18 19第1章12123第2课时平面与平面垂直

1、第2课时平面与平面垂直学习目标：1.了解面面垂直的定义.（重点）2.掌握面面垂直的判定定理和性质 定理.（重点）3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的 位置关系问题.（难点）自主预习探新知1. 平面与平面垂直的判定（1）平面与平面垂直 定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直. 画法：图 1-2-56记作：a丄3（2）判定定理文字语言图形语言符号.语言 语言如果一个平面过另一个平面的垂线，则这 两个平面垂直17l丄31? a讥a丄3-2.平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么

2、在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面符号语言a 丄 3-、aA 3= l ? a丄 3a? a a丄lJ图形语言ad力/思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么?提示相交或平行.基础自测1. 判断（正确的打“V”，错误的打“X”）(1) 如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面.()(2) 如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面.()(3) 如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直.()解析(1)正确.(2) 错误.必须要在其中一个平面内作直线才能成立.(3) 错误.可能平行，也可能

3、相交或异面.答案 V (2) x (3) x2. 对于直线m, n和平面a B,能得出 辽B的一个条件是()A. m n, m/ a, n/ BB. mn, aA m, n? aC. m/ n, n丄 B m? aD. m/ n, ml a, n丄 BC 因为 m/ n, n丄 B,则 ml B,又m? a,故aX B,所以C正确.3 .设平面aX平面B,在平面a内的一条直线a垂直于平面B内的一条直线b , 则()【导学号：90662110】A .直线a必垂直于平面BB. 直线b必垂直于平面aC. 直线a不一定垂直于平面BD. 过a的平面与过b的平面垂直C当aXB ,在平面a内垂直交线的直线才

4、垂直于平面B,因此，垂直于平面B内的一条直线b的直线不一定垂直于B,故选C.合作探究攻重难平面与平面垂直的判定7U栢鏗F#站回码4例 如图1-2-57所示， ABC为正三角形，EC丄平面ABC,BD / CE,且CE = CA= 2BD, M是EA的中点，求证：图 1-2-57(1)DE = DA;平面BDM丄平面ECA;平面DEA丄平面ECA.思路探究 要证DE = DA，只需证明RtAEFD也RtA DBA;注意M为EA的中点，可取CA的中点N,先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDM过 平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.证明取EC的中点F，连接D

5、F. EC丄 BC,易知 DF / BC， DF 丄 EC.在 RtA EFD 和 RtA DBA 中，1 EF= 2EC = BD，FD = BC = AB， RtA EFD 也 RtA DBA. ED= DA.1(2)取 CA的中点N,连接MN，BN,贝U MN綊qEC, MN / BD, N点在平面BDMN内. EC丄平面 ABC,二 EC丄 BN.又CA丄BN,二BN丄平面ECA. BN在平面 MNBD内，平面MNBD丄平面ECA.即平面BDM丄平面ECA.(3)v BD 綊2eC, MN 綊2EC. MNBD为平行四边形.二DM / BN.由(2)知BN丄平面ECA,二DM丄平面EC

6、A.又DM?平面DEA, 平面DEA丄平面ECA.规律方法1 .证明平面与平面垂直的方法利用定义：证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这 两个平面互相垂直.2. 根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的 平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用 方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内 寻找一直线与另一平面垂直.跟踪训练1. 如图1-2-58所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是直角 梯形，AB丄AD，CD丄AD.求证：平面

7、PDC丄平面PAD.图 1-2-58证明t PA丄平面ABCD，CD?平面ABCD， PA 丄 CD.又 t CD 丄AD, PAG AD = A， CD丄平面FAD.又 t CD?平面 PDC.平面PDC丄平面PAD.面面垂直性质定理的应用 是边长为a的菱形且/ DAB = 60侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底卜例如图1-2-59所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD面 ABCD.【导学号：90662111 图 1-2-59(1) 若G为AD的中点，求证：BG丄平面PAD;(2) 求证：AD丄PB.思路探究(1)菱形ABCD，/ DAB = 60 ABD为正三角形

8、一面PAD丄底面ABCDBG丄AD| BG丄平面PAD要证AD丄PB,只需证 AD丄平面PBG即可.证明如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知/ DAB = 60 ABD为正三角形，t G是AD的中点，二BG丄AD.平面FAD丄平面ABCD，且平面FAD G平面ABCD = AD，二BG丄平面FAD.如图，连接PG. FAD是正三角形，G是AD的中点， PG 丄 AD,由（1）知 BG 丄 AD.又 t PGA BG = G. AD丄平面PBG.而 PB?平面 PBG，二 AD 丄 PB.规律方法1. 面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两 个平面垂直的时候，经常

9、找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2. 两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其 中一个面内作（找）与交线垂直的直线.跟踪训练2. 如图1-2-60所示，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB丄底面ABCD，又 VB丄平面VAD.求证：平面 VBC丄平面VAC.【导学号：90662112】图 1-2-60证明t平面VAB丄底面ABCD,且BC丄AB. BC丄平面 VAB，二 BC 丄 VA，又 VB丄平面 VAD，二 VB丄VA,又 VBA BC= B， VA丄平面 VBC, t VA?平面 VAC.平面VBC丄平面VAC.垂直关系的综合应用探究问题

10、1. 如图1-2-61所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA= PC= 2a,你能证明PD丄平面ABCD吗？图 1-2-61提示T PD = a，DC = a，PC= 2a，二 PC2= PD2 + DC2，/ PD丄DC.同理可证PD丄AD， AD?平面 ABCD，DC?平面 ABCD，且 AD A DC = D， PD丄平面 ABCD.2. 如图1-2-62所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆0的直径，点D为线1段AB上一点，且AD = 3DB，点C为圆0上一点，且BC= 3AC，P为母线SA上的点，其在底面圆 0上的正投影为点D，求证：PA丄CD.图

11、1-2-62提示连接C0（略），由3AD = DB知，D为A0的中点，又AB为圆0的直径， AC 丄 CB，由 3AC = BC 知，/ CAB = 60 AC0为等边三角形，从而 CD丄A0.点P在圆0所在平面上的正投影为点D， PD丄平面 ABC,又 CD?平面 ABC，二 PD丄CD，由 PD A A0= D 得, CD 丄平面 PAB，又 PA?平面 FAB，二 PA丄CD.3. 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.提示垂直问题转化关系如下所示：例 如图1-2-63,在?ABCD中，AB丄BD,沿BD将厶ABD折起，使平面 ABD丄平面BCD，连接AC.在四面体A-BCD

12、的四个面中，互相垂直的平面有 对.图 1-2-63思路探究CD丄BD? CD丄平面ABD?平面ACD丄平面ABD?平面ABC丄平 面 BCD.解析在平行四边形ABCD中，因为AB/ CD, AB丄BD，所以CD丄BD.又因为平面 ABD丄平面BCD，平面 ABD G平面BCD = BD, CD?平面BCD.所 以CD丄平面ABD.又 CD?平面ACD，所以平面 ACD丄平面ABD.因为AB丄BD，平面ABD丄平面BCD，所以平面 ABC丄平面BCD，又因为平面 ABD丄平面BCD，所以共有3对互相垂直的平面.答案3母题探究：本例中，“平行四边形 ABCD中，AB丄BD”改为“四边形 ABCD中

13、,AB=AD，/ A= 90 CD丄BD”，其他条件不变，互相垂直的平面有哪些？解由例3解题过程知CD丄平面ABD仍然成立.所以CD丄AB.又 AB丄AD，ADA CD = D，所以AB丄平面ACD，所以平面 ABC丄平面ACD，平面 ABD丄平 面ACD，平面BCD丄平面ABD.规律方法垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、 线面垂直、面面垂直的相互转化.每 一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直， 最终达到目的，其转化关系 如下：提示： 应用面面垂直的性质定理，注意三点： 两个平面垂直是前提条件； 直线必须在其中一个平面内； 直线必须垂直于它们的交线.当堂达标固双基

14、1.下列命题中错误的是（）A .如果平面a丄平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面 BB. 如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面 BC. 如果平面 a丄平面 y平面 肚平面Y aA A l，那么I丄平面丫D. 如果平面a丄平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面 BD 如果平面a!平面B,那么平面a内垂直于交线的直线都垂直于平面 B，其 他与交线不垂直的直线均不与平面 B垂直，故D项叙述是错误的.2 .空间四边形 ABCD中，若AD丄BC, BD丄AD，那么有（）【导学号：90662113】A .平面ABC丄平面ADCB. 平面ABC丄平面ADBC. 平面ABC丄

15、平面DBCD. 平面ADC丄平面DBCAD 丄 BCAD 丄 BDBCA BD=B? AD丄平面BCD又AD?平面ADC平面ADC丄平面DBC.3. 在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点, 当点M满足时，平面MBD丄平面PCD（只要填写一个你认为正确的条 件即可）解析连接AC，因为PA丄底面ABCD，所以PA丄BD，因 为四边形ABCD的各边相等，所以AC丄BD，且FAP AC = A， 所以BD丄平面FAC，即BD丄PC，要使平面MBD丄平面PCD， 只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可，所以可 填DM丄PC（或BM丄PC）.答案DM丄PC（或BM丄PC）4. 下列四个命题中，正确的序号有 . all B, B丄Y贝U a丄Y all B Y 贝U all Y aX B 汕B贝U a丄Y aX B X B 贝U al y解析不正确，如图所示,aX B江B但a， 丫相交且不垂直.答案5. 在四面体 ABCD 中，BD = 2a,AB = AD = CB = CD = AC = a