概率论与数理统计》样卷分析.ppt

1、概率论与数理统计重修,河海大学理学院数学系 2010.07,一、古典概率,（一）内容提要：随机事件、概率及其性质、古典概型与几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式、事件的独立性、伯努利概型.,（二）相关问题,1. 已知P(A)=0.3, P(AB)=0.4, 则 ；,3已知P( )0.5, P(B)0.4, P( )0.6, 则P(A ) .,2. 袋中有20只黄球30只白球, 二人依次从中任取一球, 则第 二人抽得黄球的概率为 .,4设事件A与B相互独立, 已知P(A)=0.5, P(AB)=0.8, 则 ；,5. 设A, B为任意两事件, 且AB, P(B)0,则下列不等式正

2、确的是: (A) P(A) P(A|B) (B) P(A) P(A|B) (C)P(A) P(A|B) (D) P(A) P(A|B) ,6. 甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.6，0.8，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3，被两人击中而被击落的概率为0.7，若三人都击中飞机，飞机必定被击落。（1）求飞机被击落的概率；（2）若已知飞机被击落，求因被两人击中而被击落的概率。,7. 设有来自三个班级的各10名、15名和25名学生参加一个文体节目，其中各班的女生分别为3名、7名和5名。随机地选一个班级，再从中先后选取两人做一个节目。 （1）求先选到的一人为女生的概率；

3、（2）已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概率。,8. 若事件A, B的概率为正, 则事件A, B互不相容与事件A, B相互独立 同时成立.,二、随机变量及其分布,（一）内容提要：随机变量及其分类、一维离散型随机变量、分布律及其性质、分布函数及其性质、一维连续型随机变量、密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、随机变量的独立性、随机变量函数的分布.,（二）相关问题,1已知随机变量X的分布函数F(x)A + Barctgx, 则A , B , 概率密度f (x) .,2. 设某类电子管的使用寿命X (以小时计)的概率密度是 f (x) = 一等品的使用寿命在110小时以上

4、，二等品的使用寿命在80 110小时，三等品的使用寿命在80小时以内，一等品、二等品、三等品的包装损坏率分别是0.002、0.20与0.30，现从一大批这类电子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求 （1） 它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率； （2） 若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管，求它原来是二等品的概率。,3. 设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（4，p）的二项分布，若PX1=5/9，则PY1= ；,4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其密度函数为， 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5

5、次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求出的分布律，并求PY4。,5. 设,若k 使得PX k=2/3, 则k的取值范围是 .,6. 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的分布函数, 为使F(x)=a F1(x)b F2(x)是某一r.v.的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 (A) a=3/5, b= 2/5 (B) a=2/3, b= 2/3 (C) a= 1/2, b= 3/2 (D) a=1/3, b= 3/2 ,7. 已知随机变量X、Y相互独立且都来自参数为0的指数分布，试用两种方法求出ZXY的概率密度。,8. 设随机变量X概率密度是 求(1) F(x)

6、; (2) Y=aX + b的概率密度，其中a0、b为常数。,9. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 试验证X与Y是不相关的，也不是相互独立的。,1设r. v. X、Y相互独立, D(X)2, D(Y)4, 则D(2XY) .,三、随机变量的数字特征,（一）内容提要：随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的性质、方差及其性质、协方差与相关系数.,（二）相关问题,2. 设随机变量X与Y独立同分布, 且UXY, VXY, 则协方差cov (U, V) = .,3. 已知随机变量X N(0，1), , 0，为常数，试证明: X + N(, 2).,4. 设二维连续型随机变量（X，Y）

7、的密度函数为 求:（1）关于X和Y的边缘密度函数f X (x) ，f Y ( y)； （2）Y的期望和方差E(Y )，D(Y )； （3）X与Y的协方差Cov( X，Y )； （4）Z= max( X, Y )的密度函数。,5. 设连续型随机变量的密度函数为 且E(X)=1/3，则a = ，b = ；,6. 设随机变量X在区间1, 2上服从均匀分布, 随机变量Y是X的函数, 且,则方差D(Y)= .,7. 设二维r.v.(X, Y)在矩形G(x, y)|0 x2, 0y 1上服从均匀分布, 记,试求(1)U和V的联合概率分布; (2) U和V的相关系数.,8. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光

8、, 电梯于每个整点的第5分钟,第25分钟, 第55分钟从底层起行, 假设某游客在早八点第X分钟到达底层侯梯处, 且X在0, 60上均匀分布, 求该游客等候时间的数学期望.,9. 设X是r.v., EX=, DX=2, 则对任意常数C, 必有 (A) E(XC)2= EX2C2 (B) E(XC)2= E(X )2 (C) E(XC)2 E(X )2 (D) E(XC)2 E(X )2 ,10. 设二维r.v.(X, Y)服从二维正态分布, 则r.v.=X+Y与=XY不相关的充分必要条件为 (A) E(X)=E(Y) (B) E(X2)E(X)2=E(Y2)E(Y)2 (C) E(X2)=E(Y

9、2) (D) E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2 ,四、样本与抽样分布,（一）内容提要：总体与样本、经验分布与统计量、统计中的三个重要分布、正态总体的抽样分布理论.,（二）相关问题,1. 设X1, , Xn是来自正态总体N(, 2)的一个样本, 则, ;, .,2.设X1, , Xn是来自正态总体N(, 2)的一个样本, 则,服从 .,3.设XN(1，12)，YN(2，22)，X1,Xn1；Y1,Yn2分别是两总体相互独立的样本，则 的分布 是 .,4. 设X1，X2，X3是来自正态总体N（0，1）的简单随机样本，X = X12 + a(X2 2 X3)2 ，则当a = 时，统计量

10、X服从2分布，自由度为 ；,5. 设XN(1，12)，YN(2，22)，X1,Xn; Y1,Ym分别是两相互独立的样本，则 .,6. 设X1, X2, X3, X4是来自正态总体N(0, 22)的简单随机样本, X=a(X1 2X2)2+b(3X3 4X4)2, 则当a = , b = 时, 统计量服从2分布, 其自由度为 .,1. 设总体X的密度函数为 其中为未知参数。求的矩估计量和极大似然估计量，并说明的极大似然估计量是否为其无偏估计量，请给出理由。,2. 若P(X=k)=ke/k!, (k = 0, 1, 2, ), 则的极大似然估计量= .,五、参数估计,（一）内容提要：估计量与估计值

11、、矩估计、极大似然估计、估计量的评价、区间估计、正态分布均值与方差的置信区间.,（二）相关问题,3. 设总体X的概率函数为 f (x; ),其中 为未知参数，X1，, Xn为来自总体X的一个样本。 （1） 试求未知参数的矩估计量和极大似然估计量； （2） 讨论未知参数的极大似然估计量的无偏性，并说明理由.,4. 设总体X的概率密度为,其中 1是未知参数, X1, , Xn是来自总体X的一个容量为n 的简单随机样本, 分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量.,5. 设X1， ，Xn，Xn+1是来自总体X的简单随机样本,则,服从的分布是( ). A. N(0, 1) B. t (n) C. t

12、 (n+1) D. t (n1),6. 假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X简单随机样本, 已知Y=lnX服从正态分布N(, 1). (1) 求X的数学期望EX(记EX为b); (2) 求的置信度为0.95的置信区间; (3) 利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.,1.假设检验中常见的两类错误是 和 。,六、假设检验,（一）内容提要：假设检验的概念、正态总体参数的假设检验.,（二）相关问题,2.下面列出的是某工厂随机选取的9只部件的装配时间(分) : 9.8, 10.4, 10.6, 9.6, 9.7, 9.9, 8.9, 10.9, 11.1 设装配时间总体服从正态分布。 (1)试问装配时间与10是否有显著性的区别(给定显著性水平0.05)？ (2)求出该总体均值的置信度为0.95的置信区间。,3. 某自动包装机包装大米，额定标准