清华自主招生数学试题

1、2006清华大学自主招生数学试题 考试时间：2005.11.281求最小正整数，使得为纯虚数，并求出2已知为非负数，求的最值3已知为等差数列，为等比数列，求的值4求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素之积5随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数6上一点(非原点)，在处引切线交轴于，求7已知满足：对实数有，且，求证:恒为零(可用以下结论：若，为一常数，那么)8. 在所有定周长的空间四边形abcd中，求对角线ac和bd的最大值，并证明。 2007届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题（2006年12月30日）1.求的单调区间及极值.2.设正三角形边长为，

2、是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.求.3.已知某音响设备由五个部件组成，a电视机，b影碟机，c线路，d左声道和e右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当a与b中有一工作，c工作，d与e中有一工作；且若d和e同时工作则有立体声效果.a 0.90b 0.95c 0.95d 0.94e 0.94求：（1）能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率.4.(1)求三直线，所围成三角形上的整点个数； (2)求方程组的整数解个数.5.已知，abc是正三角形，且b、c在双曲线一支上.(1)求证b、c关于直线对称；(2)求abc的周长.6.对于集合，称m为开集，当

3、且仅当，使得.判断集合与是否为开集，并证明你的结论.2008届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题1. 已知都是有理数，也是有理数，证明：都是有理数；2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是，求的面和的面所成的二面角；3. 求正整数区间中，不能被整除的整数之和；4. 已知，求的取值范围；5. 若，求；6. 证明：以原点为中心的面积大于的矩形中，至少还有两个格点。 2008年清华大学自主招生数学试题1.已知，求的取值范围2.已知单位圆上三点,求3. 已知,都是有理数，证明：都是有理数；4. 与轴至少有一个交点

4、，求的取值范围5. 求证：（1）（为正数） （2）6. 整数，求间可表示为（n为不含因子3的整数）的数之和7. 抽奇偶数次，求使之以为概率（）既抽到奇数又抽到偶数， 至少为多少？8. 曲线 ，过原点与相切于的切线， （1）求， 点的坐标； （2）在上，求； （3）求是否存在（在上），使9. 四面体 （1）求证：至少存在一个顶点，使相交于该顶点的三条棱可组成三角形；（2），求二面角10. 恒成立，求的取值范围11. 满足，求；12. 坐标中整数点称为格子点，证：以为中心，面积大于的矩形必包含至少2个格子点。2009年清华大学自主招生数学试题（理科）1. 设的整数部分为，小数部分为求； 求； 求2

5、为实数，且，求证：对于任意正整数，为正实数，求证：，其中为的一种排列3请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于。 求证：，成等比数列5已知，设，求6随机挑选一个三位数求含有因子5的概率；求中恰有两个数码相等的概率7四面体中，求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；设三个面与底面所成的角分别为，求证：8证明当均为奇数时，曲线与轴的交点横坐标为无理数 9设均为正整数，性质为： 对中任意个数，存在一种分法可将其分为两组，每组个数，使得两组所有元素的和相等求证：全部相等当且仅当具有性质2009届清华大

6、学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题（2009年1月1日）1.09理32.证明：一个2n+1项的整数数列，它们全部相等的充分必要条件是满足条件p，条件p为任意取出2n个数，都存在一种划分方法，使得两堆数每堆含有n个数，并且这两堆数的和相等。3.同09理7 4.同09理2 5.同09理6 6.同09理4 7、同09理5 8、同09理12009届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营理科综合（数学部分）1.求2.请写出一个含有根的整系数多项式。3.有数条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论。4.现有一数字游戏：有1到100的数，2个人轮流写。设已经写下的数为，则形如 （为非负整数

7、）的数不能够被写。（如若3，5已被写，则8=3+5不能再写，13=3+5*2，9=3*3+5*0也不能再被写）现在甲和乙玩这个游戏，已知5，6已经被写，现在轮到甲写。问：谁有必胜策略？5.一场跑马比赛最多只能有8匹马参加，假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。问：是否有不多于50场比赛，完全将64匹马的实力顺序排序？6.现有100个集装箱，每个集装箱装2个物品。现在将集装箱的物品全部拆卸，并且所有物品被打乱顺序。问：最坏情况下，需要多少个集装箱再次把所有物品装好？7.现有一游戏：图上有若干个点和若干条线，甲提供若干个硬币，乙可以任意将这些硬币全部摆放在点上，并且指定一个目标定点。现定义操

8、作：甲从一个至少有两个硬币的点取走2个硬币，在它一个相邻的点上放回一个硬币。在指定的图下，甲最少提供多少个硬币，可以保证经过若干次操作，一定能使目标顶点至少有一枚硬币？（1）图是一个包含5个点的线段；（2）图是一个包含7个点的圈。2009年清华大学自主招生数学试题（文科）1已知数列，且求证：是等差数列；求所在的直线方程212名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门求此3名男性被分别分到不同部门的概率；求此3名男性被分到同一部门的概率；若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3一元三次函数的三次项数为，的解集为若仅有一解，求的解析式；若在上单调增，求的范围4已知，（1）求

9、点的轨迹；（2）直线与交于点、，求（为原点）5设求证：求的最值，并给出此时，满足的条件若，求，不符合时的条件2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分）1设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（ ）（a） （b） （c） （d）2设向量，满足，则的最小值为（ ）（a）2 （b） （c）1 （d）3如果平面，直线，点，满足：，且与所成的角为，与所成的角为，那么与所成的角大小为（ ）（a） （b） （c） （d）4在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ）（a） （b） （c） （d）5在中，三边长，满足，则的值为（ ）

10、（a） （b） （c） （d）6如图，的两条高线交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为（ ）（a） （b） （c） （d）7设过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是（ ）（a）1 （b） （c） （d）8设双曲线，椭圆若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为（ ）（a） （b）2 （c） （d）49欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（ ） （a）6 （b）7 （c）8 （d）910

11、设定点是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的180旋转设表示变换的复合，先作，再作。则可以表示为（ ）（a） （b） （c） （d）二、解答题11（本题满分14分）在中，已知，外接圆半径（）求角的大小； （）求面积的最大值12（本题满分14分）设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线设到直线，直线的距离分别为，已知（）判断是锐角三角形直角三角形钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（）若的面积为240，求点的坐标及直线的方程13（本题满分14分）（）正四

12、棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值；（）一般地，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值14（本题满分14分）假定亲本总体中三种基因型式：的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个 （）求子一代中，三种基因型式的比例；（）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由15（本题满分14分）设函数，且存在函数，满足（）证明：存在函数满足；（）设证明：2011年清华等五校联考（华约）自主招生数学试卷一、 选择题(1) 设复数z满足|z|0）,使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（15）将一枚均匀

13、的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。（i）求p1，p2，p3，p4； (ii)探究数列 pn的递推公式，并给出证明；(iii)讨论数列 pn的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。2012年华约自主招生数学试题1、若,的实数部为，求复数在复平面内对应的点的轨迹。2、点在轴上的投影为，若，（1）求点的轨迹；（2）过的直线在轴下方交点轨迹于两点，求中点与连成直线的斜率的取值范围。3、已知锐角，于，于，连接，以为直径画圆，该圆与交于另一点，求的长度。4、系统内有个元件，每个元件正常工作的概率为，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率，并讨论的单调性。5

14、、乒乓球队有个队员，在一次双打集训中，任意两名队员作为队友，恰好只搭档过一次双打比赛，求的所有可能值并每个给一种比赛方案。6、已知，求证：当为偶数时，无解；当为奇数时，有唯一解且x年自主招生华约数学试题1.设，. 集合、都是的真子集，.证明：集合或中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数.2.设，方程的两个根是和，且，又.试比较与的大小.3.求函数的最小值，并求出相应的的值.4.已知是定义在上的不恒为0的函数，且对于任意的，有.（1）求，的值；（2）判定函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）若，求数列的前项和.5.已知关于的方程，. 证明方程的正根比1小，负根比大.6.设，是两个正数，且. 当时，的最小值为，最大值为，求，值.8.某生产队想筑一面积为144的长方形围栏，围栏一边靠墙. 现有铁丝网50，筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？9.在正方形中，过一个顶点作对角线的平行线，若，且交边于点. 求证：.10. 设的重心为，外心为，外接圆半径为，. 求证：11.设圆满足：截轴所得弦长为