2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——11.解析几何

1、20112017 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编11解析几何一、选择题(2018 新课标，文6)双曲线 x2y21( a0, b0) 的离心率为3 ，则其渐近线方程为（）a2b 2A y2xB y3xC y2xD y32x2(2018 新课标， 文 11)已知 F1 ，F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1 PF2，且PF2 F160 ，则 C 的离心率为（）A 13B2331D312C2（ 20175）若 a1，则双曲线 x2y21的离心率的取值范围是（）a2A.（2，+）（ 2，2）（1，2）D.（1，2）B.C.（ 201712）过抛物线 C：y2 =

2、4x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方），l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l,则 M 到直线 NF 的距离为A.5B.2 2C.2 3D. 33（ 20165）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线y= k (k0)与 C 交于点 P， PFx 轴，则 k =（ ）xA 1B1C 3D 222（ 20166）圆 x2y22 x8 y130的圆心到直线 axy1 0 的距离为 1，则 a =（）A4B 3C 3D 234（ 20157）已知三点 A(1,0)， B(0,3)， C(2,3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）A.5B

3、.21C.2 5D. 43333（ 201410）设 F 为抛物线 C：y2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为30的直线交于 C 于 A、B 两点，则|AB |=（）A30B 6C12D7 33（ 201412）设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得 OMN =45 ，则 x0 的取值范围是（）A 1,1B 11C 2, 2D 2，22， 222（ 20135）设椭圆 C :x2y 21 (ab 0)的左、右焦点分别为F1,F2 ，P 是 C 上的点， PF2F1F2 ，a2b2PF1F230 ，则 C 的离心率为（）A 3B 1C 1D 36323（ 201

4、310）设抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且与 C 交于 A， B 两点 . 若 |AF|=3|BF|，则 l 的方程为（）A y x 1或 yx 1B y31) 或 y3 ( x 1)( x33C y3( x 1) 或 y3( x 1) D y2 ( x1) 或 y2 (x 1)22223a 上一点， F 1PF2 是底（ 20124）设 F1、 F 2 是椭圆 E： xy1(ab0)的左、右焦点， P 为直线 xa 2b22角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A 1B 2C 3D 42345（ 201210）等轴双曲线 C 的中心在原点， 焦点在 x

5、轴上，C 与抛物线 y24 3，=16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|则 C 的实轴长为（）A 2B2 2C4D 822（ 20114）椭圆 xy1 的离心率为（）168A 1B 1C3D23232（ 20119）已知直线l 过抛物线 C 的焦点，且与C 的对称轴垂直 . l 与 C 交于 A, B 两点， |AB|=12，P 为 C的准线上一点，则ABP 的面积为（）A 18B 24C36D 48二、填空题（ 201515）已知双曲线过点(4, 3) ，且渐近线方程为 y1 x ，则该双曲线的标准方程为.2三、解答题(2018 课标，文新20)设抛物线 C：y24x的焦点为 F ，过

6、F 且斜率为 k( k0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B两点， |AB|8（ 1）求 l 的方程；（ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程（ 201720）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C： x2y2 1上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满2uuuruuur足 NP 2NM（ 1）求点 P 的轨迹方程；uuur uuur（ 2）设点 Q 在直线 x=- 3 上，且 OP PQ1 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.（ 201621）已知 A 是椭圆 E: x2y21 的左顶点，斜率为k (k0)的直线交 E 于 A，

7、M 两点，点 N 在 E 上，43MA NA.（）当 | AM| =| AN| 时，求 AMN 的面积；（）当 | AM| =| AN| 时，证明：3 k 2 .（ 201520）已知椭圆 C： x2y21（ a b0）的离心率为2 ，点（ 2，2）在 C上.a2b22（）求 C 的方程；（）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A、 B，线段 AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 .（ 201420）设 F 1， F 2 分别是椭圆 C： x2y2 1 （ab0）的左、右焦点， M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴a2b2

8、垂直，直线 MF 1 与 C 的另一个交点为N.（）若直线MN 的斜率为 3 ，求 C 的离心率；4（）若直线MN 在 y 轴上的截距为2 且 |MN |=5|F1 N|，求 a，b.（ 201320）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆P在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3 .（）求圆心P的轨迹方程；（）若P点到直线yx 的距离为2 ，求圆P 的方程.2（ 201220）设抛物线 C： x2=2 py(p0) 的焦点为 F ，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B， D 两点 .( ) 若 BFD =90o， ABD 的面积

9、为 4 2 ，求 p 的值及圆F 的方程；（）若 A， B， F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m， n 距离的比值 .（ 201120）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆C 上 .（）求圆 C 的方程；（）若圆 C 与直线 xy a 0 交与 A， B 两点，且 OA OB ，求 a 的值 .20112017 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编11解析几何一、选择题(2018 新课标，文 6)双曲线 x2y21( a0, b0) 的离心率为3 ，则其渐近线方程为（）a2b 2A y2xB

10、 y3xC y2D y3xx22【答案】 A解析：解法一：待定系数法，该双曲线的渐近线方程为yb x .已知离心率 e3 （ ec ），设aaa t ，则 c3t ，由 c2a2b2 可知： b2t ，故双曲线的渐近线方程为y2x 。解法二：公式法：已知渐近线方程为ykx ，由于 e21k2 可得：k2，故双曲线的渐近线方程为 y2x 。(2018 新课标， 文 11)已知 F1 ，F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1 PF2，且 PF2 F160 ，则 C 的离心率为（）A 13B2331D312C2【答案】 D 解析：解法一： （特值法） 在 RtF1 PF2

11、中，设 PF21，则 F1F2 2 ， PF13离心率F1F22ePF23 1PF13 12解法二：焦半径法：在 Rt F1PF2 中， PF2C ，bc21 e e 1 0 e3 1 .1e2a 122x2（ 2017新课标，文5）若 a 1，则双曲线y1的离心率的取值范围是（）A.（2，+）（ 2，2）（1，2）D.（1，2）B.C.221【答案】 C 解析： 由题意2ca 11 ，因为 a1，所以2，则1e2，选 C.1 1ea2a21 a2a2（ 2017新课标， 文 12）过抛物线 C：y2= 4x 的焦点F，且斜率为3的直线交 C 于点 M（ M 在 x 轴上方），l 为 C 的准

12、线，点 N 在 l 上且 MN l,则 M 到直线NF 的距离为A. 5B. 22C.2 3D. 33【答案】C 解 析 ： 由 题 意 知 MF：y3(x 1) ， 与 抛 物 线 y24x 联 立 得 3x2 10x30 ，解得x11， x23 ，所以 M (3,23) ，因为 MNl ，所以 N ( 1,23) ，因为 F (1,0)，所以 NF：y3( x 1)，3所以 M 到 NF的距离为 |3(31)23 | .(3) 21（ 2016新课标，文5）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线y= k (k0)与 C 交于点 P， PF x 轴，则 k =x（ ）A 1B1C 3

13、D 222【答案】 D 解析： F (1,0) ，又因为曲线 yk ( k0) 与 C交于点 P， PFx 轴，所以 k2，所以 k=2，x1故选 D.（ 2016新课标，文6）圆 x2y22 x8y 130 的圆心到直线 axy10 的距离为1，则 a =（）A4B 3C3D 234【答案】 A 解析： 圆心为(1,4) ，半径 r 2，所以 | aa241| 1 ，解得 a4 ，故选 A.123（ 2015新课标，文7）已知三点A(1,0)， B(0,3) ， C(2,3) ，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）A. 5B.21C.25D.43333【答案】 B解析： 圆心在直线BC垂

14、直平分线上，即直线x=1 上，设圆心D(1, b) ，由 DA=DB得| b |1(b3) 2b23，所以圆心到原点的距离d12( 23 ) 221.333（ 2014新课标，文10）设 F 为抛物线 C：y2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为30的直线交于 C 于 A、B 两点，则 |AB|=（）A30B 6C12D7 33【答案】 C 解析： 由题意，得 F ( 3 ,0). 又因为 ktan303 ，故直线 AB 的方程为 y3(x 3) ，与抛物224334线y=3xA(x ,y ) , B(x, y)联立，得1 6x1 x6 89， 设01122，由抛物线定义得，ABx1x168

15、32p12 ，故选 C162（ 2014新课标，文12）设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得 OMN =45 ，则 x0 的取值范围是（）A 1,111C 2,222B ，D ， 2222【答案】 A 解析：由题意画出图形如图：点 M（ x0，1），若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得 OMN =45 ，圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使 MN=1，才能使得 OMN =45，图中 M显然不满足题意，当 MN 垂直 x 轴时，满足题意，x0 的取值范围是 - 1， 1（ 2013新课标，文 5）设椭圆 C : x222y2 1 (ab 0) 的左、右焦

16、点分别为F1,F2 ，P 是 C 上的点，abPF2 F1F2 ，PF12 30 ，则 C 的离心率为（）A 3B 1C 1D 36323【答案】 D 解析： 因为 PF2FF1 2 , PFF1230 ，所以 PF2 2c tan 302 3 c, PF14 3 c .又33PF1 PF26 3 c 2a，所以 c13，即椭圆的离心率为3 ，故选 D.3a333（ 2013新课标， 文 10）设抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点 . 若 |AF|=3|BF |，则 l 的方程为（）A y x 1或 yx 1B y3 ( x1) 或 y3

17、( x 1)33C y3( x 1) 或 y3( x 1)D y2 ( x1) 或 y2 (x 1)222的焦点坐标为（ 1， 0），准线方程为x=- 1，设 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，则因【答案】 C 解析： 抛物线 y =4 x为 |AF|=3|BF|，所以 x1+1=3( x2+1)，即 x1=3x2+2，因为 |y1 |=3|y2|， x1=9x2，所以 x1=3 ， x2=1 ，当 x1=3 时，3y1212 ，所以此时 y11223 ，若 y123，则 A(3,2 3),(B ,12 )3,此时 kAB3,此时直线33方程为 y3( x1) . 若 y123 ，则

18、 A(3,23),B(1,23) ,此时 kAB3 ,此时直线方程为1) . 所以 l33y3( x的方程是 y3( x 1) 或 y3( x1) ，故选 C.223a（ 2012新课标，文4）设 F 、F是椭圆 E： xy1 (ab0)的左、右焦点，P 为直线 x上一点，12a 2b22 F1PF2 是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A 1B 2C 3D 42345【答案】 C 解析： F 2PF 1 是底角为30o的等腰三角形， | AF |= c ，PF2 A 60 | PF2 | | F1F2 | 2c22c3 a ，e3 ，故选 C.24（ 2012新课标，文10）等轴

19、双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点， |AB| 43 ，则 C 的实轴长为（）A 2B2 2C4D 8x2y2a2 ，将 x【答案】 C 解析： 由题设知抛物线的准线为： x4 ，设等轴双曲线方程为：4 代入等轴双曲线方程解得y16a2 ， | AB |4 3，2 16a243 ，解得 a =2， C 的实轴长为4，故选 C.（ 2011新课标，文4）椭圆 x2y21 的离心率为（）168A 1B 1C3D23223b2 1【答案】 D 解析： ec2 22 ，也可以用公式 e2 181， e2 ，故选 D.a42a21622（

20、2011新课标，文 9）已知直线P 为 C 的准线上一点，则l 过抛物线 C 的焦点，且与ABP 的面积为（）C 的对称轴垂直. l与C 交于A, B两点，|AB |=12，A 18【答案】 C 解析： 易知B 24 2P=12，即C36AB=12，三角形的高是D 48P=6，所以面积为36，故选C.二、填空题（ 2015新课标，文15）已知双曲线过点(4,3) ，且渐近线方程为y1 x ，则该双曲线的标准方程2为.【答案】 x2y21 解析： 根据双曲线渐近线方程为 y1 x ，可设双曲线的方程为x2y2m ，424把 (4, 3) 代入得 m=1.三、解答题(2018 课标，文新20)设抛

21、物线 C：y24x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k( k0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B两点， |AB| 8（ 1）求 l 的方程；（ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程【 解析 】（ 1）解法一：秒解法由抛物线的焦点弦AB2 p公式可知： 84sin2或3sin22sin244由 k 0 可得： k 1故直线 l的方程为 yx1 .解法二：常规解法设点 A、点 B 的坐标分别为x1 , y1、 x2 , y2直线 l 的方程为 ykxk解方程组ykxky24xk2 x22k24 x k 20x1x22k 24242k2k因为 ABx1x22，所以 AB4或

22、k1 （舍去）428 k 1k故直线 l的方程为 yx1.解法三：点差法由点差法可知：kp （焦点弦AB 中点的纵坐标）y0设直线 l 的方程为 xky1解方程组xky 1y24xy24ky40y1y24 k中点 y0y1y22k2kpk2k1或 k1 （舍去）y02k故直线 l的方程为 yx1 .（ 2）解法一：常规解法设圆心到直线的距离为d ，圆心坐标为a, b，半径为 rAB2由题意可知： r 2d 22b a 12由题意可知： ra 1 ， da216b a 1212由题意可知：弦AB 垂直平分线所在的方程为yx5由题意可知： ba52a2由、可得：a261162整理可得 a214a

23、33 0解得 a1 11或 a23圆的方程为2y 62222x 11144 或 x 3y16（ 2017新课标，文 20）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C： x2y21上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足uuuruuur2为 N，点 P满足 NP2NM（ 1）求点 P 的轨迹方程；uuur uuur1 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.（ 2）设点 Q 在直线 x=- 3 上，且 OP PQuuuruuurx , y)2(0, y ) ，即（ 201720）解析：（ 1）设 P(x, y) ， M ( x , y ) ， N ( x ,0) ， NP2 NM

24、 ， ( xxx0xxx2y 21 ，得到 x2y2y ，代入椭圆方程2 ，点 P 的轨迹方程y2 yy22x2y 22 .uuur(m, n)，（2）由题意知,椭圆的左焦点为F(-1 ， 0)， 设 P(m ， n) ， Q(- 3， t) ， 则 OPuuuruuuruuuruuuruuur22OQ，(，(由OP PQ1 得3m mtn n1，又(- 3,t )PQ3 m tn) PF1 m， n)，由（ 1）知 m2n22，故 3+3m tnuuuruuuruuuruuur0 . 所以 OQ PF 3 3m tn0，即 OQPF. 又过点 P存在唯一直线垂直于，所以过点P 且垂直于 OQ

25、 的直线 l 过 C 的左焦点 F.22（ 2016新课标，文21）已知 A 是椭圆 E: xy1 的左顶点，斜率为 k (k0)的直线交 E 于 A，M 两点，43点 N 在 E上， MANA.（）当 | AM| =| AN| 时，求 AMN 的面积；（）当 | AM| =| AN| 时，证明：3k2 .解析：（）设 M ( x , y ) ，则由题意知y1 0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为，又 A( 0)2,，114因此直线 AM 的方程为 yx 2 .将 xy2 代入 x2y21 得7 y212y0 ，解得 y 0或 y12 ，437所以 y112 .因此AMN 的面积S

26、AMN211212144277.749（）将直线AM 的方程 yk ( x 2)( k0)代入 x 2y21得(34k 2 ) x216k 2 x16k2120.由43x1 ( 2)16k2122(34k 2 )，故 | AM | 1 k2| x12|12 1 k234k2得 x13234k2.4k由题设，直线AN 的方程为 y1 ( x2)，故同理可得|AN|12k1k2.由2| AM| |AN|得k43k232k，即4k 36k 23k80 .4k 243k 2设 f (t)4t36t 23t8 ，则 k 是 f (t ) 的零点， f (t)12t212t33(2t1)20 ，所以 f (t ) 在(0,) 单调递增，又 f (3)153260, f (2)6 0 ，因此 f (t ) 在