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文档简介

1、一、正数项级数的审敛法 二、交错级数的审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结,常数项级数的审敛法,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加数列.,一、正项级数及其审敛法,正项级数收敛 部分和数列 有界。,证明,即部分和数列有界，,3. 比较审敛法,设 和 均为正项级数，且,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,因为当,故,考虑级数,的部分和：,由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,收敛 .,若存在,对一

2、切,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,证明,4. 比较审敛法的极限形式:,设,与,都是正项级数,如果,则,(1),当,时,二级数有相同的敛散性；,(2),当 时，若 收敛,则 收敛；,(3),当 时，若 发散,则 发散；,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,由比较审敛法的推论, 得证.,即,由比较审敛法的推论, 得证.,5. 极限审敛法,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,6.比值审敛法(达朗贝尔DAlembert判别法)：,收敛,从而,因此,所以级数 发散.,且当 时,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,(2),(3)

3、,级数收敛.,7.根值审敛法 (柯西判别法)：,注：能用比值法判定敛散性的正项级数，必可用根值 法判定。但是可用根值法判定敛散性的正项级数，却 未必能用比值法。,解：因为,由根值审敛法可知原级数收敛。,注意：由于,可见此题不能用比值审敛法来判别.,例5,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,二、交错级数及其审敛法,证明,又,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解,故原级数收敛.,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,三、绝对收敛与条件收敛,以上定理的作用：,任意项级数,正项级数,注：,（2）同理可证,定理,补充：,解,故由定理知原级数绝对收敛.,四、小结,2. 判别正项级数敛

4、散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,部分和极限,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,思考与练习：,解：,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,2. 用适当的方法判定下列级数的敛散性,解：,由比较法知,收敛.,3. 判别级数 的敛散性：,4. 判别下列级数的敛散性：,解,所以,由比较审敛法。可知级数收敛。,分析:,C,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,5., (B) 错,所以选C.,6. 判别下列

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