材料力学课件：6 平面图形

1、材料力学,附 录 平面图形的几何性质,应力分析所必需的预备知识,材料力学,为什么要研究截面图形的几何性质?, 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。,拉压：应力均布，仅需满足 ， 不考虑形状；,扭转：应力不均布，出现 ，,在面积A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。,材料力学,研究杆件的应力与变形，研究失效问题 以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到 与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。 这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、 惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主 轴等。, 为什么要研究截面图形的几何性质,材料力学,一、

2、定 义,1、静矩,A,ydA,A,zdA,图形对y轴的静矩,图形对z轴的静矩,单位：,平面图形的几何性质,材料力学, 讨论,（1）静矩可0；0；0。,（2）若图形形心C已知，由静力学可知：,（3）求静矩的另一公式：,平面图形的几何性质,已知图形的形心坐标 可以确定静矩,材料力学,（3）若,则,y、z轴称为形心轴。,若已知,则可确定z轴、y轴通过截面形心。,平面图形的几何性质, 已知静矩可以确定图形的形心坐标,材料力学,2、惯矩,A,ydA,A,zdA,图形对y轴的惯矩,图形对z轴的惯矩,单位：,平面图形的几何性质, 讨论,（2）,所以,惯性半径,（1）惯矩恒0；,材料力学,3、极惯矩,图形对o

3、点的极惯矩,单位：, 讨论,（1）,平面图形的几何性质,（2）,材料力学,例：,已知,则,而,所以,平面图形的几何性质,已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz,材料力学,例：1、矩形。求,解：,dz,同理,c,平面图形的几何性质,材料力学,4、惯积,图形对y、z两轴的惯积,单位：, 讨论,（1）,可0；0；0；,（2）若图形有一对称轴，则,平面图形的几何性质,材料力学,平面图形的几何性质,材料力学,（3）若,则y、z轴称为主惯性轴（主轴）。,当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。,对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的

4、惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。,材料力学,二、组合图形的几何性质,根据定义：,整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积）等于各个 分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积）之和。,平面图形的几何性质,I,II,III,材料力学,例如:,则,同理,平面图形的几何性质,材料力学,空心圆,其中,平面图形的几何性质,材料力学,工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴的惯性矩。,C,材料力学,三、平行移轴公式,已知:,(y、z轴过形心C),求,解：,代入定义式：,平面图形的几何性质,材料力学,同理,平面图形的几何性质,材料力学,平行移轴

5、公式,注意：,（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两 平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩 来换算;,（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心 轴的惯性矩最小.,平面图形的几何性质,材料力学,(3) a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要 注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异 号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也 可能减少。,平行移轴公式,材料力学,例：T字形截面,求其对形心轴的惯矩。,解:,(1)求形心,C,任选参考坐标系,如,I,II,而,平面图形的几何性质,C1,C2,材料力学,(2)求,平面图形的几何性质,材料力学,所谓转轴定理是研究坐标

6、轴绕原点转动时， 图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变 化规律。,四、转轴公式,已知： Iy、Iz、Iyz、,求： Iy1、Iz1、Iy1z1,材料力学,材料力学,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩,y0、z0通过O点的主轴,方向 的求解:,材料力学,当 改变时，Iyl、 Izl的数值也发生变化， 而当=0时，二者分别为极大值和极小值。,Iy0、 Iz0主惯性矩,主惯性矩：,材料力学,对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴， 而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心 主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心 主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心 主矩。,工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩， 即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首 先确定图形的形心以及形心主轴的位置。,因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方 形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以 至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简 单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。,材料力学,怎样判断主轴？,材料力学,怎样判断主轴？,材料力学,怎样判断主轴？,z1,y1,定理:截面图形对某点有一对以上不相重合 的主惯轴,则所有通过该点的轴都是主惯轴.,推论: 当截面图形过某点的一对主惯轴的惯矩相