2015高考数学(文)真题分类汇编：专题04+三角函数与解三角形

1、1.【 2015 高考福建， 文 6】若 sin5为第四象限角， 则 tan的值等于 （），且13121255A BCD551212【答案】 D【 解 析 】 由 sin5， 且为 第 四 象 限 角 ， 则 cos1sin 212， 则1313sintancos5，故选 D12【考点定位】同角三角函数基本关系式【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin 、 cos、 tan三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限， 从而决定正负符号的取舍，属于基础题2.【 2015高考重庆，文 6】若 tan a = 1 , tan(a + b ) = 1,则 tan b =

2、 （）113525(A)(B)76(C)(D)76【答案】 Atan()tan111【解析】 tantan()23，故选 A.) tan1171 tan(132【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】 本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角用已知角和表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【 2015 高考山东，文 4】要得到函数 ysin（4x）y sin 4x3的图象，只需要将函数的图象（）（A ）向左平移个单位（B ）向右平移个单位1212（C）向左平移个单位（D ）向右平移个单位331【答案】 B【解析】 因为 ysin(4 x)sin

3、 4( x) ，所以， 只需要将函数ysin4x 的图象向右312平移个单位，故选B .12【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】 本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键， 是明确平移的方向和单位数，这取决于 x 加或减的数据 . 本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混 .4. 【 2015 高考陕西，文6】“ sincos”是“ cos20 ”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】 A【解析】所以cos20cos2sin20(cossin)(cossin)0 ，sincos或 sincos，故答案选A .【考

4、点定位】 1. 恒等变换； 2. 命题的充分必要性.【名师点睛】1. 本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos20，求出 sincos或 sincos.2.本题属于基础题，高考常考题型.【2015 高考上海， 文 17】已知点A 的坐标为 (43,1) ，将 OA绕坐标原点 O 逆时针旋转3至 OB ，则点 B 的纵坐标为（） .A.3 3B.5322C. 11D.1322【答案】 D【解析】 设直线 OA 的倾斜角为， B( m,n)(m0,n0)，则直线 OB 的倾斜角为，3因为 A(4 3,1)，11nn331327所以 tan， tan()，4，即 m22，3m

5、m13 3n4313169432因为 m2n2(4 3)21249 ，所以 n2 27 n249 ，所以 n13 或 n13（舍去），16922所以点 B 的纵坐标为 13 .2【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.【名师点睛】设直线OA的倾斜角为， B(m, n)( m 0, n0) ， 则 kOA tan，kOBtan(3) ，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m 、 n 的等式求解结论. 数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.5.【 2015 高考广东， 文 5】设C 的内角， C 的对边分别为 a ， b ， c 若 a2 ，c23 ， cos3c ，则

6、 b（），且 b2A 3B 2C 22D 3【答案】 B【解析】由余弦定理得：a2b2c22bc cos，所以22b22 32233，即 b26b8 0 ，解得：b2 或 b 4 ，因为 bc ，2 b2所以 b2，故选 B【考点定位】余弦定理【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题解题时要抓住关键条件“bc ”，否则很容易出现错误本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即a2b2c22bc cos6.【 2015高考浙江， 文 11】函数 f xsin 2 x sin x cos x 1的最小正周期是，最小

7、值是【答案】32,2【解析】 f xsin2 xsin x cosx 11 sin 2x1 cos2x11 sin 2x1 cos2x322222323232sin(2 x4)，所以 T； f (x) min.22222【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换 .【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.7【. 2015高考福建， 文 14】若 ABC 中， AC3， A 450 ，C 750，则 BC_【答案】2【解析】由题意

8、得 B1800AC600由正弦定理得ACBC， 则sin Bsin ABCAC sin A ，sin B23所以 BC2232【考点定位】正弦定理【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角关键是计算准确细心，属于基础题8. 【 2015高考重庆，文13 】设ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a,b, c , 且a = 2,cos C = - 1 , 3sin A = 2sin B ,则 c=_.4【答案】 4【解析】由 3sin A = 2sin

9、B 及正弦定理知：3a2b,又因为 a2,所以 b 2 ，由余弦定理得： c2a2b22ab cosC4 922 3(1 )16 ，所以 c 4 ;故填：44.【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin A = 2sin B 转化为 3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的4准确性及最后结果还需开方.9. 【 2015 高考陕西，文14】如图，某港口一天6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数y3sin(x ) k，据此函数可知，这段时间水深(单位： m)的最大值为 _.6【答案】 8【

10、解析】由图像得，当sin(x)1 时 ymin2 ，求得 k 5 ，6当 sin(x)1时， ymax 315 8 ，故答案为 8.6【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin(x)1 时， y 取得最小值，继而求得k 的值，6当 sin(x)1时， y 取得最大值 .2. 本题属于中档题，注意运算的准确性.6【2015 高考上海，文1】函数 f ( x) 13sin2 x 的最小正周期为.【答案】【解析】因为2sin 2x 1cos 2x ，所以 f ( x)13 (1 cos2x)1 3

11、 cos 2x ，所以2222函数 f ( x) 的最小正周期为.2【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为f ( x)13 cos 2x ，再根据222T 求周期 . 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.10.【 2015 高考湖南，文15】已知0,在函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23 ，则=_.【答案】25【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为115， 2）， k1， k2 Z, 距离最短的两个交点一定在同（ （ k1，2），（ （ k244一个周期内，2 321522.

12、（） （2 2），2442【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点”一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.11【.2015 高考天津， 文 14】已知函数 fx sin xcos x0 , xR ,若函数 f x在 区 间,内 单 调 递 增 , 且 函 数 f x的 图 像 关 于 直 线 x对称,则的 值为【答案】2【解析】由fx 在区间, 内单调递增,且 fx的图像关于直线x对称 ,可得2,且fsin2cos22sin21 ,所以42 4

13、2.2【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论: fxA sinxA0,0 的单 调 区 间 长 度是 半 个 周 期 ; 若 fxAsinxA0,0 的 图像 关 于 直 线xx0 对称 ,则 fx0A 或 fx0A .12【. 2015 高考四川，文 13】已知 sin 2cos 0，则 2sincos cos2的值是 _.【答案】 1【解析】由已知可得， sin 2cos，即 tan 22sincos cos2 2sin coscos22tan1411sin2cos

14、2tan21416【考点定位】 本意考查同角三角函数关系式、 三角函数恒等变形等基础知识， 考查综合处理问题的能力 .【名师点睛】同角三角函数( 特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2 cos2 1，解出 sin与 cos的值， 然后代入计算， 但这种方法往往比较麻烦， 而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出 tan的值，对所求式除以 sin 2 cos2( 1)是此类题的常见变换技巧， 通常称为 “齐次式方法” ，转化为 tan的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题 .13.【2015 高考安徽，文12】在ABC中， AB6 ，A75 ，B45 ，则AC.【答案

15、】 2【解析】由正弦定理可知：ABAC6AC2sin180 (75 45 )sin 45sin 60ACsin 45【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】 熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力 .14.【 2015 高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 CD_m.D【答案】 100 6 .C【解析】在ABC 中，CAB300 ，ACB750300450 ，根据正弦定理知，B

16、CBAAB，sin BACsin ACB即BCABBAC6001300 2，所以sin22sinACB27CD BC tan DBC 300 23100 6 ，故3应填1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】 以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.【 2015高考上海，文14 】 已 知 函 数 f ( x)sin x . 若 存 在 x1 ， x2 ， xm 满 足0 x1x2xm6，且

17、| f (x1 ) f ( x2 ) | | f ( x2 ) f ( x3 ) | f ( xm 1 ) f ( xm ) | 12 (m 2, m N ) ，则 m的最小值为.【答案】 8【 解析 】 因为 函数 f ( x)sin x 对 任 意 xi， xj(i, j 1,2,3, ,m) ，| f (xi )f (x j ) |f ( x) maxf (x)min2 ，欲 使 m 取 得 最 小 值 ， 尽 可 能 多 的 让 xi (i1,2,3, m)取得最高点，考虑0 x1x2xm 6，| f (x1 )f ( x2 ) | f ( x2 )f ( x3 ) | f ( xm

18、1 )f ( xm ) | 12 (m 2, m N ) 按 下 图取值满足条件，所以 m 的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质，最值.【 名 师 点 睛 】 本题 重 点 考 查 分 析能 力 ， 转 化能 力 ， 理 解 函 数 ysin x 对 任 意 xi ，8x j (i , j1,2,3, m) ， | f (xi )f (x j ) |f ( x) maxf ( x)min2 是关键 .15.【 2015 高考北京，文 11】在Ca3 b6，则中，23【答案】4【解析】 由正弦定理， 得ab362，所以 B.sin A，即3sin B，所以 sin Bsin B242【考点定

19、位】正弦定理 .【名师点晴】 本题主要考查的是正弦定理，属于容易题 解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即absinsin16. 【 2015 高考北京，文15】（本小题满分13 分）已知函数 fx sin x2 3 sin 2x 2（ I ）求 fx的最小正周期；（ II ）求 fx在区间0, 2上的最小值3【答案】（ I ） 2；（ II） 3.（） 02，x.x333当 x，即 x2时， f (x) 取得最小值 .33 f (x) 在区间 0, 2 上的最小值为f ( 2 )3 .33考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角

20、函数的最值.9【名师点晴】 本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、 三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题解题时要注意重要条件“0, 2”，否则很容易出现错误解本题3需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、 三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即sin 21 cos 21， a sin xb cos xa2b2sinx，函数222f xsinx（0，0 ）的最小正周期是17.【 2015 高考安徽，文16】已知函数f (x) (sin xcosx) 2cos2x（）求 f ( x) 最小正周期；（）求 f ( x) 在区间 0, 上的最大值和最小值 .2【答案】（）；（）最大值为1

21、2 ，最小值为 0【解析】（）因为f ( x) sin 2 xcos2 x2sin x cosxcos2x1sin 2 xcos2x2 sin( 2x)14所以函数 f ( x) 的最小正周期为T 2 .2（）由（）得计算结果，f ( x)2 sin( 2x)1, 54当 x 0, 时， 2x4244由正弦函数 ysin x 在 4, 5 上的图象知，4当 2x2，即 x8时， f ( x) 取最大值21；4当 2x5，即 x时， f (x) 取最小值 0 .444综上， f ( x) 在 0, 上的最大值为21，最小值为0 .2【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数y

22、A sin( x)B 的性质，以及正弦函数的性质.【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数yA sin( x)B 的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.1018.【 2015 高考福建，文21】已知函数fx103 sin x cos x10cos 2 x 222（）求函数fx 的最小正周期；（）将函数fx 的图象向右平移个单位长度，再向下平移a （ a0 ）个单位长度后6得到函数 g x 的图象，且函数g x 的最大值为2（）求函数g x 的解析式；（）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 gx00 【答案】（）2 ；（）（） gx10sin

23、 x8 ；（）详见解析【解析】（ I ）因为 fx103 sin x cos x10cos2 x2225 3 sin x5cos x510sinx65所以函数 fx的最小正周期2（II ）（ i）将 fx 的图象向右平移个单位长度后得到y10sin x5 的图象，再向下平6移 a （ a0 ）个单位长度后得到gx10sin x5a 的图象又已知函数gx 的最大值为2 ，所以 105a2 ，解得 a13所以 g x10sin x8 （ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 g x00 ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 10sin x080 ，即 sin x04

24、5由 43知，存在00，使得 sin04 5235由正弦函数的性质可知，当x0 ,0时，均有 sin x45因为 ysin x 的周期为 2，所以当 x2k0 , 2k（ k）时，均有 sin x40511因为对任意的整数k ， 2k02k02 01，34所以对任意的正整数k ，都存在正整数 xk2k0 ,2k0 ，使得 sin xk5亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 g x00 【考点定位】 1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为 f ( x)Asin(x) 进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩

25、和纵向平移，都是相对于 f (x) 而言，即 f ( x)Af ( x) 和 f ( x)f ( x)k ，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移， 都是相对于自变量x 而言，即 f ( x)f (x) 和 f ( x)f ( x a) ；本题第（）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期， 将存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 gx00 ，转化为解集长度大于 1，是本题的核心19. 【 2015 高考广东，文16】（本小题满分12 分）已知 tan2 （ 1）求 tan的值；4（ 2）求sin 2的值2sin coscos2 1sin【答案】（ 1）3

26、 ；（2） 1【解析】试题分析：（ 1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan的值；（ 2）先利4用二倍角的正、余弦公式可得sin 22 sincos，再分子、分母都除以sin2sincoscos 212sincos2sin2 coscos2可 得sin 2sinsin 2cos212 tan，代入数值，即可得costan2tan2sin 2sin 2的值sincoscos21tantantan1 21试题解析：（ 1） tan4341 tantan1tan124（2）sin 2sin 2sincoscos 21122sincossin 2sincos2cos 2112sincossi

27、n 2sincos2cos 22 tantan2tan22222221考点： 1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题 解本题需要掌握的知识点是两角和的正切公式、二倍角的正、 余弦公式和同角三角函数的基本关系，即 tantantan，1tantansin 22sin cos， cos 22cos 21 ， tansincos20.【 2015 高考湖北， 文 18】某同学用 “五点法 ”画函数f (x) Asin(

28、 x) (0, |在| )2某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x032 22x536A sin( x)0550（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x) 的解析式；（）将 y f ( x) 图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y g ( x) 图象，求6y g( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心 .【答案】（）根据表中已知数据，解得A 5,2,.数据补全如下表：6x3022213x7513 12312612A sin( x )05050且函数表达式为f ( x)O 最近的对称中心为5sin(2 x) ；（）离原点(,0).612【解析

29、】（）根据表中已知数据可得：A5 ，2， 53，解得3622,6. 数据补全如下表：x03222x7513 12312612A sin(x)05050且函数表达式为f ( x)5sin(2 x) .6（）由（）知f ( x)5sin(2 xg (x)5sin2( x5sin(2 x) ，因此) . 因6666为 y sin x 的对称中心为 (k,0) ，kZ . 令2 xk ，kZ .即 yg ( x)6k ，解得 x122图象的对称中心为 （k ，0）， kZ ，其中离原点 O 最近的对称中心为(, 0) .21212【考点定位】 本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题 .【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力 .21.【 2015高考湖南，文 17】（本小题满分12 分）设ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c, ab tan A .（I ）证明： sin B cos A ；(II) 若 sin Csin Acos B3B 为钝角，