[理学]复变函数第五章.ppt

1、第五章 留数,第一节 孤立奇点,第二节 留数,第一节 孤立奇点,一、孤立奇点的概念,二、函数的零点与极点的关系,三、函数在无穷远点的性态,四、小结与思考,一、孤立奇点的概念,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,1可去奇点,1可去奇点; 2极点; 3本性奇点.,如果洛朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1) 定义,说明: (1),补充定义,2) 可去奇点的判定,(1) 由定义判断:,(2) 判断极限,若极限存在且为有限值,如果补充定义:,时,解,无负幂项,另解,2. 极点,即,或写成,1) 定义,负幂项,说明:,1.,2.,特点

2、:,(1),是二级极点,是一级极点.,2)极点的判定方法,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(1) 由定义判别,(2) 由定义的等价形式判别,课堂练习,答案,本性奇点,3.,例如，,含有无穷多个z的负幂项,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为 有限值,不存在 且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,二、函数的零点与极点的关系,1.零点的定义,能表示成,的 m 级零点.,例6,注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.,2.零点的判定,零点的充要条件是,证 (必要性),由定义:,其中,展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数,公式

3、知:,并且,充分性证明略 .,(1)由于,课堂练习,是五级零点,是二级零点.,解,(2)由于,答案,3.零点与极点的关系,证,当 时 ,由于,只要令,那末,当 时,解析且,说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为,简便的方法.,解,这些奇点是,是孤立奇点.,解,注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .,四、小结与思考,理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征; 熟悉零点与极点的关系.,思考题,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,第二节 留 数,一、留数的引入,二、利用留数求积分,三、在无穷远点的留数,四、典型例题,五、小结与思考,一、留数的引入,.,的某去心邻域,定

4、义,二、利用留数求积分,说明:,2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求,被积函数在C内各孤立奇点处的留数.,1.留数定理,证,证毕,两边同时除以 且,如图,2.留数的计算方法,如果 为 的一级极点, 那末,规则1,成洛朗级数求,如果 为 的 级极点,规则2,证,那末,+(含有 正幂的项),证毕,得,规则3,如果,证,的一级极点,且有,因此,其中 在 解析且,为 的一级极点,四、典型例题,解,分析,由规则3得,计算较麻烦.,解,说明:,如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,2. 在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1. 在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将m,但有时把m取得比实际的,如上例取,解,解,为一级极点,为二级极点,五、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数 定理. 应重点