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1、三角形培优练习题1已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 AD2 已知：BC=DE，/ B= / E,/ C= / D , F 是 CD 中点，求证:A3 已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF/AB，求证：EF=AC4 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C105 已知：AC 平分/ BAD , CE丄 AB，/ B+ / D=180 ，求证：AE=AD+BE6如图，四边形 ABCD中，AB / DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD ,且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。7 已知：AB=CD，/ A= /

2、 D，求证：/ B= / C8.P 是/ BAC 平分线 AD 上一点，ACAB，求证：PC-PBAC-AB9 已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DC10.如图，已知 AD / BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于 E, CE的连线交 AP 于 D .求证：AD + BC=AB.11如图， ABC中，AD是/ CAB的平分线，且 AB=AC+CD，求证：/ C=2/ B12 如图：AE BC交于点 M F 点在 AMk, BE/ CF, BE=CF求证：人皿是厶ABC的中线。E13已知：如图，AB=AC, BD AC, CE AB，垂足分别为

3、 D、E, BD、CE相交于点F。 求证：BE = CD.C14在厶ABC中，ACB 90 , AC BC，直线MN经过点C，且AD MN于D ,BE MN于E 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ADC也 CEB :DE AD BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立,请给出证明；若不成立，说明理由15 如图所示，已知 AE! AB, AF丄 AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF ( 2) EC丄 BFBC16.如图，已知AC / BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD

4、相等吗？请说明理由17.如图9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90, AD是BC边上的中线，过 C 作AD的垂线，交 AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC = Z BDE .图9全等三角形证明经典(答案)1. 延长 AD 至U E,使 DE=AD, 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+2 4AD6又 AD 是整数 ,则 AD=52 证明：连接 BF 和 EF。因为 BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF。所以 三角形 BCF 全等于三角形 EDF( 边角边 )。所以 B

5、F=EF, / CBF= / DEF。连接 BE。在三角形 BEF中,BF=EF。所以 / EBF= / BEF。又因为 / ABC= / AED。所以 / ABE= / AEB。所以 AB=AE 。在三角形 ABF 和三角形 AEF 中，AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF。所以 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。所以 / BAF= / EAF ( / 1 = / 2)。3 证明：过 E 点，作 EG/AC ，交 AD 延长线于 G则/ DEG= / DCA，/ DGE= / 2又 CD=DE/ ADC 6 GDE (

6、AAS ) EG=AC/ EF/AB/ DFE= / 1/ 1 = / 2/ DFE= / DGE EF=EG EF=AC4 证明：在 AC 上截取 AE=AB ，连接 ED/ AD 平分/ BAC/ EAD= / BAD又 AE=AB , AD=AD/ AED 6 ABD ( SAS)/ AED= / B , DE=DB/ AC=AB+BDAC=AE+CE CE=DE/ C=Z EDC/ AED= / C+ / EDC=2 / C/ B=2 / C5 证明：在AE上取F,使EF = EB，连接CF因为CE丄AB所以/ CEB = Z CEF = 90因为 EB = EF, CE= CE,所以

7、 CEB CEF所以/ B=Z CFE因为/ B+Z D = 180, / CFE + Z CFA = 180所以/ D =Z CFA因为AC平分Z BAD所以Z DAC = Z FAC又因为AC = AC所以 ADC也厶AFC ( SAS)所以AD = AF所以 AE = AF + FE = AD + BE6 证明 :在 BC 上截取 BF=BA, 连接 EF.Z ABE= Z FBE,BE=BE,贝U ABE 也 FBE(SAS), Z EFB= Z A;AB 平行于 CD,则：Z A+ Z D=180 ;又Z EFB+ Z EFC=180 ,则Z EFC= Z D;又Z FCE= Z D

8、CE,CE=CE,故FCEA DCE(AAS),FC=CD.所以 ,BC=BF+FC=AB+CD.7证明：设线段 AB,CD所在的直线交于 E,(当ADBC 时， E 点是射线 AB,DC 的交点)。则： AED 是等腰三角形。所以： AE=DE而 AB=CD所以： BE=CE (等量加等量,或等量减等量)所以： BEC是等腰三角形所以：角B=角C.8作B关于AD的对称点B ；因为AD是角BAC的平分线， B在线段AC上（在AC中间，因为 AB较短）因为 PCPB +B C,PGPB B （而 BC=AC-AB=AC-AB, 所 以 PC-PBAC-AB9作AG / BD交DE延长线于GAGE

9、全等BDEAG=BD=5AGFsCDFAF=AG=5所以 DC=CF=210证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，/ PA/BC/ PAB+ / CBA=180 ；又； AE ； BE均为/ PAB和/ CBA的角平分线/ EAB+ / EBA=90 AEB=90 ； EAB 为直角三角形 在三角形 ABF中，AE丄BF，且AE为/ FAB的角平分线 三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，/ EBC= / DFE,且 BE=EF，/ DEF= / CEB ；三角形DEF与三角形BEC为全等三角形； DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC11证

10、明：在 AB上找点E；使AE=AC/ AE=AC，/ EAD= / CAD ； AD=AD ADE ADC。DE=CD，/ AED= / C/ AB=AC+CD ； DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/ B= / EDB/ C= / B+ / EDB=2 / B12证明： / BE | CF/ E= / CFM，/ EBM= / FCM/ BE=CF BEM CFM BM=CM AM是厶ABC的中线.13 证明：因为 AB=AC ，所以 / EBC= / DCB因为BD丄AC , CE丄AB所以 / BEC= / CDBBC=CB （公共边 ）则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB所

11、以BE = CD14(1) 证明：/ ACB=90 ,/ ACD+ / BCE=90 ,而AD丄MN于D, BE丄MN于E,/ ADC= / CEB=90，/ BCE+ / CBE=90 ,/ ACD= / CBE .在 Rt ADC 和 Rt CEB 中， / ADC= / CEB / ACD= / CBE AC=CB , Rt ADC 也 Rt CEB (AAS ), AD=CE ， DC=BE ， DE=DC+CE=BE+AD ；(2) 不成立，证明：在 ADC 和厶 CEB 中， / ADC= / CEB=90 / ACD= / CBE AC=CB , ADC CEB (AAS ),

12、AD=CE ， DC=BE ， DE=CE-CD=AD-BE ；15( 1 )证明 ; 因为 AE 垂直 AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为 AF 垂直 AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为 AE=AB AF=AC所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等 所以 EC=BF 角 ECA= 角 F（2）延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G因为角ECA=角F（已证）所以角G=角CAF因为角 CAF=90 度所以 EC 垂直 BF16 在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC/ CAE= / EAN ,AE为公共边，所以三角形 CAE全等三角形 EAN所以/ ANE= / ACE又 AC 平行 BD所以/ ACE+ / BDE=180而/ ANE+ / ENB=180所以/ ENB= / BDE/ NBE= / EBNBE 为公共边 ，所以三角形 EBN 全等三角形 EBD所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD17证明：作 CG平分