE=CD=3 ,/ AB / DE , Z B= Z EDF ,/ / CAD= / B , / EDF= / CAD , EFDs ADC ,22=二318. ( 1)证明：/ D是BC的中点，DE丄BC , BE=CE, / B= / DCF ,/ AD=AC ,

24、 / FDC= / ACB , ABC s FCD ;(2)解：过A作AG丄CD，垂足为G ./ AD=AC , DG=CG, BD : BG=2 : 3,/ ED 丄 BC , ED / AG , BDE BGA , ED: AG=BD : BG=2 : 3,/ DE=3 ,/ ABC FCD , BC=2CD ,2= 1气19. (1)证明：/ ABC为等边三角形， / B=60由三角形的外角性质得，/ ADE+ / FDE= / BAD+ / B,/ / ADE=60 / BAD= / FDE ;(2)解：如图，过点 D作DH / AC交AB于H, ABC为等边三角形， BDH是等边三角

25、形， / BHD=60 BD=BH , / AHD=180 - 60120 CE是厶ABC的外角平分线， / ACE=( 180- 60 =602 / DCE=60 60 120 / AHD= / DCE=120 又/ AH=AB - BH , CD=BC - BD , AH=CD ,在厶AHD和 DCE中，f ZBAD=ZFDE帕二叩,Zahd=Zdce AHD DCE (ASA ), AD=DE ,/ / ADE=60 ADE是等边三角形， / DAE= / DEA=60 AE=AD=5 ,/ / BAD= / BAC - / CAD=60 - / CAD ,/ EAG= / DAE -

26、/ CAD=60 - / CAD , / BAD= / EAG , ABD AEG ,220 .解：(1)设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使 PBQ面积为8cm ,由题意得(6 - x) ?2x=8，解之，得 xi=2 , x2=4,2经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处， PBQ的面积为8cm2, 综上所述，经过 2秒或4秒， PBQ的面积为8cm2;(2)当P在AB上时，经x秒， PCQ的面积为:丄 XPB CQ=2 x( 6 - x) (8 - 2x) =12.62 2解得：不合题意舍去),xj经x秒

27、，点P移动到BC上，且有CP= (14 -x) cm,点Q移动到CA上，且使CQ= (2x- 8) cm,过Q作QD丄CB,垂足为。，由 CQD CAB得即 QD=“- ?10由题意得(14 -x) ?B (N-幻；210=12.6，解之得xi=7, x2=11 .212.6cm .2x-8AC经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使 PCQ的面积等于经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14 10,点Q已超出CA的范围，此 解不存在.综上所述，经过 7秒和 *秒时 PCQ的面积等于12.6cm2521. (1)证明：如图, 线段

28、DB顺时针旋转60得线段DE , / EDB=60 , DE=DB . ABC是等边三角形， / B= / ACB=60 / EDB= / B . EF / BC . DB=FC , / ADF= / AFD=60 DE=DB=FC , / ADE= / DFC=120 ADF 是等边三角形. AD=DF . ADE DFC .(2)解：由 ADE DFC, 得 AE=DC , / 仁/ 2./ ED / BC , EH / DC,四边形EHCD是平行四边形. EH=DC, / 3=Z 4. AE=EH . / AEH= / 1 + / 3=Z 2+ / 4=Z ACB=60 AEH是等边三角

29、形. / AHE=60 (3)解：设 BH=x，贝U AC=BC=BH+HC=x+2 由(2)四边形EHCD是平行四边形， ED=HC . DE=DB=HC=FC=2 ./ EH / DC , BGH BDC .BG BH解得x=1 . BC=3 .22. (1)证明：/ DE / BC ,/ ADE= / B , Z AEC= / ACB , ADE sABC , .AE_DE DE / BC , Z EDC= Z BCD , CD 平分 Z ACB , Z BCD= Z DCE , Z DCE= Z EDC , DE=CE ,AE CE 加=;，即 AE?BC=AC ?CE ;(2) T

30、ADE : SaCDE=4： 3.5 , AE : CE=4 :3.5,AE4AC=4+3. E 由( 1)知DE_4BC=7. 5，解得DE=6 ,/ DE=CE , CE=8.(1) 证明：/ AC 平分 Z DAB , Z DAC= Z CAB ,/ Z ADC= Z ACB=90 ADC ACB , AD : AC=AC : AB ,2 ac2=ab ?ad ；(2) 证明：/ E为AB的中点, ce=!ab=ae ,2 / EAC= / ECA ,/ / DAC= / CAB , / DAC= / ECA, CE / AD ;(3)解：/ CE / AD , AFD CFE, AD

31、: CE=AF : CF,/ CE=AB ,2 CE=丄 6=3,2/ AD=4 ,24. (1)证明：如图1 ,在厶 ABC 中，/ Z CAB=90 AD 丄 BC 于点 D, Z CAD= Z B=90 - Z ACB ./ AC : AB=1 : 2, AB=2AC ,点E为AB的中点， AB=2BE , AC=BE .在厶ACD与厶BEF中，C ZCAD=ZBZ/DOZBFE=90* ,AC=BE ACD BEF , CD=EF，即 EF=CD;(2)解：如图2，作EH丄AD于H , EQ丄BC于Q,/ EH 丄 AD , EQ 丄 BC, AD 丄 BC ,四边形EQDH是矩形，

32、Z QEH=90 Z FEQ= Z GEH=90 - Z QEG , 又 Z EQF= Z EHG=90 EFQEGH , EF: EG=EQ : EH ./ AC : AB=1 : f 汛 / CAB=90 / B=30在厶 BEQ 中，/ / BQE=90 sin B=丄, EQ=BE.2在厶 AEH 中，/ Z AHE=90 / AEH= / B=30 cosZ AEH=1_!=,AE 2eh=Ae .2点E为AB的中点， BE=AE ,二 AE=1 :3. EF : EG=EQ : EH=：BE:25. (1)证明：如图1，连接PN ,/ N、P分别为 ABC边BC、CA的中点, AB

33、F NPF, .BF 肿 & .；阡芋帀严 BF=2FP.(2)解：如图2，取AF的中点G,连接MG, MG / EF, AG=GF=FN . NEFNMG , Sanef=mngMX.V 图C5.VC圏126. (1)证明：/ CD丄AB , / CDB= / ADC=90 / ACD+ / BCD=90 / / ACB=90 / A+ / ACD=90 / A= / BCD , ADC s CDB ,翌CD厂lP(2)解：/ CE=：AC, BF=BC,44又/ / A= / BCD , / ACD= / B , CEDBFD , / CDE= / BDF , / EDF= / EDC+ / CDF= / BDF+ / CDF= / CDB=9027 .解；(1) / AB / CE , / A= / DCE ,又 / ADB= / EDC , ABD CED ;（2） 过点E作EH丄BF于点H ,/ ABC 是等边三角形， ABD sCED , AB=6 , AD=2CD ,/ A= / ACB=60 CE CD 1 CE=3,/ AB / CE , / A= / DCE=60 / ECH=180 - / ACB -