高等数学A下册期末考试试题A卷

1、高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】考试日期：2009年 学号 姓名 院（系）别 成绩 班级 大题 一二 三 四 五 六 七 小题 1 2 3 4 5 得分 把答案直接填在题中横线上一、填空题： 小题，每小题4分，满分20分，）（本题共5 rrrrrrrrr ?b?0a?bba?2a?2b?a 、已知向量1 、，则满足 ， ， 3z?)xy?xln(z，则 2、设 2y?x 229z?x?y?4)(1,2, 处的切平面方程为 3、曲面 在点 ?)(x)?x)f(xf?(,x)f2 的周期函数，它在的傅里叶级数是周期为4、设上的表达式为，则?x3x? ，在 处收敛于在 处收敛于 ?(x?y)d

2、s(0,1)(1,0)L 5、设为连接 与 两点的直线段，则 L 班级学号、：姓名、以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上 二、解下列各题： ）分，满分35分（本题共5小题，每小题7222?9?z2x?3y?M1,2)(1,? 在点、求曲线处的切线及法平面方程1?0222y?xz?3?2222yx?xz?2?2yz?6 2及、求由曲面所围成的立体体积?1?n?nln(?1) 3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ n1n?2zz?x,ysin(z?fxy,)?f ，其中、设4具有二阶连续偏导数，求 y?x?x?ydS2222?,ayz?x

3、?)?hz?(0h?a 是球面、计算曲面积分5其中被平面截出的顶部 z?三、（本题满分9分） 22y?z?x1?y?zx 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值四、 （本题满分10分） xx?cosy?mx)dy?m)dx?(eesiny，计算曲线积分 L22x?y?ax(a?0)m(0,0),0)OA(aL至原点其中为常数，的上半圆周为由点 五、（本题满分10分） n?x? 求幂级数的收敛域及和函数 nn?31?n六、（本题满分10分） 332?dxdy?1)zy?dzdx?3(2xdydz?2I 计算曲面积分，?22z?1?x?y(z?0)?的上侧 为曲面其中七

4、、（本题满分6分） 22222?yx?z?af)(0)?f(xdv)?z?f(tF()?x?yz是由曲面，设，其中为连续函数，t?tF(t) 222limy?x?zt 所围成的闭区域，求与 3t?0t? - 备注：考试时间为2小时； ?草稿纸由表及里依序对折上交； 考试结束时，请每位考生按卷面答题纸 不得带走试卷。【A卷】 )期末考试试题高等数学A(下册参考解答与评分标准 月62009年1 2?4?14z?x?4y?2一、填空题. 5、3，4分，共20分】 1、0； 2 ；3、 4、【每小题、 2y】二、试解下列各题【 分，共35分每小题7dzdy?3y?z?2x? xdy5xdz7?dxdx

5、x? 4】从而1、解：方程两边对，.【求导，得， ? dx4zdydzy4dx?3yx?z ?dxdx?ur571?1,2?1,T?(1,)?(8,10,7).【5】 处的切向量为该曲线在 488x?1y?1z?2?.【6】 故所求的切线方程为 8107?27010zy?18?x?1?8x?10y?7z?12.【7】 法平面方程为 即 22?y?2x2z?2222?D:x?y?22y?x?xOy?】【2、解：，该立体在面上的投影区域为 .xy22z?6?x?y?2 ?2262?2?dv?V6)?(6ddz?2?3dd?.【7】 故所求的体积为2?0020?11?n 0?ln(1?)?1nu?l

6、imnln(1?)?limlimu发散【，知级数3】 、解：由 nnnn?nn?nn?1111|?ln(1?)?ln(1?)?|u|lim|u|u|?limln(1?)?0.故所给级数收敛且条件收敛【7】又, n?n1n1?nnn?n?n?z11?f?yf?f)?(f0?y， 、解： 【3】 2211?xyy2x1zx11?x?xyf?.?f?ff?)yff)?ff?x?f?(?x?f?( 【7】 112122111222112232222yyyyyx?yy? 2222222y?zx?a?ah?y(x,)|x?y?D?xOy、解：的方程为 ，在面上的投影区域为xy 22222y?z?1?x?a

7、?az 】【又.，yx 22h?a?a1dadxdydS ?22?h2?a22?da?lna?ln(a?2)a?2 】故【7.? 22222?aaz?x?yh200?0?Dxy 222)zy,M(x,z?y?xd?三M 1到原点的距离为】为该椭圆上的任一点，则点、【9分】解：设【22222?1)?y?x?y)?z(?L(x,y,z)x?y?z?x(z ，令?02?x?L?2x?x?02?y?L?2y?y 3?1? ?32mz?x?y0z?L2，解得于是得到两个可能极值点 ，则由? z2?22y?z?x?1?z?x?y? 31?3?1?3?1?1?3 3).?,2M(,2?M(3), 】【721

8、2222 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得 3.5?9?3,d?|OM|d?|OM|?9?5 】故【9 1minmax2 LOA 四、D 解：记所围成的闭区域为，则由格林公式，得与直线段【10分】?2xx?ma?y?mx)dy?mI?dm(esiny?)dx?(ecos 】【5 28 DOAL?axx?ma?dx?mx)dy?mI?y(esiny?m)dx?(ecos 】【8而1 0OA?2xx?.ma?ma)dy?I?Imsiny?)dx?(e?cosy?mx(e 】【10 128Lna1n3?1n?3,3)(?R?3lim?lim五、】解

9、：】 ，收敛区间为 【10分【2 ?n?13n?a13?n?nnn?1?1?3?xx?3? 【4又当，发散；当时，级数成为】时，级数成为，收敛 nn1n?1n?3,3?【5故该幂级数的收敛域为】 n?x?3?x?3?xs）（，则 令 nn31?nn?1?11x11x?1n?3x|?()sx()? 【, (8】) n3x?3x313?3/31?n1?ndxxxx? ?3x?3?x?lnln?3?x3s(x)?lnsdx(x)?3 10】（）.【于是， x3?000 22?1)y?0(x?z?六、，则由高斯公式，【10分】解：取与为所围成的空间闭区域为的下侧，记11?22332?dvy?z?ydzdx?3z?1I?dxdy6x?2xdydz?2 】. 【5有2?12?1?21?2?2?d?zd?6dz.【7】 000?2332?3dxdy?dxdy3?2xzdydz?2y3dzdx?3I?z1?1dxdy. 【9】 而122?1?y?x11?.?3?I?I?I?2?. 【10】 12?t2?22? ?rdr?sinfdFrtr?dcos4七 2】【. 】解：