完整版因式分解知识点归纳

1、因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1 )提取公因式法：ma mb me m(a b c)(2) 运用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)；完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3) 十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)因式分解的一般步骤：(1) 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2) 提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；(3) 对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4) 最后考虑用

2、分组分解法5、 同底数幕的乘法法则：amgan am n( m,n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。235如：(a b) ga b) (a b)6、 幕的乘方法则：(am)n amn( m,n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35 )2 310幕的乘方法则可以逆用：即amn (am)n (an)m如：46(42)3(43)27、 积的乘方法则：(ab)n anbn( n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。如:( 2x3y2z)5=( 2)5?(x3)5?(y2)5?z532x15y10z5m n)8、 同底数幕的除法法则：am an

3、am n ( a 0,m, n都是正整数，且同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4 (ab) (ab)3 a3b39、零指数和负指数；a0 1，即任何不等于零的数的零次方等于1。1a p p （ a 0, p是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的 p次方的倒数。a书3131如: 2 （2）810、单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意： 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的

4、指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x2 y3z ?3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加,即 m(a b c) ma mb mc(m,a,b,c都是单项式)注意： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2x3y) 3y(x y)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(3

5、 a 2b)(a 3b)如：(x 5)( x 6)三、知识点分析:1.同底数幕、幕的运算:m n m+na a =a(am)n=amn(m,（m， n都是正整数）. n都是正整数）.例题1.若2a 264 ，则 a=;若 27 3n( 3)8，则 n=例题2.若52x 1125，求(x2009 x 占2) 的值。例题3.计算x3 n2y 2y练习2n6n1.右a 3，则a2设 4x=8y-1 .且 9y=27x-1,则 x-y 等于2积的乘方b2mP4完全平方和公式:a22abb2完全平方差公式:a22abb2例题1.利用平方差公式计算:例题2.利用平方差公式计算：2009X200720082

6、2007220072008 20063. (a 2b+ 3c d) (a+ 2b 3c d)考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是()2 2 2A. x(a-b)=ax-bx B. x-1+y =(x-1)(x+1)+y2C. x -仁(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c 2 2 22、若4a kab 9b可以因式分解为(2 a 3b)，则k的值为23、已知a为正整数，试判断 aa是奇数还是偶数?24、已知关于x的二次三项式xmx n有一个因式(x 5)，且m+n

7、=17，试求 m,n的值(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘例题1.计算:3.乘法公式平方差公式：a考点二提取公因式法提取公因式法： ma mb mc m(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2 、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式20a3b212a2bc分解因式，应提取的公因式是()2 2A、ab B、4a b C、4abD、4a be2、已知(19x 31)(13x 17)(13x 17)(11x 23)可因式分解

8、为(ax b)(8x e)，其中 a, b，c均为A、-12B、-32C、38D、723、分解因式(1)6a(a b) 4b(a b)(2)3a(x y)6b( y x)nn 1n 2(3) x xx(4)2011(3)(3)2010整数，则a+b+e等于()4、先分解因式，在计算求值(1)(2x 1)2 (3x 2)(2x 1)(3x 2)2x(1 2x)(3x 2) 其中 x=1.52 2(2)(a 2)(a a 1) (a 1)(2 a)其中 a=184 2 2 25、已知多项式x 2012x2011x 2012有一个因式为 x ax 1，另一个因式为x bx求a+b的值22536、 若

9、ab 1 0，用因式分解法求ab(a b ab b)的值2012，7、已知 a，b，c 满足 ab a b bc b c ca c a 3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(都是正整数)a， b， c考点三、用乘法公式分解因式平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)(4)x3 xy22(5)(a b) 1(6)9(a b)2 30(a2 b2) 25(a b)2运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()4y2 D、2 . 2x 4y2 , 2A、x 4yB、x2 2y2 1C、x22、分解下列因式(1

10、)3x2 12(2)(x 2)(x 4)x242 2(3)(x y) (x y)2009 201120102 13、若n为正整数，则(2n2 21)(2n1) 一定能被8整除完全平方式a2 2ab b2 (a b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾 两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题1、在多项式x2 2xy y2 x2 2xy y2x2 xy+y24x21+4x中，能用完全平方公式、 C 、 D 、分解因式的有()A、B2、下列因式分解中，正确的有（ 4a a3b2a(4 a2b2) x2y 2xyxy xy(x 2)ab

11、ac a(a bc)2 2 2 2 29abc 6a b 3abc(3 2a)一x yxy33C 、2 个 DA、0 个 B23 xy(x y)、5个3、如果 x22(m3)x16是一个完全平方式,那么 m应为（A、-5D、7或-14、分解因式2(1) mx 4mx 2m2a2-4a 2x3 2x2 x2 2(4) (2x 3) (x 3)2(5) 8x y 8xy 2y(6)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y2 2(7)4x 12xy+9y 4x+6y-35、已知a b2，ab 2，求 3 航236、证明代数式x22y 10x 8y 45的值总是正数7、已知a, b, c分别是A

12、BC的三边长，试比较（a22 2 2 2 2b c )与4a b的大小考点四、十字相乘法2(1)二次项系数为1的二次三项式X px q中，如果能把常数项 q分解成两个因式 a、b的积,2并且a b等于一次项系数 p的值，那么它 就可以把二次三项式 x px q分解成2 2x px q x a b x ab x a x b例题讲解1、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2 X 3=(-2)X (-3)=1 X 6=(-1)X (-6)，从中可以发现只有2 X 3的分解适合，即2+3=521 2解：x 5x6 = x (23)x2 313=(x 2)

13、(x 3)1X 2+1X 3=5用此方法进行分解的关键： 将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式:x27x 6解:原式：2 =x(1)(6)x(1)(6) 1-1 -=(x1)(x6)1-6(-1)+ (-6 ) = -7练习分解因式(1)2 x14x24(2)2 a15a362(3)x 4x 5x2x22 小y 2y15(6)x210x242、二次项系数不为 1的二次三项式一一 ax2 bx c条件：(1)aaa2a1C1(2)cC1C2a2C2(3)baca2Gb &C2a2&分解结果：2 axbxc = (a1XG)(a2XC2)例题讲解

14、1、分解因式:3x211x10分析:1-23-5、(-6 ) +(-5 ) = -11解:3x211x10 = (x2)(3x5)分解因式：(1)5x27x 6(2)3x2 7x2(3) 10x217x 32(4) 6y211y 103、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1-16b8b+(-16b)= -8b8b( 16b)a 8b ( 16b) = (a 8b)(a 16b)解：a2 8ab 128b2=a2分解因式(1) x2 3xy 2y2m2 6mn 8n2 (3)a2

15、 ab 6b22x2 7xy 6y2-2y-3y解：原式=(xy 1)( xy 2)4、二次项系数不为1的多项式 例题讲解1 2(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)2 2x y 3xy 2把xy看作一个整体1-2 _-1)+(-2)= -3分解因式：(1)15x2 7xy4y2(2)2 2a x 6ax 8考点五、因式分解的应用1、分解下列因式24x(1)3x 3(3)x3 6x227x(4)a2 b2 2b 12、计算下列各题2(1) (4a 4a 1) (2a 1)(2) (a2 b2 c2 2ab) (a b c)2(2) (2x 3)(2x 3)3、解方程2 2(1) 16(x 1)25(x 2)4、如果实数a b，且10a b10b a那么a+b的值等于5、1 221 232426、若多项式x252 622 2 2 220092010201120122009 201020112012ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值（写出3个）7、先变形再求值（1）已知 2x y 丄，xy 4，求 2x4y xy4 的值16(2)已知 3x2 8x 2 0，求 12x2 32x 的值8、已知a、b、c为三角形三