_连续与一致连续典型例题

1、第三讲 连续与一致连续一 内容提要1.函数在一点的连续性若函数在处的邻域内有定义，在点连续使得，有注1 若，则称函数在右连续；若，则称函数在左连续在点连续注2 设定义于区间，则在连续的充要条件是，有称之为连续的海涅归结原则注3 初等函数在有定义的地方处处连续2间断点的分类若函数在处的某个空心邻域内有定义，在点处无定义，或在点有定义而不连续，则称点为函数的间断点第一类间断点（1）可去间断点：，在点处无定义，或有定义但（2）跳跃间断点：第二类间断点，中至少有一个不存在3连续函数的局部性质（1）若函数在点连续，则，使得，有（2）若函数在点连续，且，则，使得，有（3）四则运算：若函数，均在点连续，则

2、，（）在点连续（4）若函数在点连续，在点连续，且，则 即函数在点连续（会证明）4 闭区间上连续函数的整体性质（1）有界性定理：若在上连续，则在上有界（2）最值定理：若在上连续，则在上能取得最大值和最小值（3）介值定理：若在上连续，则，可取介于与之间的一切值（4）零点定理：若在上连续，且，则在区间内至少存在一点，使得注1 闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性注2 介值定理和零点定理是讨论方程的根的重要工具5 一致连续性设函数在区间上有定义，若对使得，只要，就有，则称在上一致连续注1 在区间上一致连续使得，只要，就有注2 一致连续定义中的是对整个区间适用的，即只信赖于，而于的位置无

3、关，不论在的什么位置，只要与接近到同一程度，其函数值与就能接近到要求的程度，这表明函数在的“连续程度”是一致的、均匀的注3 在区间上非一致连续总存在，使得，但注4 在区间上一致连续对任何数列，若 ，则有称之为函数一致连续的Heine归结原则注5 在上连续，则函数必定是一致连续的注6 若在上均一致连续，则函数在上一致连续，特别的，若为有限区间，则，在上一致连续注7 有关一致连续的几个重要结论：（1）满足Lipschitz条件的函数在上一定一致连续（2），且单调有界，则在区间上一致连续（3），且存在，则在区间上一致连续（4）若在区间上有界，则在区间上一致连续（5），在上一致连续与存在二、典型例题例

4、 用定义讨论下面函数在所给区间的连续、一致连续性：（1），；（2），（）,（）；（3），（），（）；（4），（），（）；（5），；（6），例 设函数只有可去间断点，定义，证明：为连续函数例 设在连续，且对，有证明：（1）在上连续；（2）；（3）在上一致连续例 证明在整数点处处连续，在其他点处间断证明：且为整数时，有（）例 讨论的间断点类型例 设在上连续，存在且为，证明：（1）在内有界；（2）在上能取到最大（小）值；（3）在上一致连续例 设在上一致连续，则存在正数，使，有例 设Lipschitz 条件，即，试证明：（1）（2）例 设在内一致连续，有，（）证明：例 设，且有唯一最值点，若有数列，且

5、证明：例 证明：若函数在区间连续且有界，则对任意正数，存在数列，且（），有Adhered to comprehensively strengthen the partys ideological, organizational, style, system, and focus on fighting corruption and upholding integrity, continuously improve the scientific level of the construction, in order to promote sound and fast economic and s

6、ocial development to provide strong protection. 1. the exploration and innovation, strengthening the partys ideological building. Persist in the first place to ideological construction, strengthening and improving the theory work, persistently arm the vast numbers of party members and cadres with th

7、eories of socialism with Chinese characteristics, strengthen the ideal and belief education, establish a correct world Outlook, views on power and interest. Advancing the construction of study-oriented party organization and the learning cadre, establish a sound learning system, continuously enhance

8、 the overall quality. Further emancipating the mind, improve the ability of integrating theory with practice, problem solving and the combine to solve practical problems, to improve the theory, combining knowledge and improve the art of leadership, adhere to, which was to promote, in an effort to promote scientific development and social harmony made new achievements. 2. work hard, strengthen cadre. Stick through the construction of party system const