完整版初中几何三角形五心及定理性质20200930181139

1、初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。 该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可 用燕尾定理证明，十分简单。(重心原是一个物理概念，对于等厚度 的质量均匀 的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)重心的性质：1、 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2： 1。2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3个三角形面积相等。即重心到三条边 的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面

2、直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为(X1+X2+X3 ) /3 ,(Y1+Y2+Y3 ) /3 )。5、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。2、若0是厶ABC的外心，则/ B0C=2 / A （/A为锐角或直角）或/ BOC=360 -2Z A （/A 为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重 合。5、外心到三顶

3、点的距离相等垂心定理第7页共6页三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。（此直 线称为三角形的欧拉线（Euler line ）3、 垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。推论：1. 若D、 E、 F分别是 ABC三边的高的垂足，则 / 1 = / 2。（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1）3. 若D、 E、 F分别是 ABC三边的高的垂足，则 / 1 =

4、/ 2。（图2）定理证明已知： ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O ,连接CO并延长 交AB于点F，求证：CF丄AB证明：连接DEvZ ADB= / AEB=90 度二A、B、D、E四点共圆Z ADE= Z ABE又 T/ ODC= / OEC=90 度0、D、C、E四点共圆 / ACF= / ADE二 / ABE 又：/ ABE+ / BAC=90 度 / ACF+ / BAC=90 度 CF 丄 AB因此，垂心定理成立三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜

5、边的差的二分之一。3、 P为 ABC所在空间中任意一点，点0是 ABC内心的充要条件是：向量P0=(a x向量 PA+bx 向量 PB+cX 向量 PC)/(a+b+c).4、0为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长 A0交BC边于 N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、 （欧拉定理）/ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，0和I分 别为其外心和内心，贝S OIA2=RA2-2Rr .6、（内角平分线分三边长度关系） ABC中，0为内心，/ A、/ B、 / C的内角平分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、P、R,贝卩 BQ/QC二c/b

6、, CP/PA二a/c, BR/RA二a/b.7、内心到三角形三边距离相等。旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三 角形的旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。3、旁心到三角形三边的距离相等。如图，点M就是 ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个 角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心， 四心合一。巧记诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，重心分割中线段，数段之比听分晓； 外心三角形有六元素，三个内角有三边.此点定义为外心，用它可作外接圆.垂心三角形上作三高，三高必于垂心交. 直角三角形有十二，构成六对相似形, 内心三角对应三顶点，角角都有平分线， 点至三边均等距，可作三角形内切圆,五心性质很重要，认真掌握莫记混.交点命名为 重心”重心性质要明了，长短之比二比一，灵活