双曲线典型例题讲义

1、直线与双曲线一、知识梳理1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：（1）在平面内；与两定点Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数;（3）常数小于|FiF2|.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程X2石 1(a0, b0)2 2y x些卞=1(a0, b0)图形范围xa 或 x a, y Ry0, b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的c/a的取值范围是 ()A (汽 2)B (1 ,.3) C. (1 ,5) D (.5,+)例4已知双曲线x2 y5 = 1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的c/a等于(A.3 ,1414D.33 / 11例5.双曲线mx2+ y2

2、= 1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝U m =例6.已知中心在原点的双曲线C,过点P(2,3)且c/a为2，则双曲线C的标准方程为例7设F1, F2是双曲线C:=1(a0, b0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF11+ |PF2|= 6玄，且厶PF1F2的最小内角为30 贝U C的c/a为例&已知椭圆D: X + = 1与圆M : x2 + (y 5)2= 9,双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线 5025恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.、/ v2例9.过双曲线3 6 = 1的右焦点F2,倾斜角为30。的直线交双曲线于 A, B两点，O为坐标原点，F1为左 焦占八、八、(1)求|AB|

3、; (2)求厶AOB的面积.例10.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，c/a为，2,且过点P(4, 10).（1）求双曲线方程；（2）若点M（3, m）在双曲线上，求证： MFi MF2= 0;求厶F1MF2的面积.11、已知曲线C的方程为（1） 若曲线C为椭圆，则m的取值范围为 ；（2）若曲线C为双曲线，贝U m的取值范围为 2 212、直线丨：y k x 2与双曲线C: - 1交于A、B两点，若 AB 6. 2，求k的取值范围。213、对于双曲线x2 21，过B（1,1）能否作直线m，时使m与双曲线交于P,Q两点，且B是PQ的中占八、若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

4、214已知双曲线的方程 X15、试问双曲线3x2-y2=1上是否存在 A、B两点关于直线y 不存在，说明理由. 仏 1，试问是否存在被点（1 , 1）所平分的弦？如果存在，求出所在直线;2x 4对称？若存在，求出AB直线方程；若2如果不存在，说明理由。216:已知双曲线 C: x2- 红=1，过点P (1 , 1)作直线l，若I与C左支有两个不同的交点，求直线 I的斜 4率的取值范围。练习:X21.与椭圆7 + y2= 1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是4x2-存 12A.y - y2= 142.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的c/a 为()A. 6B

5、. 5C心C. 23.双曲线 - y9=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为A . 22 或 2C. 224.(2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂=15 / 11直，那么此双曲线的 c/a为()B. 3D.5+ 15. 若点O和点F( 2,0)分别是双曲线x22-y2= 1(a0)的中心和左焦点，点 aP为双曲线右支上的任意一点，&已知双曲线中心在原点且一个焦点为 标为一3，则此双曲线的方程是(3则oP fP的取值范围为()A . 3- 2 3, + ) B. 3 + 2 ,3,+ C.-孑，+ mD. 7，+ m2

6、 26. 已知双曲线 C: x2-七=1(a0, b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()a bA. aB. bC. abD. . a2+ b2x2 y27. 点P在双曲线上b= 1(a0, b0)上，F1, F2是这条双曲线的两个焦点，/F1PF2= 90 且厶F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的 c/a是()F( .7, 0)，直线y = x- 1与其相交于 M , N两点，MN中点的横坐A.x2 - y2B.J- 3 = 1x2 y违-2 = 1D.x2-必25)9. 设Fi、F2分别是双曲线x2- =1的左、右焦点 若点P在双曲线上，且PF1 PF20,则|

7、PFi+PF2|=910. 已知双曲线 x2 b2(b0)的一条渐近线的方程为y= 2x,则b =.11. 已知双曲线kx2 y2= 1的一条渐近线与直线 2x + y+ 1 = 0垂直，则双曲线的 c/a为;渐近线方程为x2 y2、 、 412. 已知双曲线m 7 = 1的一条渐近线方程为y = x,则该双曲线的 c/a为2 2F1, F2,过F1作直线交双曲线的左支于A, B两点,13. 双曲线汁沽1(a0，b)的左、右焦点分别为且|AB|= m，则 ABF2的周长为 .2 214. 已知F1、F2分别为双曲线C : X 27= 1的左、右焦点，点 A C,点M的坐标为(2,0), AM为

8、/ F1AF2的平分线，则|AF2|=15.已知双曲线2= 1(a0,b0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线11于11 / 11：3-.6P(g,亍).(1)求该双曲线方程;过点F作直线12交该双曲线于 M , N两点，如果|MN|= 4，求直线12的方程.16. 已知中心在原点的双曲线 C的一个焦点是 F1(-3,0), 一条渐近线的方程是、5x-2y=0.(1) 求双曲线C的方程；(2) 若以k(k丰0)为斜率的直线1与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81,求k的取值范围.217. 直线I :y=kx+1与双曲线C

9、:2x2-y2=1的右支交于不同的两点 A、B.(1) 求实数k的取值范围；(2) 是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由四、课后作业2x1.已知双曲线a2 y b21 (a0, b0)的左、右焦点分别为F1、F2,若 P 为其上一点，且 |PF1|= 2|PF2|,则双曲线c/a的取值范围为()A (1,3)B.(1,3C.(3,+)D . 3,+oo)2 x2y2已知P是双曲线21 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y = 0.设F1、F2分别为双曲a9线的左、右焦点右|PF2|= 3，则|PFi|=.2 23过双曲

10、线 罕-=1(a0,b0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双a b曲线的右顶点，则双曲线的 c/a等于.4求适合下列条件的双曲线的方程:5(1)焦点在轴上，虚轴长为12，c/a为一；(2)顶点间的距离为45.已知双曲线的方程是16x2 9y2= 144.(1)求该双曲线的焦点坐标、设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1| |PF2| = 32,求/ F1PF2的大小.6如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P,Z F1PF2= 3，且APF1F2的面积为2 3，又双曲线的c/a为2,求

11、该双曲线的方程.7.已知椭圆的方程为2Xy2 1，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的4左、右焦点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A和B，求的范围参考答案双曲线1 解析B椭圆X + y2= 1的焦点坐标是(土 3, 0).设双曲线方程为養=1(a0, b0).因为点4a b4122P(2,1)在双曲线上，所以 y b2= 1, a2+ b2= 3,一x2 y22解析设双曲线的标准方程为 孑一器=1(a0,2 解得a2= 2, b2= 1,所以所求的双曲线方程是笃y2= 1.b0)，所以其渐近线方程为y= x,因为点(4, 2)在渐近

12、ab 1线上，所以b=1,根据c2= a2+ b2,可得2 2c2 a2a24解得e2=4, e=，故选D.3答案 A4答案 D解析 直线FB的斜率为-b,与其垂直的渐近线的斜率为c=ac,所以c2 a2= ac,两边同时除以 a2可得e2 e 1 = 0，解得e=b，所以有一b = 1即b2aac5解析B因为F( 2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2+ 1 = 4，即a2= 3,所以双曲线方程为 弓y2= 1设3点 P(X0 , yo),则有X- y0= 1(X0.3),解得 y2 = X 1d 3).因为 FP = (x+ 2, yo), O)P=(X , yo),所以 OP FP =X

13、0(x0+ 2) + *= X0(X0+ 2) + X 1 =瞥+ 2X0 1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为X0= 4，因为X0 3,所以当X0= ,3时，O)P Fp取得最小值4X3 + 2.3 1 = 3+ 2 3，故O)P FP的取值范围是3 + 2 3,+36 答案 B7 解析D 不妨设 |PF1|, |PF2|, |F1F2 成等差数列，则 4c2= |PF1|2+ |PF 2|2，由 2|PF2= 2c+ |PF1|, 且 |PF2| |PF1|= 2a,解得 |PF1|= 2c 4a, |PF2|= 2c 2a，代入 4c2= |PF+|PF2|2，得 4c2 = (2c

14、 2a)2 + (2cc4a)2，化简整理得 c2 6ac+ 5a2 = 0,解得c= a(舍去)或者c= 5a,故e= - = 5.a8答案D解析 设双曲线方程 羊一羊=1，M(X1, y1), N(X2, y2),X1 y2 ?b2整1,一得:y1 y2X1 X22 b2 X1 + X2b2 32 , 1 = 2 a y1 + y a .5a2 = 2 b2.又 a2 + b2= 7，/a2 = 2, b2= 5，选 D.9. 2 .10 10o 2 11。宁，= 0双曲线kx2 y2 = 1的渐近线方程是y = . kx.又因为一条渐近线方程与直线11卩 j 、12x+ y+ 1 = 0

15、 垂直,k = . 双曲线的c/a为e=专；渐近线方程为 gx（= 0.5512答案 3或5解析 设m0, n0,344 n 16 m+n 255 “ y2x2一=3，审=亍右=2Te= 5.设 m0，n2;若M , N两点在双曲线的两支上，则k2 0,b 0).由题设得 b2b229,a4,解得b25.T=1. (2)设直线1的方程为y=kx+m （k丰0）.点 M (Xi, yi),(X2,y2)的坐标满足方程组yx!4kx m2L 15将式代入式,(kx)2=1,整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m 2-20=0.5此方程有两个不等实根，于是5-4k20,且4 =(-8km)2+4(

16、5-4k2)(4m2+20) 0,整理得 m2+5-4k2 0.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(xo,yo)满足x= = 54 km5m2 ,yo=kxo+m=2 .4k25 4k2从而线段MN的垂直平分线的方程为y-罟14kmx此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为9km2,0 , 0, 9m 2 .5 4k5 4k2 2=81.整理得 m2=(5 4k ) ,k 工 0.2 k9m5 4k22 2将上式代入式得(5 4k ) +5-4k2 0,整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5) 0,k 工 0.|k|解得0v|k|v三或|k| 5 所以k的取值范围是(心，-)U (-兰，0)U

17、 (0,24429 km由题设可得12 |5 4k.”55、三)u (-,+-)12 / 1117解 (1)将直线I的方程y=kx+1代入双曲线 C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0 依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，k220(2k)28(k22kk222) 0解得k的取值范围为-2 v k v -. 2 .2k22设A、B两点的坐标分别为(X1,y1),(X2,y2),则由式得X1 X2X1 ?X22k2 k22k22假设存在实数k,使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F ( c,0),则由FA丄FB得(X1 -c) (x2-c)+y 1y2=

18、0.即(X1_c)(x2_c)+(kx 1+1)(kx 2+1)=0.整理得：(k2+1)X1X2+(k-C)(X 1+X2)+c2+ 仁0把式及c=代入式化简得 5k2+2 .,6 k-6=0.2解得 k=- 66 或 k= -6(-2,-、. 2 )(舍去).55可知k=- 6 6使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点.51. B解析：T |PF1|PF2|=|PF2|= 2a,而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，二有c aW2,1e 0,b 0).由题意，得解得a b2 2所以双曲线的方程为1-1=1. ( 2 )方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为64362 2 2 2二-与=l(a 0,b 0).由题意，得解得所以焦点在轴上的双曲线的方程为、-丄=1 .a2 b29 814x23T=1 .方法二：设以y =为渐近线的双曲线的方程为L= X入？ 0).当入时，2 4入=6，解得入-.此时，所求的双曲线的方程为94313 / 112x6.解：设双曲线方程为a2y21 (a0, b0), F1( c,0), F2(c,0), P(x0 , y).bn在厶PF1F2 中，由余弦定理，得 |F1F2|2= |PF+ |PF2|22|PF1| |PF2| cos 3 =(IPF11- |PF2|)2+ |PR| |PF2|.即卩 4c2 =