201x-201x学年高考数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定新人教A版必修2

1、第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质,2.3.1直线与平面垂直的判定,学习目标,1.掌握直线与平面垂直的定义. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理. 3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一直线与平面垂直,答案,任意一条,l,垂足,垂线,垂面,思考直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”,答案,答定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定

2、垂直,知识点二直线与平面垂直的判定定理,答案,两条相交直线,abP,思考线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗,答案,答用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的,知识点三直线和平面所成的角,答案,直线PA,点A,AO,相交,垂直,交点,垂线,垂足,斜足,答案,返回,思考若直线l与平面所成的角是0角，则必然有l吗,答不一定.若直线l与平面所成的角是0角，则l或l,0的角,0，90,直角,题型探究 重点突破,题型一直线和平面垂直的定义 例1直线l与平面内的无数条直线

3、垂直，则直线l与平面的关系是() A.l和平面平行 B.l和平面垂直 C.l在平面内 D.不能确定,解析答案,反思与感悟,解析如图所示，直线l和平面平行，或直线l和平面垂直或直线l在平面内都有可能.故正确答案为D,D,反思与感悟,1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. 2.由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab,解析答案,跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下

4、列命题正确的是() A.若lm，m，则l B.若l，lm，则m C.若l，m，则lm D.若l，m，则lm,解析对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直； 对于B，因l，则l垂直内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确； 对于C，也有可能是l，m异面； 对于D，l，m还可能相交或异面,B,解析答案,题型二线面垂直的判定 例2如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E.求证：AE平面PBC,反思与感悟,证明PA平面ABC， PABC. 又AB是O的直径，

5、BCAC. 而PAACA，BC平面PAC. 又AE平面PAC，BCAE. PCAE，且PCBCC， AE平面PBC,反思与感悟,证线面垂直的方法有： (1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ab，ab； ，aa,解析答案,跟踪训练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面

6、BB1O,证明ABCD为正方形， ACBO. 又BB1平面ABCD，AC平面ABCD， ACBB1， 又BOBB1B，AC平面BB1O， 又EF是ABC的中位线， EFAC，EF平面BB1O,解析答案,题型三直线与平面所成的角 例3如图所示，已知正四面体ABCD的棱长a，E为AD的中点，连接CE. (1)求AD与平面BCD所成角的余弦值,解如图所示，过点A作AO底面BCD，垂足为点O，连接OB，OC，OD. 则OB，OC，OD分别是AB，AC，AD在平面BCD上的射影. ADO为直线AD与平面BCD所成的角. 又ABACAD，OBOCOD. O为BCD的外心. BCD为正三角形，点O为重心,解

7、析答案,2)求CE与平面BCD所成角的正弦值,反思与感悟,解取OD的中点F，连接EF，CF. E，F分别为DAO的边AD，OD的中点， EF为DAO的中位线. EFAO. 又AO平面BCD，EF平面BCD. FC为EC在平面BCD上的射影. ECF为CE与平面BCD所成的角,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,反思与感悟,1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几

8、何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口,解析答案,跟踪训练3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点. (1)求D1B与平面AC所成的角的余弦值,解如图所示，连接DB. 因为D1D平面AC， 所以DB是D1B在平面AC内的射影. 所以D1BD即为D1B与平面AC所成的角,解析答案,2)求EF与平面A1C1所成的角的大小,解因为E是A1A的中点，A1A平面A1C1， 所以EFA1是EF与平面A1C1所成的角. 在RtEA1F中，因为F是A1D1的中点， 所以EFA145. 故EF与平面A1C1所成的角的大小为45,分类讨论思想,数学思想,例4如图，在矩形

9、ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，问：BC边上是否存在点Q，使得PQQD？并说明理由,解析答案,解后反思,分析由于矩形是变动的，在BC边上是否存在点Q，使得PQQD与a有关，故应对a进行分类讨论. 解因为PA平面AC，QD平面AC， 所以PAQD. 又因为PQQD，PAPQP， 所以QD平面PAQ. 所以AQQD. 当0a2时，由四边形ABCD是矩形，且AB1，知以AD为直径的圆与BC无交点，即对于BC上任一点Q，都有AQD90，此时BC边上不存在点Q，使PQQD,解析答案,解后反思,解后反思,当a2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时AQD90，所以B

10、C边上存在一点Q，使PQQD； 当a2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD,解后反思,应注意到矩形是变动的，所以应对a进行分类讨论.分类的依据是直线与圆的位置关系的几种情况，从而划分a的取值范围，然后进行讨论,解析答案,解后反思,例5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面ACD1,返回,线面垂直,解题技巧,分析根据线面垂直的判定定理，要证明OE平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直即可. 证明如图，连接AE，CE，D1O，D1

11、E，D1B1. 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，易证AECE. 因为AOOC，所以OEAC. 在正方体中易求出,解析答案,解后反思,因为D1O2OE2D1E2，所以D1OOE. 因为D1OACO，D1O平面ACD1， AC平面ACD1. 所以OE平面ACD1,解后反思,解后反思,在立体几何的垂直关系的证明中，通过勾股定理及其逆定理计算证明线线垂直是一种常用的技巧,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为() A.75 B.60 C.45 D.30,解析如图，连接AC，BD，两线相交于O，连接SO，则SBO就是侧棱与底

12、面所成的角,C,因为SB1,所以SBO45,解析答案,2.下列条件中，能判定直线l平面的是() A.l与平面内的两条直线垂直 B.l与平面内的无数条直线垂直 C.l与平面内的某一条直线垂直 D.l与平面内的任意一条直线垂直,D,解析根据线面垂直的定义可知，l垂直于内的所有直线时，l,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,3.已知PA矩形ABCD，下列结论中，不正确的是() A.PBBC B.PDCD C.PDBD D.PABD,解析如图，由PA矩形ABCD，得BC平面PAB，DA平面PAB，DC平面PAD，AB平面PAD， 则有PBBC，PDCD，PABD均正确，而PDBD错，故选C,C,解析答案,1,2,3,4,5,4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是() 三角形的两边；梯形的两边； 圆的两条直径；正六边形的两条边. A. B. C. D,解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面，对于图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直,A,5.矩形ABCD中，AB1，BC ，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_,1,2,3,4,5,解析答案,30,PCA30,课堂小结