完整版因式分解拓展题及解答必考题型

1、因式分解拓展题解板块一：换元法例1分解因式：(x24x8)23x(x24x 8) 2x2# 宀 .入宀* m -prrxri m 【宀弓往/曰【解析】将X4x8u看成 个子母，可利用十子相乘得原式2 u3xu2 2 22x (u x)(u 2x) (x 4x 8 x)(x 4x 82x)(x25x8)(x2 6x 8) (x 2)(x4)(x2 5x 8)例2分解因式：(x25x2)( x2 5x 3) 12【解析】方法1:将2 x5x看作一个整体，设 x2 5x t，则原式=|(t 2)(t3) 12 t2 5t 6 (t 1)(t 6) (x 2)( x 3)( x2 5x方法2:将2 x

2、25x 2看作一个整体，设 x 5x 2 t，则原式=1t(t 1) 12 t2 t 12 (t 3)(t4) (x 2)(x 3)(x2 5x 1)方法3:将2 x5x 3看作一个整体，过程略如果学生的能力到一定的程度，甚至2连换元都不用，直接把 X 5x看作一个整体，将原式展开，分组分解即可,则原式2 2(x 5x)5(x25x)62 2 2(x 5x 1)(x 5x 6) (x 2)( x 3) (x 5x 1)【巩固】分解因式:(x1)(x3)(x5)(x 7)15【解析】(x 2)(x6)( x28x10)【巩固】分解因式:(x2x1)(x2x 2)12【解析】(x 1)(x2)(x

3、2x5)例3证明：四个连续整数的乘积加 1是整数的平方.【解析】设这四个连续整数为x1、x 2、x 3、x4(x 1)(x2)( x 3)(x 4) 1(x1)(x 4)(x 2)( x3)1(x25x24)( x 5x 6)1246u x 5x22原式(x 5x 5)1(x2 5x 5)1 1(x25x5)21 12 2(x 5x 5)【巩固】若x , y是整数，求证：x y x2y x3yx4yy是一个完全平方数.【解析】x y x 2y x3y x44y yxy x4yx2y4x 3yy(x25xy4y2)(x25xy6y2)4y令x25xy4y2u 上式u(u2y2)4y(uy2)2(

4、x25xy即xy x2yx3yx 4y4y2(x2 25xy 5y )2 25y )i例4分解因式(2 a 5)( a2 9)(2 a7)91【解析】原式(2 a 5)(a 3)( a3)(2 a 7) 91(2 a2a 15)(2 a2a 21) 91设 2a2 a 15x，原式 x( x 6)291 x 6x 91(x213)( x 7)(2 a a228)(2a a 8)(a4)(2 a 7)(2 a2a8)【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令x a 2a444 (a4)4(x2)4(x 2)4424 (x2 24x 4) (x 4x2(x424x216)2562(x424x2144

5、)2(x212)22(a 2)2 122板块二:因式定理244)42(a2 4a 16)2因式定理：如果x a时，多项式anxn an 1xn 1【巩固】分解因式(x2 3x 2)(38x4x2)90【解析】原式(x 1)(x y 2x2 5x2)(2 x1)(2x3)90(2 x2 5x3)(2x25x 2)90原式(y 3)( y 2)90 y25y84(y12)( y 7)(2x25x 12)(2 x 7)( x1)例5分解因式：4(3x2x 1)(x22x23) (4xx 4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现:(3x2 x1) (x22x 3) 4x2 x4 ,故可设3x2

6、x1 A,x22x32B，贝U 4x x4 AB .故原式=4AB(A B)2A2：B22AB(AB)222222(3xx 1)(x2x3)(2x 3x 2).【巩固】分解因式：(ab 2ab)(a b2)(1ab)2【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简【解析】则原式:=(x 2y)(x 2)(1y)22x 2xy2y 2y 2x1 (x2y) 2(x y) 1(x y1)2 (a2 2b ab 1)(1 a) (1例6分解因式：(x 1)4 (x 3)4272化计算过程，不妨设 a b x,ab y，b)2【解析】设yx 1 x 3x 2，则原式=(

7、y1)44(y 1)27222(y 6y 1) 27222(y46y2 135)2(y2 9)( y215)2( y3)( y 3)( y215)2(x5)(x 1)(x24x 19)【巩固】分解因式：a4 44 (a 4)4有理根：有理根c -的分子p是常数项 qa。的因数，分母q是首项系数an的因数例7分解因式：322x x 5x 22x23x2【巩固】a02的因数是 1 ,2 , an2的因数是1 ,2 .x 1 2x3x25x2因此，原式的有理根只可能是1,2(分母为1) , - 2x32x223x25x因为f(1) 2 1526 , f( 1)215 20 ,c23x3x2x222x

8、2aix a的值为0 ,那么x a是该多项式的一个因式0于是1是f(x)的一个根，从而x 1是f(x)的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：2可得原式(2x2 3x 2)(x 1) (x 2)(2x 1)(x 1)点评：观察， 如果多项式 f(x) 的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数， 则说明 f(1) 0；f ( 1) 0.5 4 3 22x 3x 4x 3x 2x 1原式 (x1)(x5x42x32x2& x1)容易验证1 也是 x543x 2x2x2x1的根，54xx322x 2xx 1 (x1)(x42x21) (x1)(x21)2 ，所

9、以 x6542x 3x324x 3x2x1 (x221)2(x21)2巩固】 分解因式32： x 9x2y 26xy224y31，是根，所以原式有因式 x1. 1当然不可能为根 (因为多项式的系数全是正的 )，经检验 1如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明 【巩固】 分解因式： x6 解析：本题有理根只可能为解析： x3 9x2y 26xy224y3 (x 2y)(x例 8 分解因式： x3 (a b c)x2 (ab bc3y)(x ca)x4y) abc解析】常数项abc的因数为a，b，c，ab ，bc，ca ，abca3 (a巩固】把 x a 代入原式，得b c)a2 (a

10、b bc ca)a abc a3 所以 a 是原式的根， x3 (a b(x3 ax2)(x a)x2分解因式：ba2并且解析】2ca a2b abca2c abc 0x a 是原式的因式，2c)x (ab bc ca)x abc2(b c)x a(b c)x (bcx abc)(b c)x bc (l m)x3(3l(x2ma)(x b)(x c).2n)x2(2l m 3n)x2(m n)如果多项式的系数的和等于0，和减去奇次项系数的和等于 (l n) (3l 2m n) (2l所以 x 1 是原式的因式，并且(l m)x3(3l 2m n)x2(2l0，那么 1 一定是它的根； 定是它的

11、根0如果多项式的偶次项系数的那么 13n) 2(m n)m 3n)x 2(mn)现在正是这样：3 2 2 (l m)x3 (l m)x2(2l m n)x2(x 1)(l m)x2(2l m n)x 2(m待定系数法(2l n)(xn)x1)(x2(m2)(lxn)xmx2(m n)m n)板块三： 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等 即，如果n n 1 n anxan 1xan 2x2L1a1xa0n nxnbn 1x1bn 2L b1x1 b0那么 an bn , an 1 bn 1，ai 例 9 用待定系数法分解因式： x5 【解析】原式的有理根只可能为b1 ， a0 b0

12、.故 x5x有理根，21 (x5x因而也没有ax 1)(x32(x axx11 ，但是这 2 个数都不能使原式的值为 (有理系数的 )一次因式cx 1) 或 x5 x 1 (x22 cx 1) x5 (a0 ，所以原式没有bx21)(x3 bx32ax 1)(x3 bx2 cx 1)b)x4 (ab c 1)x3 (ac b 1)x2 (a c)x 1522(x2 ax 1)(x2 bx 1)比较X3与X2的系数可得：由得b a，代入得a22a b 0(1)ab 21(2)1，即a2 3或a21，没有整数a 能满足这两个方程ab0ab 10a1eb1，所以 X5X 1 (X2X 1)(X3 X

13、2 1)故b1，解得ae0e0ae1事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况 【巩固】 x4 x2 1 是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积 解析： 我们知道 x4 x2 1 (x2 x 1)(x2 x 1).x4 x2 1 不能分解成两个整系数的二次因式的乘积aX 1)(X2 bX 1) 或如 果 x4 x2 1 能 够 分 解 ， 那 么 一 定 分 解 为 (x2所以， X4 X21 不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)【巩固】 X6 X3 1 能否分解为两个整系数的三次因式的积?解析： 设 X6 X31 (X3 aX2 bX 1)(X

14、3 cX2 dX 1)，ac0比较X5, X3及X的系数，得 ad be 1由第一个方程与第三个方程可得b d 0e a ， d b ,再把它们代入第二个方程中，得ab ab 1矛盾 !所以， X6 X31不可能分解为两个整系数的三次因式的积例 10 分解因式： X4 X3 2X2 X 3解析】 原式的有理根只可能为 1，3，但是这四个数都不能使原式的值为 0 ，所以原式没有有理根，因而也没有 (有理系数的 )一次因式我们设想 X4 X3 2X2 X 3可以分为两个整系数的二次因式的乘积次因式也应当是首 1 的于是，设 X43 X2X2X3(X2aX其中整系数 a、b、e、d 有待我们去确定a

15、e1(2)bdae 2(3)及常数项，得bead1(4)bd3(5)由于原式是首 1 的 ( 首项系数为 1) ，两个二b)(X2 eX d)比较式两边X3， X2， X 的系数b、d 是整数 !根据这一点，331或这样的方程组，一般说来是不容易解的不过，别忘了b 1b 1b从(5)可以得出或，当然也可能是d 3d3d在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有 bd 13或 db 13这两种情况将b 1 , d 3，代入(4)，得c 3a 1将与相减得 2a 2 ，于是 a 1 ，再由得 c 2 这一组数(a 1 , b 1 , c 2 , d 3)不仅适合、，而且适合.因此 x4

16、x3 2x2 x 3 (x2 x 1)(x2 2x 3) 将b 1 , d 3，代人，得 c 3a 1将与 相加得 2a 0.于是 a 0，再由 得 c 1.这一组数(aO, b 1 , c 1, d3)，虽然适合、，却不适合，因而 x4 x3 2x2 x 3 (x2 1)(x2 x 3).事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式，考虑有没有其他的解纯属多余,毫无必要.板块四：轮换式与对称式对称式：x、y 的多项式 x y , xy ,x2y2,x3y3 ,x2 yxy2，在字母x与y互换时，保持不变.这样的多项式称为x、y的对称式.类似地，关于x、y、z 的多项式 x

17、 y z,x2y2z2,xy yz zx,x3y3z3,2 2 2 2 2 2x y x z y z y x z x z y , xyz，在字母x、y、z中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x、y z的对称式.轮 换 式 ： 关 于 x、 y、 z 的 多 项 式 x y z ， x y z ， xy yz zx ， x3 y3 z3 ，2 2 2 2 2 2x y y z z x , xy yz zx , xyz 在将字母 x、 y、 z 轮换 ( 即将 x 换成 y y 换成 z z 换成 x) 时 保持不变.这样的多项式称为x、y、z的轮换式.显然，关于x、y、z的对称式一定是x

18、、y、z的轮换式.但是，关于x、y, z的轮换式不一定是对称式例如，x2y y2z z2x就不是对称式.次数低于 3 的轮换式同时也是对称式.两个轮换式 ( 对称式 )的和、差、积、商 (假定被除式能被除式整除 )仍然是轮换式 (对称式 ) .例 11：分解因式： x (y z) y (z x) z (x y)解析： x (y z) y (z x) z (x y) 是关于 x、 y、 z 的轮换式.如果把x2(y z) y2(z x) z2(x y)看作关于x的多项式，那么在 x y时，它的值为 y (y Z) y (z y) z (y y) 0.因此，x y是 x2(y z) y2(z x)

19、 z2(x y)的因式.由于 x2(y z) y2(z x) z2(x y) 是 x、 y、 z 的轮换式，可知 y z 与 z x 也是它的因式.从而它们的积(x y)(y z)(z x) 2 2 2是 x2(y z) y2(z x) z2(x y) 的因式.由于、都是x、y、z的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ,即有2 2 2x2(y z) y2(z .x) z2(x y) k(x y)(y z)(z x)2现在我们来确定常数 k的值.为此，比较的两边 x y的系数：左边系数为 1, 右边系数为 k .因此, k 1 .QQQ于是 x2(y z) y2(z x) z2(x y)

20、 (x y)(y z)(z x)思路 2 :利用 y z= (y x) (z x).例 12 分解因式： xy(x2 y2) yz(y2 z2) zx(z2 x2)【解析】此式是关于x , y , z的四次齐次轮换式，注意到 x y时，原式 0,故x y是原式的一个因式 .同理，y z , z x均是原式的因式， 有一个一次轮换式，设其为 k(x y 故原式k(xyz)(xy)(yz)(z故原式 (xyz)(xy)(yz)(z思路 2 :利用 x2-y2= (x2 -z2)+(z2 y2). 家庭作业 练习 1 分解因式: 4(x 5)(x 6)(x 10)(x 原式 4(x2 17x 60)

21、(x2 16x 60) 3x2 42 2 24(x216x60)2 4x(x216x60) 3x2(x2 16x60)x2( x216x60)3x而 (x y)(y z)(z x) 是三次轮换式， 故还应z)，x) ，展开并比较系数可知， k 1 ，x).12)(x223x216x 60) x (x216x 60) 3x222(2x231x120)(2x235x120)2(2x 15)(x 8)(2x235x120)练习 2要使 x 1x3x4x8m 为完全平方式，则常数m 的值为【解析】x1x3x4x8m(x25x24)(x2 5x 24)m(x25x)220(x25x)96m ，则m 19

22、6练习 3分解因式:22(x2 6x 8)(x214x48) 12【解析】原式 (x2)(x 4)(x 6)(x8)12(x210x216)(x210x24) 12设 tx210x 16 ，则原式 t(t8) 12 (t 2)(t6)(x210x218)(x210x22)练习 4分解因式:2 2 2(x2xyy2 )24xy(2xy2)【解析】22设 x ya ， xy b ，则原式(ab)24ab(a b)2(x22 yxy)2.练习 5分解因式:322x x 5x 2【解析】322x x5x 2 (x 2)(2x1)(x 1)练习 6分解因式:32x3 6x211x6【解析】32x 6x2

23、11x6 (x 1)(x25x6)(x1)(x2)(x 3)练习 7用待定系数法分解:x5 x41【解析】原 式的有理根只可能为 1 ，但是这2 个数都不能使原式的值为0，所以原式没有2有理根，因而也没有故 x5 x4(x2 ax 1)(x34x故acbab2(x ax110( 有理系数的 )一次因式 bx2 cx 1) 或 x5 x4 bx2 cx 1)1)(x3(x2(aaxb)x41)(x3(abbx2cx 1)321)x3 (ac b 1)x2 (ac)x 1a，解得 b10c010 ，所以 x51x4(x2x 1)(x3x 1)练习 8巩固】事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况 分解因式： a3(b