2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)

1、2009 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（ 08 三角函数三角恒等变换）一、选择题：1.（ 2009 安徽理） 已知函数 f (x)3sin xcos x(0) ， yf (x) 的图像与直线 y2 的两个相邻交点的距离等于，则 f ( x) 的单调递增区间是高考资源网（ A ） k, k5 , k Z（ B） k511, k, k Z 高 考 资 源 网121212212（ C） k,k, k Z（D ） k,k, k Z 高 考 资源 网36631. 解析 ： f ( x)2sin( x) ，由题设 f ( x) 的周期为 T，2 ，6由 2k2x2k得， kxk,k z ，故选

2、 C262362. (2009 广东文 )函数 y2cos 2 x1 是4A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数222解： y 2cos 2 x1= cos 2xcos2 xsin 2x ，为奇函数 ,T2，故4222答 A 。3. (2009 海南、宁夏文、理 )有四个关于三角函数的命题：w.w.w. .s.5.u.c.o.mp1 ：xR,sin 2x + cos2x =1p2 :x, yR , sin( xy)sin x sin y222p3 :x0,1cos2xsin xp4 : sin xcos yxy22其中假命题的是

3、（A ） p1 ， p4（ B） p2 ， p4（ 3） p1 ， p3（ 4） p2 ， p33【解析】因为 sin 2x + cos2 x 1，故 p1是假命题；当x y 时， p2 成立，故 p2 是真命题；221cos2x1(1 2sin 2 x) sinx，因为 x0,，所以， sinx sinx ， p3 正确；当 x22， y 9时，有 sin xcos y ，但 xy，故 p4 假命题，选 .A 。4424. (2009湖北文、理)函数ycos(2 x)2 的图象F按向量a 平移到F , F 的函数解析式为6yf ( x),当yf (x) 为奇函数时，向量a 可以等于A.(,2

4、)B.,2C . (,2 )D . (, 2 )66664【答案】 Bv【解析 1】直接用代入法检验比较简单( x , y ) ，根据定义.或者设 ay ycos2( x x )2 ，根据 y 是奇函数，对应求出x ， y 。6【解析 2】由平面向量平行规律可知，仅当a (,2)时，6F： f ( x) cos2(x) 2= sin2 x 为奇函数 .665(2009 湖南理 )将函数 y=sinx的图象向左平移( 0 2) 的单位后， 得到函数 y=sin ( x)的图象，则等于（D ）6A B 5C.7D. 1166665. 【解析】解析由函数y sin x 向左平移的单位得到 ysin(

5、 x) 的图象，由条件知函数y sin( x) 可化为函数 ysin( x) ，易知比较各答案，只有ysin( x 11 ) sin( x) ，666所以选 D 项。6(2009 江西文 )函数 f (x) (13tan x)cos x 的最小正周期为A 23CD B 226.【解析】由f ( x) (1 3 tan x)cos x cos x 3 sin x 2sin( x)可得最小正周期为2,6故选 A.7(2009 江西理 )若函数 f ( x)(1 3 tan x)cos x ， 0 x，则 f ( x) 的最大值为2A 1B 2C31D327. 【解析】因为 f ( x) (13 t

6、an x)cos x = cosx 3sin x = 2cos( x)3当 x是，函数取得最大值为2.故选B38.(2009 辽宁文 )已知 tan2 ，则 sin 2sincos2cos 2（ A）45（C）343（ B）4（ D）458.【解析】 sin 2sincos 2cos 2sin 2sincos 2cos 2sin 2cos2tan22tan24 224tan1415【答案】 D9. (2009 辽宁理 )已知函数 f ( x) =Acos( x)的图象如图所示， f ( )2，则 f (0) =23（A ）2211(B)(C) (D)w.w.w.s.5.u.c.o.m33229

7、. 【解析】由图象可得最小正周期为2322 7于是 f(0) f( 3 ),注意到与 关于12对称3 222所以 f( 3 ) f(2 )3【答案】 B10. (2009 全国文 ) sin585o 的值为2(B)233(A)(C)2(D)22210. 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解： sin 585osin(360o225o ) sin(180o45o )sin 45 o2 ，故选择 A。211. (2009 全国文 )已知 tan a =4,cot1= ,则 tan(a+ )=377(C)77(A)(B)(D)1311111311. 【解析】本小题考查同角三角函

8、数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题 tan3 ， tan(tantan437)tan112，故选择 B。1 tan1112. (2009 全国文、 理 )如果函数 y3cos(2 x ) 的图像关于点 ( 4,0) 中心对称， 那么的最小3值为(A)(B)(C)(D)643212. 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解:函数 y3 cos 2 x的图像关于点4， 0 中心对称 w.w.w. s.5.u.c.o.m324kk13 (kZ )由此易得 | |.故选 A326min613.(2009 全国理 )若x，则函数 ytan2x tan3 x 的最大值为。4213.解

9、:令 tan x t,4x2t1, w.w.w. s.5.u.c.o.mytan 2x tan3 x2 tan4x2t 4121221281tan2x1t21(1)1t4t2t224414. (2009 全国文、理 )已知 ABC 中， cot A12，则 cos A512(B)5512(A)(C)13(D)13131314. 解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由 cotA=12知 A 为钝角， cosA0, -）的图像如图所示，则=_2.解析：由图可知， T5 ,4 , 把2,1 代入 y=sin4 x有：2551=sin 8,9510答案：9103.(2009 海南、宁夏文)已知函

10、数f ( x)2sin(x) 的图像如图所示，则7f。123【答案】 0【解析】由图象知最小正周期T2（54）2 2，故 3，又 x时， f（ x）34340，即 2 sin(3） 0，可得，所以，f72sin(37) 0。44121244. (2009 湖北理 )已知函数 f (x)f () cos xsin x, 则 f () 的值为.444.【答案】 1【解析】因为 f( x)f () sin xcos x 所以 f ()f ( )sincos44444f ()2 1故 f ()f ()cossinf () 14444445、(2009 湖南理 )若 x (0,) 则 2tanx+tan

11、(-x) 的最小值为22 . w.w.w. k.s.5.u.c.o.m225.【答案】： 22【解析】由 x (0,) ，知 tan0, tan(10, 所以) cot22tan2 tantan() 2 tan12, 当且仅当 tan2 时取等号，即最小值是 2 2 。22tan6. (2009 江苏 )函数 yAsin(x) （ A,为常数， A0,0 ）在闭区间 ,0 上的图象如图所示，则=.6. 【解析】 考查三角函数的周期知识。3T，T2，所以3，237.(2009 辽宁文 )已知函数 f ( x) sin( x)(0)的图象如图所示，w.w.w.k.s.则7.4【解析】由图象可得最小

12、正周期为324 3T32【答案】328. (2009 上海文、理 )函数 f ( x)2cos2 xsin 2 x 的最小值是。8【答案】 12【解析】f (x) cos2x sin 2x 1 2 sin(2 x ) 1 ，所以最小值为： 1 2 49(2009 上海文、 理)已知函数 f (x) sin xtan x . 项数为 27 的等差数列 an 满足 an2，2且公差 d 0 . 若 f (a1 ) f (a2 )f (a27 ) 0 ，则当 k =_是， f (ak )0 .9【答案】 14【解析】函数 f (x)sin xtan x 在 (2， ) 是增函数， 显然又为奇函数，

13、函数图象关于原点对称，2因为 a1 a27a2a262a14，所以 f (a1 )f ( a27)f (a2 )f (a26 )f (a14 ) 0 ，所以当 k 14 时， f (ak )0 .10 (2009 上海春招 )函数 ycos x 的最小正周期T.4.2三、解答题：1(2009 北京文 )（本小题共12 分）已知函数f (x)2sin(x)cos x 。w.w.w. s.5.u.c.o.m（）求f ( x) 的最小正周期；（）求f ( x) 在区间 , 上的最大值和最小值。621.【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主

14、要考查基本运算能力（） fx2sinx cosx2sin xcos xsin 2x ，函数 f ( x) 的最小正周期为.x2 x3sin 2x 16， 2（）由23，,3 f ( x) 在区间6 2 上的最大值为1，最小值为2 .w.w.w2(2009 福建文 )（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)sin( x), 其中0 ， |2（ I）若 coscos,sinsin0, 求 的值； w.w.w. .s.5.u.c.o.m44（）在（ I）的条件下，若函数f (x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数 f ( x)3的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f ( x) 的图

15、像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。2. 解法一：（ I ）由 coscossin 3sin0 得 coscossinsin04444即 cos()0 又 |,442（）由（ I）得， f (x) sin(x)T4依题意，32又 T2 , 故3,f ( x)sin(3 x)4函数 f(x) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g( x)s i n3x( m)4g ( x) 是偶函数当且仅当3mk( kZ )42即 mk(kZ )312从而，最小正实数m12解法二：（ I ）同解法一（）由（ I）得， f (x)sin(x) w.w.w. s.5.u.c.o.mT4依题意，322，故3

16、,f ( x) sin(3 x)又 T4函数 f ( x) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为 g(x) sin 3( x m)4g( x) 是偶函数当且仅当g( x)g (x) 对 xR 恒成立亦即 sin(3x 3m)sin(3 x3m) 对 xR 恒成立。44sin( 3x)cos(3 m)cos( 3x)sin(3 m)44sin 3x cos(3m)cos3 xsin(3 m)44即 2sin 3xcos(3m)0 对 xR 恒成立。4cos(3m) 04故 3mk(kZ )42k(kZ)m312从而，最小正实数m123.广东文 （本小题满分12 分）已知向量与b 1，cos互

17、相垂直，其中(2009)asin20,.2（ 1）求 sin 和 cos的值；（ 2）若 5 cos()3 5 cos,02，求 cos的值。3解：（sin2与 b 1，cos互相垂直，1） 向量 a a bsin2 cos0，即 sin2 cos，又 sin 2cos21 代入，整理，得cos21，5由0,2，可知 cos0， cos5，代入得sin2555故 cos5， sin2555。（ 2） 5 cos()3 5 cos， 5(coscossinsin)3 5 cos将（ 1）的结果代入其中，得55 cos2 5 sin3 5 cos55整理，得 sincos，又 sin 2cos21

18、 代入，整理，得cos212由 0，可知 cos0 ，22所以，解得 cos。24(2009广东理 ) ( 本小题满分 12分）已知向量a(sin,2)与 b(1,cos) 互相垂直，其中(0,) 2（ 1）求 sin 和 cos 的值；（2）若 sin()10，求 cos的值10,02解：（ ） 向量 与b 1，cos互相垂直，41asin 2 absin2 cos0，即 sin2 cos，又 sin 2cos21 代入，整理，得cos21 ，5由0,，可知 cos0，2 cos525，代入得 sin55故cos5， sin255。5（ 2） sin()10 ,0，102 sincoscos

19、 sin1010将（ 1）的结果代入其中，得25 cos5 sin105510整理，得 sin2 cos2，又 sin 2cos21 2代入，整理，得 10 cos242 cos10解得 cos2或 cos2210由 0，可知 cos0 ，2所以，解得 cos2。25(2009 湖北理 )（本小题满分12 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知向量 a(cos a,sin a), b (cos ,sin), c ( 1,0)（）求向量bc 的长度的最大值；（）设 a，且 a (b c) ，求 cos的值。45. .解析：（1）解法 1： bc = (cos1,sin), 则| b c |2(co

20、s1)2sin22(1cos ).1 cos1,0| bc |24 ，即 0 | bc | 2. w.w. w. .s.5.u.c.o.m当 cos1时，有 | bc| 2, 所以向量 b c 的长度的最大值为2.解法 2：| b|= 1， |c | 1 ， | bc | | b | + | c |2当 cos1时，有 | bc |= (2,0)，即 |bc |= 2 ，b c 的长度的最大值为 2.（2）解法 1：由已知可得 bc = (cos1,sin),a (b c)coscossinsincoscos() cos 。a (b+c) ，a(bc)0 ，即 cos()cos。由，得 cos

21、(4)cos，即42k(kz) 。4442k或2k，(kz) ,于是 cos0或 cos1 。 w.w.w. s.5.u.c.o.m4解法 2：若4，则 a(2 ,2) ，又由 b(cos,sin) ， c( 1,0) 得22a (bc)(2 , 2 ) (cos1,sin)2 cos2 sin222222a (b+c)，a(bc)0 ，即 cos(cos1)0sin1cos，平方后化简得 cos(cos1) 0 w.w.w. k.s.5.u.c.o.m解得 cos0 或cos1，经检验， cos0或 cos1即为所求6(2009 湖南文 )（每小题满分12 分）已知向量 a (sin,cos

22、 2sin), b(1,2).（）若 a / /b ，求 tan的值；w.w.w.k s.5.u.c.o.m（）若 | a | | b |,0, 求的值。6. 解：（） 因为 a / / b，所以 2sincos2sin,于是 4sincos，故 tan1 .4（）由 | a | | b | 知， sin 2(cos2sin)25,所以 12sin 24sin 25.从而2sin 22(1cos 2)4 ，即 sin 2cos 21，于是 sin(2)20知，29.又由4，4244所以 25，或 2744.44因此，或3 .247(2009江苏 )（本小题满分14 分）设向量a(4cos,sin), b(sin,4cos), c(cos, 4sin)（1）若a与b2c 垂直，求tan() 的值；w.w.w.s.5.u.c.o.m（2）求| bc |的最大值;（3）若tantan16 ，求证：a b . w.w.w. k.s.5.u.c.o.m7. 【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和