概率论及数理统计：1.5事件的独立性

1、1.5 事件的独立性,引例,袋子中装有5只白球，3只黑球，分别有放回 与无放回的抽取，每次抽一只。 A 表示第一次抽取的是白球； B 表示第二次抽取的是白球。,有放回的抽取，每次抽一只。,无放回的抽取，每次抽一只。,事件A,B 相互独立,若,若,反之,两事件相互独立的性质：,两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的,当 A 与 B 相互独立时，则,定义 三事件 A, B, C 相互独立是指下面的关系式 同时成立：,注2： 不能由关系式(1)推出关系式(2), 反之亦然,(2),注1：三个事件A,B,C相互独立的性质类似两个事件的性质.,两两相互独立,例 有一均匀的八面体，各面涂有颜色如下：,1

2、 2 3 4 5 6 7 8 R R R R W W W W Y Y Y Y,将八面体向上抛掷一次，观察向下一面出现 的颜色。,事件 R, W, Y 分别表示向下一面出现红色，白色，黄色,则,但,例 随机地投掷编号为 1 与 2 两个骰子，令 事件 A 表示第一个骰子向上一面出现的 点数为奇数 事件 B 表示第二个骰子向上一面出现的 点数为奇数 事件 C 表示两个骰子向上一面出现的点 数之和为奇数,则,但,定义 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立是指 下面的关系式同时成立：,事件独立性的判别:,两两相互独立,证,结论： 若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立，将这 n个

3、事件任意分成 k 组，同一个事件不能同时 属于两个不同的组，则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的 k 个事件也相互独立,常利用独立事件的性质计算它们的和事件的概率,若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立，则,例 设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清 混合液中含有肝炎病毒的概率,解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒 为事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,100,则,若B n 表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒，则, 不能忽视小概率事件，小概率事件迟早 要发生,把标有 1,

4、2,3,4 的 4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率,解 设 A 为所求的事件,设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4,则,？,问题在哪里？,反例（古典概型部分出现的例子）,例 系统的可靠性问题,一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠性,一个系统能正常工作的概率称为系统的可靠性,系统是由元件组成的，常见的元件的连接方式：,串联,并联,设两系统都是由 2n 个元件组成，每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立。两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性。,S1:

5、,S2:,y = x n,a,b, 下凸,取,例 已知电路系统如图所示,设每个开关闭合的概率为 p ，且各个开关是否 闭合是相互独立的，求此电路从左到右是通路 的概率。,解 设事件 B 表示电路从左到右是通路 事件 Ai 表示开关 i 闭合，i = 1,2,6,则,解二,2 Bernoulli 试验概型,n 重Bernoulli 试验概型： 相互独立的重复做 n 次,n 重Bernoulli 试验概型感兴趣的问题为：,即可看作每次试验有两个可能的结果：,设,每次试验感兴趣的事件为 A,k = 0, 1 , 2, , n,在 n 次试验中事件 A 出现 k 次的概率，记为,2 Bernoulli

6、 试验概型,例,在 4 次试验中事件 A 出现 2 次的概率,记第 i 次取得白球为事件 Ai,一般地，若,则,例 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮 弹, 若有不少于2发炮弹命中目标时, 目标 就被击毁. 如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被击毁的概率.,解 设一门炮击中目标为事件 A , P ( A) = 0.6,设目标被击毁为事件B,则,例 袋中有M个白球，N-M个红球,总计N个球，有放回地取球 n 次, 每次一只, 求其中恰有k个白球的概率.,解法一、 古典概型,解法二、 每取一个球看作是做了一次试验,记取得白球为事件 A,有放回地取n个球看作做了 n 重Bernoulli

7、 试验,感兴趣的问题为：n次试验中A 发生k次的概率,例 从1,2,10十个数字中重复地（有放回地） 任取5个数字，求取出的5个数字中按由小 到大排列, 中间的那个数等于 4 的概率.,解 设取出的5个数按由小到大排列为,1,1,2,3,3;,1,1,2,3,4;,1,1,4,4,5;,1,1,4,5,8;, 所取的5个数字中至少有3个数字不大于4,令 A k 表示所取的5个数字中恰有k 个不大于4,则,由于,甲乙两乒乓球运动员进行比赛,已知每局甲胜 的概率为0.6, 胜 的概率为0.4, 比赛可采取 三局两胜, 也可采取五局三胜, 问在那一中赛制下甲获胜的概率大?,解 以五局三胜为例计算甲获胜的概率,解法一 : 若比赛进行了