2018高考数学备考艺体生百日突围专题12立体几何的平行与垂直关系附解析

1、2018高考数学备考艺体生百日突围专题12立体几何的平行与垂直关系附解析 专题十二 立体几何的平行与垂直关系空间点、线、面的位置关系:平行【背一背基础知识】1.公理4：若ab，bc，则ac.2.线面平行判定定理：若ab，a，b，则a.3.线面平行的性质定理：若a，a，b，则ab.4.面面平行的判定定理：若a，b，a，b相交，且a，b，则.5.面面平行的性质定理：若，a，则a.若，ra，rb，则ab.线面垂直的性质定理：若a，b，则ab.面面平行的性质定理：【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行

2、的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面(2)已知线面平行时可利用线面平行的性质定理证明线线平行(3)判定面面平行的方法：定义法：即证两个平面没有公共点面面平行的判定定理垂直于同一条直线的两平面平行平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(4)面面平行的性质：若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面若一平面与两平行平面相交，则交线平行（5）平行间的转化关系2.典型例题例1【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正

3、方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ） A B C D【答案】A【解析】例2.已知表示两个不同的平面， 表示两条不同直线，对于下列两个命题：若，则“”是“”的充分不必要条件；若，则“”是“且”的充要条件.判读正确的是（ ）A. 都是真命题 B. 是真命题，是假命题C. 是假命题，是真命题 D. 都是假命题【答案】B【解析】解：由，表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，知：若b，a，则“ab”“a”，反之，“a”推不出“ab”，“ab”是“a”的充分不必要条件，故是真命题若a，b，则“”“且b”，反之，“且b”，推不出“”，“”是“

4、且b”的充分不必要条件，故是假命题故选：B【练一练趁热打铁】1. 已知为直线， 为平面，有下列三个命题：（1），则；（2），则；（3），则（4），则其中正确命题的个数是_【答案】1【解析】（1），则；显然不正确，因为两个平面的位置关系可以是任意的，两个直线的关系也是不确定的；（2），则，是正确的，垂直于同一平面的两条直线是平行的；（3），则，不正确，因为还有一种可能是直线a在平面内；（4），则，不正确，因为直线b有可能在平面。故正确的只有（2）.故答案为：1.2.下列命题中正确的是_（填上所有正确命题的序号）若， ，则； 若， ，则；若， ，则； 若， ， ， ，则【答案】空间点、线、面的位置

5、关系:垂直【背一背基础知识】1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：若ab，bc，则ac.若a，b，则ab.2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直这条直线与平面内任意直线都垂直；3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：若ab，ac，b，c，且b与c相交，则a.若ab，b，则a.若，b，a，ab，则a.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a，a，则.【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)解答空间垂直问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程

6、围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在2.典型例题例1【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）ABCD【答案】C例2.已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC，其中正确命题的个数是_【答案】3【解析】如图所示，PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC，PCAB，但AB不一定垂直于BC.【练一练趁热打铁】1.【2018届浙江省嵊州市高三第一学期期末】已知， 是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要

7、不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由线面垂直的判定定理可知， 时， 能推出，而不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.2.【2018届河南省濮阳市高三第一次模拟】已知不同的直线，不同的平面，则下列命题正确的是( )若， ，则；若， ，则；若， ，则；若， ， ，则.A. B. C. D. 【答案】A【解析】若， ，则位置关系不定；若， ，则位置关系不定；正确，选A.空间点、线、面的位置关系:异面直线所成角【背一背基础知识】1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线2.异面直线所成的角的范围：3.异面直线的判定方法：4异面直线所求

8、的角的求法：平移法构造三角形解三角形余弦定理平移【讲一讲基本技能】1. 必备技能:异面直线的平移方法常见的有三种平移方法：直接平移，中位线平移（尤其是图中出现了中点）补形平移 “补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用 “补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。2.典型例题例1【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【解析】如图所示，补成四棱柱 ,则所求角为 因此 ，故选C.例2【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线

9、与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】【练一练趁热打铁】1.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.2.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE

10、与D1F所成角的余弦值为_【答案】【解析】联结，由正方体的性质可知，所以即为所求异面直线，设正方体棱长为2，则,（一） 选择题（12*5=60分）1.【2016高考山东文数】已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线和直线相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”“直线和直线相交”，所以“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，故选A2. 【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB

11、1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A) (B) (C) (D)【答案】A3.空间中， 是三个互不重合的平面， 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A. 若， ，则 B. 若， ，则C. 若， ，则 D. 若， ，则【答案】C【解析】若l，l，则与可能平行也可能相交(此时交线与l平行)，故A错误；若， ，则l或l，故B错误；若， ，则l与可能平行也可能相交，故D错误；若l，则存在直线m，使得lm，又由l可得m，故，故C正确；本题选择C选项.4对空间两条无公共点的直线与，必存在平面使得( )A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D【解析】 因为

12、空间中两条无公共点的直线和，则或与是异面直线， 所以一定存在平面，使得成立，故选D.5若， 表示不重合的两条直线， 表示平面，则下列正确命题的个数是( )， ， ， ， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C6【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】设为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】一根直线同时垂直两个不相同的平面，显然这两个平面平行，故正确；因为两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另外一条直线也垂直这个平面，故正确；若，则

13、必存在直线，所以由面面垂直的判定可知，故正确；若，则由线面垂直的判定可知，故正确.7已知、是两个不同的平面， 、是两条不同的直线，下列命题中错误的是（ ）A. 若， ， ，则 B. 若， ， ，则C. 若， ， ，则 D. 若， ， ， ，则【答案】C【解析】对于选项C,两个平面平行，不能推出两个平面内的任意两条直线平行，因为直线也可以是异面直线，故C错误，选C.8.设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】A【解析】采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当时，可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，时，可以相交；

14、选项D中，时，也可以异面.故选A.9. 已知是三条不同的直线， 是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（ ）A. 若， ， 且，则B. 若， ， ，则C. 若， ， 且，则D. 若， ， 且，则【答案】D10在正方体中，直线与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 连接和，在正方体中， ， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，设，在等边三角形中， ，即异面直线与所成的角为，故选C11. 下图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形， ， ， ， 为全等的等边三角形， 分别为的中点.在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）A. 直线与直线共面 B. 直线与直线是异面

15、直线C. 平面平面 D. 面与面的交线与平行【答案】C【解析】画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确C，因为PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE平面PAD，不正确D，ADBC，AD平面PBC，面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确故答案选C12.【2018届山东省菏泽市高三上学期期末】已知是两个平面， 是两条直线，则下列命题是真命题的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案

16、】D【解析】若， ，A错；若，则不一定垂直，甚至可能重合，B错；若，则可能相交，C错；若，则，所以，D正确，故选D.点睛：空间线面间的位置关系判断，实际上可以借助于特殊的几何体来说明，如正方体，这样容易想象，直观性强，便于判断，本题中，如在正方体， ， ， 是平面， 是平面，这说明A错误同样可说明B、C错误二、填空题（4*5=20分）13. 【2016高考新课标2理数】是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】14.【2018届内蒙古赤峰市高三上学期期末】以等腰直角三角形的底边上的高为折痕,把和折成互相垂直的两个平面,则下列四个命题:； 为等腰直角三角形；三棱锥是正三棱锥； 平面平面；其中正确的命题有_(把所有正确命题的序号填在答题卡上)【答案】【解析】 由题意得，如图所示，因为为的中点，所以，又平面平面，根据面面垂直的性质定理，可得平面，进而可得，所以是正确的；其中当为等腰直角三角形时，折叠后为等边三角形，所以不正确；只有当为等腰直角三角形时， ，此时三棱锥为正三棱锥，所以不正确；由，可得面，又面，则平面平面，所以是正确的，故正确的命题为.15【2018届江苏省盐城中学