word完整版空间向量知识点归纳期末复习推荐文档

1、空间向量期末复习知识要点：1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）uuuOB加法结合律：（a b） c数乘分配律：（a b）3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合, 向量或平行向量，a平行于b，记作a/b。当我们说向量a、b共线（或a/ b ）时，表示a、b 一直线，也可能是平行直线。(b c) b那么这些向量也叫做共线的有向

2、线段所在的直线可能是同（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（ b丰0）, a / b存在实数入使a = xb。4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数（2）共面向量定理：如果两个向量r r ra,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个yb zc。x, y 使 p xa yb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量唯一的有序实数组 x, y,z，使p xar|若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成

3、空间的一个基底。推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数uuuuuu uuuuuurx, y, z，使 OP xOA yOB zOC。6. 空间向量的数量积。r r（1 ）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点0，作uuu r uuu rr rr rr rOA a,OB b，则 AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,b ，r rrrr显然有a,b b, a ；若a,b ，则称a与b互相垂直，记作：a b。2uuu ruuurr（2） 向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量 a的长度或模，记作：|a|。r

4、 r r rrr（3） 向量的数量积：已知向量a,b，则|a| |b| cos a,b 叫做a,b的数量积，记rr r r r 作 a b，即 a b |a| |b| cos a,b 。（4）空间向量数量积的性质：2 r r a e | a | cos a,e 。 a b a b 0。 |a| a a。（5）空间向量数量积运算律：r rrr r rrr（a）b（ab） a （ b）。 a b b a （交换律）。rra （b C） a b a c （分配律）。7空间向量的坐标运算：（i）.向量的直角坐标运算设a二佝赴心）,b = Qbd）则r r(1) a + b = (ai da bi,aa

5、ba)；r r(2) a b = (ai d,a2 匕2忌 ba)； r(3)入a = ( ai,ai, a3)(入职)；ra b = aida2b2a3b3 ；uuruuuuuu(2)设 A(x1,yi,Zi) , B(xi, y2,zi)，则rrABOBOA = (x2Xi,y2 yi, Z2 zi) 11(3)设a (Xi，Yi，), b 区也乙)，则.r 2 r r222| a | a a = XiyiZir rrr r rrrr raPba b(b 0)；aba b 0XiX2y2ZiZ20.(4)夹角公式 设 a = (a1,a2,a3), b = (b,Sb3),小r ,ra1b

6、1a2b2 a3b3则 cos a, b .=2 212肠aig 肩b| ba（5）异面直线所成角r rcos |cos（a,b）|=4nL 1曲2yiy 牡1.|a| |b| 賦y?Z7 7x7y Z22（6）直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e,平面a的法向量为n,直线I与平面a所成的角|n e|为（）,两向量e与n的夹角为0,则有sin（j）= |cos 0|=山囘困(7) .二面角的求法如图，AB, CD是二面角a-1-B的两个面内与棱I垂直的直线，则二面角的大小0uurr uuu=.如图，ni, n2分别是二面角a-I -3的两个半平面 a, B的法向量，则二面角

7、的大小 0= 或 n ni, n2.COScos r, n2血2|练习题：1.已知 a= ( 3,2,5),b = (1, x, 1)且 a b = 2,贝U x 的值是(A. 3B. 4C. 5D. 62.已知 a= (2,4,5), b = (3, x, y),若 a II b，则()15A. x= 6,y=15B.x= 3 ,y=215C.x= 3 ,y=15D.x= 6 ,y= 3. 已知空间三点 A(0,2,3), B( 2,1,6), C(1, 1,5).若 |a|= 3，且 a 分别与 AB, AC垂 直,贝U向量a为()A. (1,1,1)B. ( 1, 1, 1)C. (1,

8、1,1)或( 1, 1 , 1)D. (1 , 1,1)或(1,1, 1)4若 a= (2 , 3,5) , b= ( 3,1, 4),则 |a 2b| =5.如图所示，1 1已知正四面体 ABCD中，AE= 4AB , CF= ：CD,则直线 DE和BF所成角的余弦值为4. 258解析/ a 2b = (8 , 5,13),|a 2b|=+ 5 + i3 = J258.45.13解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点 A在底面BCD内的射影为 以有BC丄DA, AB丄CD.设正四面体的棱长为 4,则 BF De=(BC+ CF) (Da+ Ae)BCD的垂心，所=0+ BC AE+ CF D

9、A + 0=4X 1 X cos 120 o+ 1 X 4 X cos 120 o= 4, BF= DE=42+ 12 2X 4 X 1 X cos 60 =13 ,所以异面直线DE与BF的夹角0的余弦值为：cos 0=4i3.uuuUUU6.如图所示，在平行六面体 ABCDAiBCiDi中，设AA = a, AB = b ,UULTAD = c, M , N ,P分别是AAi, BC, Ci Di的中点，试用a, b, c表示以下各向量:UUAP ；U(2) AN ;LUITUUUIL MP + NG .解：(i)： P是Ci Di的中点,UU二 APUUUUULUTULUU=AA| + A

10、i Di + Di P=a+UJIT1 ULUUUAD + 2 Di Gi UUT=a+ c+ 2 AB1 =a+ c+ 2b./ N是BC的中点，uuunuuurmuiuur1 uurA N = A、A + AB + BN = a+ b+ q BC1 LUT1=a+ b + q AD = a + b + qc./ M是AAi的中点,LUUUULTuh1 UUUUUU MP =MA +AP = q A A +AP111 1=a+2a+ c+ qb=qa+ qb + c ,UULUUTUUU1 UUUUUU又NG =NC + CG=q BC +AA1 ULTUUU1=2 AD + AA =qc

11、+ a ,UJITUUU111.mp + NCi = qa+ qb + c + a + qc313= ：a+ 二 b + 二 c.2 2 27已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中， ABC为等腰直角三角形，/ BAC= 90且AB= AA1,D, E, F分别为BA, C1C, BC的中点.(1)求证：DE/平面 ABC;求证：B1F丄平面AEF证明：以A为原点，AB, AC, AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,令 AB= AA1= 4,则 A(0,0,0)，日0,4,2), R2,2,0), B(4,0,4), D(2,0,2), A(0,0,4),

12、iuuruuu DE = (- 2,4,0)，平面 ABC的法向量为 AA = (0,0,4),uuu uuu/ DE -AA = 0, DE?平面 ABC,DE/平面 ABC.nunuuu(2) Bf = ( 2,2,- 4), EF = (2, - 2,- 2),uurn uurBf -EF = (-2) X 2 + 2X (-2) + (- 4) X (- 2) = 0,uuuuuu . Bi F 丄 EF , BiF丄 EF,uuua unrBiF -AF = (- 2)X 2+ 2X 2 + (-4)X 0= 0,uuur uuu B1F 丄 AF , BF丄 AF./ AFn EF

13、= F,. BiF丄平面 AEF8.如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，PC丄平面ABCD, PC= 2，在四 边形 ABCD 中，/ B=Z C= 90 AB= 4, CD= 1,点 M 在 PB 上,PB =4 PM, PB与平面ABCD成30。的角.求证：(1)CM /平面 PAD;平面PAB丄平面PAD.证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角 坐标系C-xyz./ PC丄平面ABCD,/ PBC为PB与平面ABCD所成的角,/ PBC= 30/ PC- 2 , BO 2 3 , PB= 4, D(0,1,0), 02 3, 0,0), A(2 3

14、, 4,0), P(0,0,2), M 扌 0, | ,iuur DP = (0, 1,2),urnDA=(2 .3, 3,0),uuuu CM =应0 32 , , 2(1)设n = (x, y, z)为平面PAD的一个法向量,LULTDP n= 0, 由uuiDA n= 0,y+ 2z= 0,2 3x+ 3y= 0,令 y= 2,得 n = ( .3, 2,1).uuui33n CM = 一 雪3 x 2 + 2 x 0 + 1 x = 0,uuu n丄CM .又CM?平面PAD, CM /平面 PAD.如图，取AP的中点E,连接BEuuu则 E( 3, 2,1), BE = (- 3,

15、2,1)./ PB= AB,. BE! PA.luur uuu又 BE DA = (-3, 2,1) (2 3, 3,0)= 0,uuu uuu BE 丄 DA BE! DA.又 PAA DA= A,： BE!平面 PAD.又：BE?平面PAB,平面PAB丄平面PAD.9.如图，在正方体 ABCDAiBQDi中，E为AB的中点.(1)求直线AD和直线BiC所成角的大小；求证：平面 EBD丄平面BCD.解：不妨设正方体的棱长为 2个单位长度，以 DA, DC, DD1分别为x轴、y轴、z轴,uu uuuDA CBi =-uuuuur | DA|CBi |根据已知得：D(0,0,0), A(2,0

16、,0), B(2,2,0), C(0,2,0), Bi(2,2,2).uuuuuuluff uuu(1) / DA = (2,0,0), CBi = (2,0,2) , cos DA , CB n直线AD和直线BiC所成角为-.4(2)证明：取BD的中点F,得R1,1,1)，连接EF E为 AB 的中点， E(2,1,0),muumr EF = (- 1,0,1), DC = (0,2,0),uir uur uuu uuu EF DC = 0 , EF -CB1 = 0, EFL DC, EFL CB ./ DCn CB1= C,，. EF丄平面 BQD.又 EF?平面EBD,.平面 EBD丄

17、平面BQD.10 .如图，直角梯形 ABCD与等腰直角三角形 ABE所在的平 面互相垂直.AB/ CD, AB丄 BC, AB= 2CD= 2BC, EA I EB(1) 求证：ABLDE;(2) 求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；线段EA上是否存在点F,使 EC/ 平面 FBD?若存在，求出EA；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：取 AB的中点O,连接EO, DO.因为EB= EA,所以EOL AB.因为四边形ABCD为直角梯形.AB= 2CD= 2BC, AB丄 BC,所以四边形OBCD为正方形，所以AB丄OD.因为 EOA DO= O,所以AB丄平面EOD,所以AB丄ED.因为平

18、面 ABE!平面 ABCD,且EO丄AB,所以EO丄平面ABCD，所以EO丄OD.因为三角形EAB为等腰直角三角形,由OB, OD, OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系所以 OA = OB= OD = OE,设 OB=1,所以 O(O,O,O), A(- 1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0),iuurD(0,1,0),曰0,0,1).所以 EC = (1,1,- 1),unr平面ABE的一个法向量为 OD = (0,1,0).设直线EC与平面ABE所成的角为0,uju uur iuu uu| EC OD所以 sin 0= |cos EC , OD |=_uur|EC|O

19、D|即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为孑11.(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥 P ABCD中，PA丄平面 ABCD, PA= AB= 2, BC =4, E是PD的中点.(1)求证：平面 PDC丄平面PAD;求点B到平面PCD的距离.21.证明 如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系，则依题意可知A(0,0,0), B(0,2,0),C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2). PD= (4,0，- 2), CD= (0, - 2,0), PA= (0,0, 2).设平面PDC的一个法向量为 n = (x, y,1),2y=

20、 04x 2= 01所以平面PCD的一个法向量为 2，0，1 ./ PA丄平面 ABCD,. PA丄 AB,又 AB丄 AD, PAA AD= A,. AB丄平面 PAD.平面PAD的法向量为AB= (0,2,0).tn AB= 0, n丄AB.平面PDC丄平面PAD.解由(1)知平面PCD的一个单位法向量为2,554*55 ，4占 点B到平面PCD的距离为 一AiBiCiDi 和 ABCD 互相12 .如图所示，在多面体 ABCD-AiBiCiDi中，上、下两个底面 平行，且都是正方形，DDi丄底面ABCD, AB= 2 AiBi = 2DDi = 2a.(1) 求异面直线ABi与DDi所成

21、角的余弦值；(2) 已知F是AD的中点，求证：FBI平面BCCBi;(3) 在(2)的条件下，求二面角 F-CCi-B的余弦值.解：以D为坐标原点，分别以 DA, DC, DDi所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2a, 0,0),B(2a2a,0), C(0,2a,0), Di(o,o, a), F(a0,0), Bi(a,a, a), C(0, a, a).uuu(1) t ABi = ( a, a,a),uiuurDDi = (0,0,a),uuu uuuffAB1 DD1 -ttttfll uuuu |ABi| I DDi |uuuuuuu. |co

22、s ABi , DDi| =异面直线 ABi与DDi所成角的余弦值为uuuuuuuuu(2)证明： BBi = ( a,一 a, a), BC = (一 2a,0,0), FBi = (0, a, a),uuuuuuFBiBBi = 0,uuuuuuFBiBc = 0, FBIBBi, FB 丄BC./ BBQ BC= B,. FBI平面 BCCBi.uuu由知，FBi为平面BCCBi的一个法向量.设n = (xi, yi, zi)为平面FCG的法向量，uuluuuuCCi = (0, a, a), FC = ( a,2a,0),uuuun CG = 0,uurn -FC = 0,ayi +

23、azi = 0, 得axi+ 2ayi= 0.令 yi = i，贝U n = (2,i,i),uuu cos FBi , nuuu FBi n=uuuI FBi I |n|面角F-CG-B为锐角, 面角F-CC-B的余弦值为13. 如图，四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，侧棱AiA丄底面 ABCD, AB/ DC, AB丄AD, AD= CD= 1 , AAi = AB= 2, E 为棱 AAi的中点.(1)证明：BQi 丄 CE;求二面角B-CE-Ci的正弦值.设点M在线段CiE上，且直线AM与平面ADDiAi所成角的正弦值为 #，求线段AM的长.解：法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐

24、标系，依题意得 A(0,0,0), B(0,0,2), C(1,0,1), Bi(0,2,2), Ci(1,2,1),日0,1,0).murmu(1) 证明：易得 B1C1 = (1,0，一 1), CE = ( 1,1 , 1)，于是luuir uunBG CE = 0，所以 B1C1 丄 CEuuu(2) BC = (1 , 2, 1).设平面BCE的法向量m = (x, y, z),uurm ，B1 C1 = 0 ,x 2y z = 0,则 uuu即消去X,得y+ 2z= 0，不妨令z= 1,可得一个m CE = 0, x+ y z= 0.法向量为 m = ( 3, 2,1).LULT由

25、(1)知，BC1丄CE,又CO丄BC，可得 BC丄平面 CEO, 故 BC = (1,0, 1)为平面ULULTm -B1C1 4CEC的一个法向量.LUUIT于是 cos m, B1C1 2筋uuu j= |m| IB1C1 |；14x 27UUULT从而 sin m , BG 7217所以二面角B-CE-C的正弦值为UJUUUJTUUUU UUUlUUUl UJU(3) AE = (0,1,0),EC1 =(1,1,1).设 EM=疋6=(人人 加 0W 入w1，有 AM= AE+UUUUUUEM =(入 H 1 ,乩可取AB = (0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.设B为直线AM与平面ADDiAi所成的角，贝U s