三次B样条曲线ppt课件

1、数字图像处理,曲线和曲面,2. B 样条曲线,2.1: B样条曲线的定义 2.2: B样条曲线基函数性质 2.3: B样条曲线的性质 2.4: 二次B样条曲线,2.5: 三次B样条曲线 2.6: 二、三次B样条曲线的应用 2.7: 非均匀B样条曲线,1. 样条函数的概念,1.1: 一般样条函数的定义 1.2: 三次样条函数,1.3: 二次样条函数,1,数字图像处理,1. 样条函数概念,样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产

2、 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。,2,数字图像处理,1.1 一般样条函数的定义,给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，n)，并设在区间a,b上的：a=x0 x1xn-1xn=b,那么在a,b上的一个函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它满足下面两个条件： (1)在每个小区间xi-1,xi(i=1，2，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。 (2)在xi(i=1，2，n-1)处成立

3、 即S(x)在拼接点处xi(i1，2，n-1)也具有K阶连续， 这也就是S(x)在整个区间a,b上具有K阶连续。 若S(x)满足 ，则称S(x)为插值样条函数。,3,数字图像处理,1.2 三次样条函数,假设在区间a，b上给定一个分割 ： a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数， 如果满足下列条件: (1)在每一小区间xi-1,xi(i=1，2，n)内S(x)分别 是三次多项式函数； (2)在节点xi(i1，2，n-1)处成立 :,即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二阶连续拼接。 (3)满足插值条件yi =S(xi),i=0，1，n.,4

4、,数字图像处理,1.3 二次样条函数,设定区间a,b上一个分割： a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如 果满足下列条件：,(1)在每个小区间 内，S(x)是二次 多项式函数，这里，,称为半节点；,(2)在半节点 (i=1，2，n)处成立,(3)满足插值条件,5,数字图像处理,2. B 样条曲线,以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。因此，1972

5、年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。,6,2.1 B 样条曲线的定义,给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，m+n)， 称n次参数曲线段 ：,为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，m)，这些曲线段 的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，n+m) 所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。,其中，基函数 定义为：,7,数字图像处理,B 样条曲线示例,二次B 样条曲线示例,8,数字图像处理,B 样条曲线示例,二次B 样条曲线示例,9,数字图像处理,B 样条曲线示例,三次B 样条曲

6、线示例,10,数字图像处理,B 样条曲线示例,三次B 样条曲线示例,11,数字图像处理,B 样条曲线示例,四次B 样条曲线示例,12,数字图像处理,B 样条曲线示例,五次B 样条曲线示例,13,数字图像处理,2.2 B 样条曲线基函数的性质,B样条函数基函数为：,具有如下性质： 1）有界正性：当 时， 2）权性： 即 3）对称性：当 时， 4）递推性：,14,数字图像处理,B 样条曲线的基函数,一次B 样条曲线的基函数,二次B 样条曲线的基函数,15,数字图像处理,B 样条曲线的基函数,三次B 样条曲线的基函数,四次B 样条曲线的基函数,16,数字图像处理,2.3 B 样条曲线的性质,1. 局

7、部性 根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，n)有关，因此，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对 整条曲线(当 m n)产生影响。这就为设计曲线时修改某一局部的形状带来了很大的方便。,如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制。,17,数字图像处理,B 样条曲线的性质,2.几何不变性 由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。 3. 连续性 当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，m+n)互不

8、相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h-1阶几何连续(G n-h-1)。,18,数字图像处理,B 样条曲线的性质,4. 对称性 根据B样条曲线的基函数的对称性可推导,它表明了B样条曲线段的起点和终点的几何性质完全 相同。,19,数字图像处理,B 样条曲线的性质,5.递推性 n次B样条曲线段的递推曲线表示形式：,20,数字图像处理,B 样条曲线的性质,6. 保凸性 B样条曲线和Bezier曲线一样，也具有保凸性。即当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时， Pk,n(t)

9、 是一条平面凸曲线。,21,数字图像处理,B 样条曲线的性质,7. 凸包性 当t0，1时，有0Gi,n(t)1 (i=0，1，n) 和 ，因此，根据凸包定义可知，对任何 t0，1，Pk,n(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。,如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制且包含在四个顶点构成的凸包之中。,22,数字图像处理,B 样条曲线的性质,8.变差缩减性,23,数字图像处理,2.4 二次B样条曲线,取n=2，则有二次B样条曲线的基函数如下 ：,二次B样条曲线段 是一段抛物线。,24,数字图像处理,二次B 样条曲线,二次B样条曲线的矩阵

10、表示为：,它具有如下性质： 1. 端点位置：,2. 端点切矢：,25,数字图像处理,二次B 样条曲线,如左图所示，六个控制顶点控制的二次B样条曲线由四段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由相邻的三个顶点控制。曲线段的起点和终点同控制顶点的连接边相切于连接边的终点位置。,26,数字图像处理,二次B 样条曲线,3. 当P0，P1，P2三顶点共线时，P0,2(t)(t0，1) 即蜕化为一段直线。 4. 当给定一组顶点P0，P1，Pm(m2)，若存在 Pi=Pi+1(0im-2)，则二次B样条曲线经过顶点Pi， 且在此处是尖点。,三点共线的情况,尖点的情况,27,数字图像处理,2.5 三次B样条曲线

11、,取n=3，则有三次B样条曲线的基函数如下：,三次B样条曲线段 为：,28,数字图像处理,三次B样条曲线,性质1：端点位置,性质2：端点切矢及二阶导数,29,数字图像处理,三次B样条曲线,P0,P3,P2,P1,三次B样条曲线的顶点位置和顶点切矢,30,数字图像处理,2.6 二、三次B样条曲线的应用,在曲线拟合设计中，B样条曲线主要可用于实验数据 平滑和要求局部交互式修改的自由曲线设计。当然，二、 三次B样条曲线及其变型，几乎可以应用到所有的要求具 有一次或二次几何连续的曲线造型场合。 (1)要求过插值端点； (2)封闭的二、三次B样条曲线； (3)插值二、三次B样条曲线；,31,数字图像处理,2.7 非均匀 B 样条曲线,前面介绍的B样条曲线实际上称为均匀(或等距节点)B样条曲线。B样条曲线是由B样条函数演化而来的。关于B样条函数的理论十分的丰富，现在简单的给出B样条基函数的递推公式