概率论与数理统计期末考试复习题

1、 概率论与数理统计复习题 一、填空题CBC?C?ABABA 、中至少有一个发生可用1 事件表示为、)PP(B|A)?(BBBAA ，则称 _2若事件满足、相互独立X 的分布律为3 若随机变量X2 0 1 1 p 0.2 0.4 0.3 0.1 k?X)E(0.6 则1.已知P(A)=0.8,P(A-B)=0.5,且A与B独立，则P(B)= 3/8 ; 2.设A,B是两个随机事件，P(A)=0.8,P(AB)=0.4,则P(A-B)= 0.4 ; 3. 设事件A与B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(AB)= 0.7 ; 4. 事件A与B满足P(A)=0.5,P(B)=0.6,

2、P(B|A)=0.8,则P(AB)= 0.7 ; 5.袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 ； 6.某射手每次击中目标的概率为0.28，今连续射击10次，其最可能击中的次数为 3 ; x?12?)xP(x?X?x1?x?5 当时，1，5上的均匀分布，X8. 设随机变量服从21124 X的概率分布为10. 设随机变量X -1 0 1 2 0.1 0.3 0.2 0.4 P 2?P(1X)? 0.7 ；则 11.设随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=15,D(X)=10,则n= 45 ; ?P(X?2)?,)(1.5?0.(0.5)?06915,9332

3、0.3753 则；14.设随机变量XN(1,4), n?22?X,X,X,?X)n( 的样本，则?是来自总体N(015.已知总体X，1)，Xn21i1?i222?,?X(H,:X),X,N则是来自总体已知总体XX的样本，要检验16. 02n012S)?1n(；采用的统计量为 2?0?,(T?)?1?(PT)? T设17.t的服从自由度为n分布，若则2?若 ; )= 18. 是参数 的无偏估计量，则有E( ?的无偏估计量，若若均为参数，则更有效 比. 19. ,(D?()D)212211 ?是用来控制犯第一类错误的概率；第一类错误20.在假设检验中，显著性水平 ；弃真错误 是指 HH 的总体判为

4、不符合加以拒绝，这类错误称为21. 在假设检验中，把符合00 ； 弃真错误 HH的总体加以接受，这类错误在假设检验中，把不符合的总体当成符合22. 00 ；第二类取伪错误 称为 ?Y)E(2X?30.5,E(Y)?0.7E(X)?YX3.1的数学期望分别为若随机变量，则和25. . 二、 单项选择题已知1. 恰有一个发生的概率为（ A ）B互斥，则A与BP(A)=p,P(B)=q,且A与 A. p+q B. 1-p+q C. 1+P+q D. P+q-2pq ） B B2.设A,B是两个随即变量，若当发生时A必发生，则定有（ =P(A) A+B） P（ B. A. P(AB)=P(A) P(B

5、|A)=P(A) D. P(B|A)=1 C. ? ） 与B（ B 3.若A,B之积为不可能事件，即A，则?AB 相等 D. C. 对立 B. 互不相容 A. 独立 ) A A与B( 设4.P(AB)=P(A)P(B),则 相等 D. 互不相容 C. 对立 A. 独立 B. )(XD? 服从二项分布B(n,p),则） B （X5.设随机变量 )XE(1 A. n B. 1-p C. P D. p1?2?),N(服从正态分布X6.设随即变量 ）其概率密度的最大值为（ D 11?2?)2(2 A. 0 B. 1 C. D. ?2 设随机变量7. X的概率分布为 1 2 3 4 X P 11 b a

6、 6 ） 则a,b分别等于（ D 5111?bb,?,a?a? A. B. 121246 1112 C. D. ?,baa,?b?3124152?,?X(X,X),NX所服从的分8. 则样本均值已知总体X是来自总体X的样本，n12布为（ B ） 2?22?)(,N),n)N(N(,n C. A. N(0,1) B. D. n9.在总体中抽取容量为5的样本，其样本观察值为2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，则其样本均值为（ B ） A. 2.2 B. 2.3 C. 2.4 D. 0.001222?S及X设总体10.),N(,分别为样本已知，先从总体中抽取容量为Xn的样本，?-1的置信度为的置

7、信区间为（ D 均值和样本方差，则） SS)?1?t(t(n?1)n,X（X? A. ?nn22SS（X?u(n?1),X?u(n?1) B. ?nn22?)1)(n1)?,X?tX（?t(n? c. ?nn22?)n?1,X?u(（X?un?1) D. ?nn22三、 计算题. 一、在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有4?4?3?485?5?4?100个。个，（1）该数是奇数的可能个数为所以出现奇数的概

8、率为 48?0.48 1002?4?5?4?5?4?48，所以该数大于330的可能个数为的概率为 2（）该数大于33048?0.48 100 ?2?0x?x? 1.，()?x 的概率密度函数为设随机变量X?其它0?求（1）常数 （2）E(X) (3) P(1X3) 2?1?2dx?dxxf?1()?x?；1（解：，得到 ）根据20? 2412?dxE(X)?x ；）（2320231?xdx?3?P1?X （3）；421?4?1x?0?x?，?(x) 2. 的概率密度函数为 设随机变量X?其它0?1)X?P( （2）求（1）常数 21?4?x1?dxf(x)dx5?）根据，得到（1； 解：50?

9、13114?dx5xPX （2）32212?10?x?ax?b? 3.，)?(xE(X)=7/12, 且设随机变量X的概率密度函数为 ?其它0?a,b 求常数1?a?1?dx?)(xdxb?(ax?b) 解：由 20?17ab?)dxx(ax?b?)dx?E(X)?x?(x 1223?01?b?1,a. 解得2一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，4. 210?x?kx?f)(x）确 （以X1表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为，?他其0?2111PX?P?X?PX?k。 （4）求；定；（2（）求3）求；3234?1k2?kxdx1?f(x)dxk?

10、3；1 ）根据，得到（解：30?33/1111?2?x3dx?XP? ；2（）2733?0332/117111?2?3xdxP?X? ；（3） 642442?4/1312219?2?1PX?3xdx? 。4（） 3327?32/只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已2一只盒子装有5. 2只白球， 知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。BA。，记为事件“另一只也是红球”记为事件解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”A 则事件的概率为52122?)?2?P(A （先红后白，先白后红，先红后红） 64343 所求概率为12?1AB)P( 34?B|A)P( 55

11、A)P( 685%岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有6. 一种用来检验50会认为他患关节炎。已知人群中有4%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有 而他却有关节炎的概率。10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，A“一名被检验者确实患有关节解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件，B 炎”记为事件。根据全概率公式有 %.?121?90%?4%BB)P(A|)?10%?85%P)P(A)?P(BP(A|B)?( ， 所以，根据条件概率得到所要求的概率为 %)851?|B)10%(P(BA)P(B)PA %P0617.?|A)?(B %

12、.121A)1?P(A)1?P(17.06%. 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为是可信的。又设全部不可信的在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%7. 是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密讯息中只有0.1% 码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。BA。根据解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件“一讯息是可信的”记为事件， Bayes公式，所要求的概率为P(AB)P(B)P(A|B)95%?1?99.9947)(PB|A?% P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)95%?1?5%?0.1%8. 计算机中心有三台打字机

13、A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？ M，“程序在A,B,C：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件解三台打字机上打N,N,N 。则根据全概率公式有字”分别记为事件3213?025.04?0.05?0.1?0N)?0.6?0.01?0.3?0P(M)?)P(NP(M| ，ii1?i A,B,C上打字的概率分别为根据Bayes公式，该程序是在)|N)P(MP(N010.6?011240|M)?.?P(N ， 102

14、50.(M)P)|NP(MP(N)050.3?022?)N|MP?0.60( ， 2025)0.P(M)|NP(N)P(M040.0.1?33?)N?0.16|MP( 。 30250.(M)P台，求取到的电视机中包含的3台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取9. 在一批12 次品数的数学期望。 台的概率分别为，21解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，12123CCCCC19610101022?p?p?p ， 。 201333112222CCC121212 所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为1916)(台?2?0?E?1 。 2222211 X的概率密度为10.

15、在美国，致命的汽车事故所占的比例5?1x?,0x(1?x)?42?x)f(? ，,其他0? X的数学期望。求11?6225?)1?x?1?x)dx?7xd(EX)?xxf(x)dx?42( 解：0?0111?11 766277?dxx12x(?x)?)(?7x1?x2(1?14x1(?x)dx?2xdx(1?)?00000 。=1/4?),N(1296X今取得一设，11. 以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计）?1478x?27?n的置信的样本，测得其样本均值为）0.95的置信水平为，求（容量为1 ? 0.90的置信区间。区间，（2）的置信水平为?的置信水平：这是一个方差已知的正态总

16、体均值的区间估计问题。根据标准的结论，解?Zx?1。的置信区间为 为 ?2/n? （1）的置信区间为的置信水平为0.95?1296?1464.42,1491.58.?5814781478?.Z48?196?1478?13 。?0250.27? 0.90（2）的置信区间为的置信水平为?1296?40?.1466.60?11.40,1478?Z645?1478?48?1.?14891478 。?050.27?),4XN(，今取得样本（容量为g12. 以X表示某种小包装糖果的重量（以计），设10n?）： 55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93,

17、 58.30, 52.57, 58.46 ? 的置信水平为0.95求的置信区间。8?56.x 解：计算得：。 ? 0.95的置信区间为的置信水平为?4?04?.5524.56,456.8?0.?1.96?5856.8?1.568?Z 。?025.010? 车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单3013. 一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从 位计）16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.1 15.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.4 15.4, 13

18、.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8 22?,N(), 均未知。求的置信区间。设样本来自正态总体的置信水平为90%，2?, 解：的无偏估计值为n1?22?90721).?s?(x?x72?x?14. 。， i1n?1i? 的置信区间为的置信水平为90%?38075s1.?148292,428?0.15?.14?14(?tn?1)?.72?1.6991.14.72?x ?050.30n? 块内墙上做试验，1214. 一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的4?9.sx?66.3分。设样本来自正，得样本均值记录干燥时间

19、（以分计）分，样本标准差 22?,)(N 均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。态总体，干燥时间的数学期解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论， 望的置信水平为0.95的置信区间为?s9.4?2772,97.?60.3353?66.?366?1ntx?(?)?.?22010.?。 ?0250.n12? 22?,X,)N(均未知。下面，设，是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计）16. 设X?n 13是X的一个容量为的样本：13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8

20、, 23.0 ? 的置信水平为0.95求的置信区间。27537.s? ：根据题中数据计算可得。解2? 的置信区间为的置信水平为0.9522?7537.12?37.7512?)(n?1)sn?1s?86,?.19.41,102? ，? 22?40423.3374.)1)?1(n?(n?975025.0.0? 的置信水平为0.95所以的置信区间为?22?s)(sn(?1)n?1?142.?.4406,1019.41,102?,.86 。?22?)?)?n11(n(?975.0025.0个个体的一项大规模研究。文章3月）描述涉及2014317. 美国公共健康杂志（1994年，在某一大学医院进行一到71.6%）说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%个病人测得平均38.4%，抽取了15项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于22?,)N(,均未知。试，40.5%摄取量为，样本标准差为7.5%。设样本来自正态总体?050.?4:.?38.4,38H:H 取显著性水平检验假设：。10 ：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，解 检验统计量为4.x?38 ?t 。ns/4.3840.5?t?1.0844。 代入本题具体数据，得到15/7.5t(14)?2.1448。 检验的临界值为0250.t?1.