2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节第三课时定点、定值、探索性问题课时作业

1、1已知动点C到点 F(1,0)的距离比到直线x 2 的距离小 1，动点 C的轨迹为 E.(1) 求曲线 E 的方程；(2) 若直线l：kx (0) ，pxp2 1， p 2，动点 C的轨迹 E 的方程为 y24x.(2) 设 A( x1， y1 ) ， B( x2， y2) ，y kx m，由 y2 4x，222得 k x (2 km4) x m0，4 22kmmx1 x2k2， x1 x2k2.222m 4kmOA OB 5， x1x2 y1y2 (1 k ) x1x2 km( x1 x2) mk2 5， 245 20， 或5.mkmkm kmkkm0 ，直线l的方程为 (x5)，y k直线

2、 l 必经过定点 (5,0) 2(2018 昆明市检测 ) 已知点，B的坐标分别为 ( 2，0)，(2， 0) ，直线，相AAM BM交于点，且它们的斜率之积是1，点的轨迹为曲线 .M2ME(1) 求曲线 E 的方程；(2) 过点 F(1,0) 作直线 l 交曲线 E 于 P，Q两点，交 y 轴于 R点，若 RP 1PF，RQ 2QF，证明： 1 2 为定值yy1解析： (1) 设点 M( x， y) ，由已知得( x 2) ，x 2x 22x22化简得曲线 E 的方程：2 y 1( x2) (2) 证明：设点 P， Q， R的坐标分别为P( x1， y1) ， Q( x2， y2) ， R(

3、0 ， y0) 1由RP 1PF，得 ( x1， y1 y0) 1(1 x1， y1) ，所以 x1 1， y1y0，1 11 1因为点 P 在曲线 E 上，所以 1( 1)2 (y0) 21，2 1 11122，化简得 1 4 12 2y0 0 2， y2y0同理，由 RQ 2QF，可得 x2，1 21 2代入曲线E24 2 2 22，的方程化简得 20 0y22 0 的两个实数根 (0) ，由可知 1， 2 是方程 x 4x 2 2y0所以 4，即 为定值12123在平面直角坐标系中，已知点A( 3，0) ， B(3， 0) ，直线 MA， MB交于点 M，它们的斜率之积为常数(0) ，且

4、的面积最大值为3，设动点的轨迹为曲线 .m mMABME(1) 求曲线 E 的方程；(2) 过曲线E外一点Q作E的两条切线l1，2，若它们的斜率之积为1，那么 是否为lQA QB定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由解析： (1) 设 M( x， y) ，则由已知得y y m，即 y2 m( x2 3) ，x3x3x2y23) (*)即 1( x33m当 m0 时，方程 (*) 表示双曲线，此时MAB面积不存在最大值 ( 不符合 ) ；当 m 1 时，方程 (*) 表示圆，此时 MAB的面积最大值为3(不符合 )；1当 mb0)的焦点为 F，F ，离心率为 2，点 P 为其上一动点，且三角

5、形 PF1F2 的面积最大值为3， O为坐标原点(1) 求椭圆 C的方程；(2) 若点 M，N为 C上的两个动点， 求常数 m，使OM ON m时，点 O到直线 MN的距离为定值，求这个定值解析： (1) 依题意知a 2，解得b3，c2 a2b2，bc3，c 1 ，a 2x2y2所以椭圆 C的方程为 1.43(2) 设 M( x1， y1 ) ， N( x2， y2) ，则 x1x2 y1y2 m，当直线 MN的斜率存在时，设其方程为y kxn，则点 O 到直线 MN的距离 d| n|k2 1n2k2 1，3x2 4y2 12，消去 y，联立，得y kxn，得(4 k2 3) x28knx 4

6、n2 12 0，由 0 得 4k2 n2 30，则 8kn4n2 12x1x2 4k2 3，x1x2 4k2 3 ，所以 x1x2 ( kx 1 n)( kx2 n) ( k2 1) x1x2kn( x1 x2 ) n2 m，7n2mk2整理得 k2 112k2 1.因为 dn2m 0， d12 221k2 1为常数，则7 7，3此时 27n212 满足0.k1当 轴时，由 0 得kOM 1，MN xm联立，得3x2 4y2 12，消去y，得x212，点O到直线的距离d |x| 2 21亦成y x，7MN7立综上，当0 时，点O到直线的距离为定值，这个定值是2 21.mMN7B 组能力提升练1

7、如图，已知直线l ： y kx 1( k0) 关于直线 y x1 对称的直线为l 1，直线 l ， l 1与椭圆 ：x2y2，和，记直线l1的斜率为k1 1 分别交于点.E4A MAN(1) 求 k k1 的值；(2) 当 k 变化时，试问直线 MN是否恒过定点？若恒过定点， 求出该定点坐标； 若不恒过定点，请说明理由解析： (1) 设直线 l 上任意一点P( x， y) 关于直线 y x 1 对称的点为 P0( x0， y0) ，直线 l与直线 l 1 的交点为 (0,1)，y 1y 1：kx 1，1：1x 1，10，lyly kkxkx0y y0xx0由221，得 y y0 xx0 2，y

8、 y0由 x x0 1，得 y y0x0 x，y x0 1，由得y0 x 1，yy0yy0 1kk1 xx0xx0 x x0 1xx0 1.4y kx 1，(2) 由 x22得(4 k2 1) x2 8kx 0，4 y 1，设 M( xM， yM) ， N( xN， yN) ，xM 8k， yM1 4k222.4k 14k 1 81814k12k2 4同理可得 x 4k1kk， y 4k1 1 4k 14 k .N22N221 4k2k2 4yMN42 14k28 8k42 ykk 1kMNM 8823，xNkk8kkxk4k2 1 4 k2直线：yk(xx) ，MN yMMNM即 y1 4k

9、2k2 1 8k23k( x2) ，4k 14k 1k2 1k21 4k2k2 15即 y 3k xk24k2 1 3k x 3.5当 k 变化时，直线MN过定点 (0 ， 3) 2.(2018 合肥市质检 ) 如图，在平面直角坐标系中，点 F( 1,0)，过直线l： 2 右侧的动点P作l于点，的平分线交x轴于xPAAAPF点 B， | PA| 2| BF|.(1) 求动点 P 的轨迹 C的方程；(2) 过点F的直线q交曲线C于， ，试问：x轴正半轴上是否存在点，M NE直线 EM，EN分别交直线 l 于 R， S两点，使 RFS为直角？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由解析： (

10、1) 设 P( x， y) ，由平面几何知识得| PF|2| | 2 ，PAx2 y22即| x 2| 2 ，化简得 x2 2y2 2，所以动点P的轨迹C的方程为2 2 22(x 2)xy(2) 假设满足条件的点E( n, 0)( n0) 存在，设直线q 的方程为 x my 1，M( x1， y1) ， N( x2， y2) ， R( 2， y3) ， S( 2， y4) 联立，得x2 2y2 2，消去 x，x my 1，52 2得( m 2) y 2my 1 0，y1y22m，y1y21，222m 2m222 221x2(1 1)(21) 212(1y2) 1m2m 1m2 22，xmymy

11、my y m ym 2m 2m 2224m2 2，x1x2 m( y1 y2) 2 2m 2m2由条件知y1y3， y3 ny1x n，x n 2 n114 ny2RFy33，同理 yx2 n，k 2 1 ySF4.k y因为 RFS为直角，所以y3y4 1，所以 (2 n) 2y1y2 x1x2 n( x1 x2) n2 ，2124n(2 n)2 2m222 2 n ，m2m 2m2所以 (n2 2)(21) 0，2，mn故满足条件的点E 存在，其坐标为 (2，0) 222l 与 C 有两个交3已知椭圆 C：9x y m( m0) ，直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴，点 A， B，线段

12、 AB的中点为 M.(1) 证明：直线 OM的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；m(2) 若 l 过点 ( 3， m) ，延长线段 OM与 C 交于点 P，四边形 OAPB能否为平行四边形？若能，求此时 l的斜率；若不能，说明理由解析： (1) 证明：设直线l ： y kx b( k0， b0) ， A( x1，y1) ， B( x2， y2 ) ， M( xM， yM) 将ykxb代入 9x2y2 2得 (k2 9)x2 2b22 0，mkbxmx1 x2 kb， yM kxMb9b.故 xM2 22k9k9yM9于是直线 OM的斜率 kOM ，xMk即 kOM k 9.所以直线 OM的斜率与

13、 l 的斜率的积是定值(2) 四边形 OAPB能为平行四边形m因为直线 l 过点 ( 3，m) ，所以 l 不过原点且与 C有两个交点的充要条件是 k0，k3. 由 (1) 得 OM的方程为 y 9kx.6设点 P 的横坐标为xP，922y x，2k mkP281，由222得 x 9k9x y m km即 xP 3 k2 9.mm k将点 ( 3， m) 的坐标代入 l的方程得 b3，Mkmk.因此 x k2四边形为平行四边形，当且仅当线段与线段互相平分，即x 2 .OAPBABOPPxM km2k km于是2，3k2 9k 解得 k1 47， k2 47. 因为 ki 0， ki 3， i

14、1,2 ，所以当 l 的斜率为4 7或 47时，四边形 OAPB为平行四边形1x2y24(2018 长沙市模拟 ) 已知 P(3，2) 在椭圆C： a2 b21( ab0) 上， F 为右焦点， PF 垂直于 x 轴 A， B， C， D为椭圆上四个动点，且AC， BD交于原点 O.(1) 求椭圆 C的方程；(2) 判断动直线l：m n()y31 31( ， R)与椭圆的位置关系；2 xm n2m2n m nCy1y21(3) 设 A( x1， y1) ，B( x2，y2) 满足 5，判断 kAB kBC 的值是否为定值，若是，请求出此OA OB定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说

15、明理由1x2y23 1解析： (1) P(3， 2) 在椭圆 C： a2 b2 1( ab0) 上， a24b2 1. 又 F 为右焦点， PF垂直于 x 轴，a2 b2 3. x22由，解得a 2， b 1，椭圆 C的方程为4 y 1.m n3 13 1(2) 将动直线 l 的方程2x( m n) y2m2n( m， n R)，x31 (x31 0.化为 (2)2)2ym2 yn7x 3 12 y 2 ，m， n R，x 312 y 2 ，x3，解得1y2，动直线l恒过点 ，PP 在椭圆C上，动直线l 与椭圆 C的位置关系是相切或相交y1y21(3) 5， 4y1y2 x1x2. 当直线 A

16、B的斜率不存在或斜率为0 时，不满足 4y1y2 x1x2.OA OB当直线 AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y kx m，y kx m，联立，得 x224 y 1，得(1 4 2)x28 4(21) 0，kkmxm (8 km)22222 4(4 k1) 4( m 1) 16(4 km 1)0(*) 8kmx 1 x21 4k2，2x1x2m1 4k2 .121212122121224y y xx， yy ( kx m)( kxm) k x x km( x x ) m，22(4 k 1) x1x24km( x1 x2) 4m 0，22 8km2m 4km(4 k 1)1 4k22 4m 0，1 4k21整理得 4