2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第63讲根据频率分布直方图求中位数众数和平均数

1、第 63 讲 根据频率分布直方图求中位数众数和平均数【知识要点】一、用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征），需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本容量越大，估计的结果也就越精确，分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息 .二、频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小 . 一般是用频率分布直方图反映样本频率分布.三、样本的数字特征众数：就是数据中出现次数最多的那个，比其他的都多，如果几个数据出现的

2、次数都是最多，则它们都是众数；每个数据都只有一次，那么数据没有众数 . 所以众数可以不止一个或者没有 .中位数：就是这些数据排列好了以后中间的那个数字，那么如果有偶数个数据，那么就是中间两个数字的平均数，如果有奇数个数据，则中间那个就是数据的中位数 . 所以数据的中位数不一定在数据中 .平均数：这个就是把所有数据相加，除以个数，就是数据的平均数 .平均数：xx x x1 2 nn方差：2 2 2(x x) (x x) ( x x)2 1 2 n 2 2s (x Ex) p (x Ex) p1 1 n nn标准差：s2 2 2(x x) (x x) ( xn x)1 2n四、茎叶图茎叶图又称“枝

3、叶图” ，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎） ，将变化大的位的数作为分枝（叶） ，列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少 .当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图 .【方法讲评】题型一 求众数一般先计算出频率分布直方图中的每个小矩形的面积，找到面积最大的那个矩形，取解题步骤该矩形的横边中点对应的数为众数 .【例 1】对某小区 100户居民的月均用水量进行统计

4、，得到样本的频率分布直方图如图，则估计此样本的众数、中位数分别为（ ）A. 2.25 ， 2.5 B 2.25 ， 2.02 C 2 ， 2.5 D 2.5 ， 2.25【点评】（1）求频率分布图中的众数，一般先计算出频率分布直方图中的每个小矩形的面积，找到面积最大的那个矩形，取该矩形的横边中点对应的数为众数 . （2）求众数也可以直接找最高矩形的横边的中点.【反馈检测1】某学校 900 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，抽取其中 50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13 ，14 ，第二组14 ，15）， ，第五组17 ， 18 ，如图是按上述分组方法

5、得到的频率分布直方图（1）若成绩小于 14 秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计学校 900 名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数2题型二 求中位数先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为 0.5 的点 P，点 P对应的数就 解题步骤是中位数 .【例 2】高二某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组13 ，14），第二组14 ，15） 第五组17 ，18 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩大于等于 14 秒且小于 1

6、6 秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到 0.01 ）(3)设m,n 表示该班两个学生的百米测试成绩， 已知 m,n 13,14 17,18 ，求事件 m n 2 的概率 .3事件 m n 6由 6 个基本事件组成 .所以6 3P m n 6 .10 5【点评】求频率分布直方图中的中位数，一般先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为 0.5 的点 P，点 P 对应的数就是中位数 .【反馈检测 2】某公路段在某一时刻内监测到的车速频率分布直方图如图所示（）求纵坐标中参数 h的值及第三个小长方形的面积；（）求车

7、速的众数v ，中位数 v2的估计值；1（）求平均车速 v的估计值4题型三 求平均数一般利用平均数的公式x = x p + x p + +x p 计算. 其中 xn 代表第 n 个矩形的横边1 1 2 2 n n解题步骤的中点对应的数，p 代表第 n 个矩形的面积 .n【例 3】 某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六组 40 ，50），50 ，60） 90 ，100 后画出如下部分频率分布直方图 . 观察图形的信息，回答下列问题：（）求成绩落在 70 ，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；( ) 估计这次考试的及格率（ 60 分及以上为及格）和平均分；( )

8、 从成绩是 70 分以上（包括 70 分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率 .【解析】（）成绩落在 70 ，80）上的频率是 03，频率分布直方图如下图频率组距5( ) 成绩是 70 分以上（包括 70 分）的学生人数为（ 003+0025+0005） 10 60=36所以所求的概率为18 17153614 33522970【点评】 求频率分布直方图中的平均数， 一般利用平均数的公式x = x p +x p + +x p 计算. 其中 xn1 1 2 2 n n代表第 n 个矩形的横边的中点对应的数，p 代表第 n 个矩形的面积 .n【反馈检测 3】某校 100 名学生期中考试语文成绩

9、的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50 ，60），60 ，70），70 ，80），80 ，90），90 ，100 （1）求图中 a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；（3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x）与数学成绩相应分数段的人数（ y ）之比如下表所示，求数学成绩在 50 ，90）之外的人数分数段 50 ，60） 60 ，70） 70 ，80） 80 ，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：56高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 63 讲:根据频率分布直方图求中位数众数和平均数参考答案【反馈检测 1 答案】（1）3；（

10、2）288；（3）15.5，15.74.【反馈检测 2 答案】（1）h 0.01，第三个小长方形的面积为 65；（2）v v ；（3）v 62.1 65, 2 62.5【反馈检测 2 详细解析】（）所有小长形面积之和为 1， 10h+10 3h+10 4 h+10 2h=1，解得 h=0.01 ， 第三个小长方形的面积为： 10 4 h=10 0.04=0.4 （）车速的众数1v = (60 70)12=65，车速的中位数是两边直方图的面积相等，于是得： 10 0.01+10 0.03+ （ v2 60） 0.04=0.5 ，解得 v2 =62.5 （）平均车速 v=0.01 10 45+0.03 10 55+0.04 10 65+0.02 10 75=62【反馈检测 3 答案】（1）a 0.005 ；（2）73；（3）10.【反馈检测 3 详细解析】（1）依题意得， 10 2a 0.02 0.03 0.04 1，解得 a 0 .005（2）这 100 名学生语文成绩的平均分为： 55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05 73 分