运筹学：第四章多目标规划

1、本书大部分章节讨论的基本上都是单目标优化问题，实际上，许多实际问题的优化牵涉的目标往往不止一个，如设计一个工厂的施工方案，就要考虑工期、成本、质量、污染等目标,再如找工作,购买家用电器,追求的目标往往都不止一个。由于这类问题需同时考虑多个目标，而有些目标之间又相互矛盾，从而使决策问题变得复杂, 这类决策问题称为多目标决策问题。 多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision

2、Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题，后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优方案的决策,多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又有联系。 多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。1896年，法国经济学家VPareto首先在经济理论的研究中提出了多目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家TCKoopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名为“Pareto解”(即有效解)。同年

3、，HWKuhn和 AWTucker从数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关概念。进入20世纪70年代，随着第一次国际多目标决策研讨会的召开及这方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作迅速、蓬勃地开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的研究成果,第一节 多目标规划模型,线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R=X|gi(X) 0，i=1，2，m) XEn 上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往往不是那么协调，甚至是相

4、互矛盾的。本章将以实例归结出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型,第四章 多目标规划,一. 一般多目标规划模型,例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。 我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有,在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的成员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各样的目标来。 如果要求总花费最小，即要求： f1(x1,x2)=4x1+2x2 min

5、 如果要求糖的总数量最大，即要求： 如果要求甲级糖的数量最大，即要求： 易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均为线性函数，故它为多目标线性规划问题,例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元，今有n(2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，n)个项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益,xi=0或1,所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多办事”，则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大： 这是具有两个目标的01规划问题,例3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格

6、和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，横截面的惯性矩不少于给定值W，且横截面的高度要介于其宽度和4倍宽度之间。 问应如何确定木梁尺寸，可使木 梁的重量最轻，并且成本最低。 设所设计的木梁横截面的 高为x1 ，宽为x2（图1）。 为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求其横截面面积x1x2为最小，即要求x1x2min,由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小 成正比。由此，为使木梁的成本最低还应要求 尽可能的小，或即： 根据问题的要求，应满足下述约束条件： 这是具有两个目标的非线性规划问题,由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标最优化模型的区别主要

7、是目标多于一个。在这些目标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不难将多目标最优化模型统一成一般形式： 决策变量：x1，xn 目标函数：minf1(x1，xn) minfp(x1，xn,若记X= (x1，xn)，V-min表示对向量F(X)=f1(X)， ，fp(X)T中的各目标函数f1(X)，fp(X)同等的进行极小化。R=X|gi(X)0，i=1，m表示约束集。 则模型一般式也可简记为 这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写,二. 分层多目标规划模型,本节介绍一类不同于(VMP)形式

8、的多目标最优化模型。这类模型的特点是：在约束条件下，各个目标函数不是同等的被优化，而是按不同的优先层次先后的进行优化。 例如，在例1中，若筹备小组希望把所考虑的三个目标按重要性分成以下两个优先层。 第1优先层总的花费最小。 第2优先层糖的总数量最大。 甲级糖数量最大,那么这种先在第1优先层次极小化总花费，然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目标最优化问题。可将其目标函数表示为： L-minP1f1(X)，P2f2(X)，f3(X) 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化模型的例

9、子,例4：某水稻区一农民承包10亩农田从事农业种植。已知有三类复种方式可供选择，其相应的经济效益如表,设该农户全年至多可以出工3410小时，至少需要油料156公斤。今该农户希望优先考虑总利润最大和粮食总产量最高，然后考虑使投入氮素最少。问如何确定种植方案。 首先设立决策变量如下 方案1的种植亩数：x1， 方案2的种植亩数：x2， 方案3的种植亩数：x3， 根据农户的要求确定问题的三个目标函数为,年总利润： f1(x1，x2，x3)=120.27x1+111.46x2+208.27x3 粮食总产量： f2(x1，x2，x3)=1056x1+1008x2+336x3 投入氮素量： f3(x1，x2

10、，x3)=50 x1+48x2+40 x3 根据农户的全年出工能力，对油料需求量，所承包农田数以及种植亩数应为非负等限制，应有约束条件： 总用工量：320 x1+350 x2+390 x33410 油料需求： 130 x3156 农田数： x1+x2+x310 种植亩数非负：x10， x20， x30,根据农户对目标重要性的排序，将前两个目标作为第一优先层，将第三个目标作为第二优先层，再把其中的求最大化转化为求其负数的最小，便得到下列具有两个优先层次的分层多目标极小化模型： 对它进行求解便可得到农户满意的种植方案,三. 目标规划模型,本节介绍一类在实际中有着广泛应用的特殊多目标最优化模型。这类

11、模型并不是去考虑对各个目标进行极小化或极大化，而是希望在约束条件的限制下，每一目标都尽可能的接近于事先给定的各目标值。 设p个目标函数的给定目标值分别为,例5：某机器制造厂生产两种型号的机器，同时也进行机器的零部件和工业性作业生产。已知有关数据如下表，并且该工厂全年能承担生产的总工时为58万小时,今决策者希望在完成上级下达的指令性计划的前提下，全年总产值达到2750万元左右，总利润不低于440万元，并且要避免开工不足。然后，还希望工人的加班时间不超过总工时的4，以及依据市场预测的信息进行生产。试问应如何安排工厂的年生产计划。 首先，设立决策变量为 x1：生产1号机套数 x2：生产2号机台数 x

12、3：生产零部件和工业性作业的工时数(万小时,第二节 多目标规划问题的解,在单目标规划问题中，任意两个可行方案都可通过比较其目标函数值来确定其优劣。在所有可行方案中，使目标达最优的就是最优解。 而在多目标规划问题中，约束集R中的两个方案x1，x2其优劣往往不能进行比较。这是因为它们的目标值F(X1)与F(X2)是向量，而向量是无法直接比较大小的。所以，在R中也往往不存在一个方案对每个目标都是最优的。 这种多目标规划问题区别于单目标规划问题的本质表明，仅仅将单目标问题最优解的概念平移到多目标问题中是不行的。本章将介绍多目标规划问题各种解的概念及其相互关系,一. 各种解的概念,图2给出了两个目标，一

13、维变量时绝对最优解的例子,图3 给出了两个目标，一维变量时有效解集合的例子,二. 各种解之间的关系,多目标决策与单目标决策区别,点评价与向量评价 单目标： 方案dj 评价值f(dj) 多目标：方案dj评价向量(f1(dj)，f2(dj)，fp(dj) 全序与半序: 方案di与dj之间 单目标问题: didj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况是不可比较大小 决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。 解概念区别,解的概念,单目标决策的解只 有一种（绝对）最优解 多目标决策的解有下面四种情况： 绝对最优解 劣解 有效解(pereto解) 弱有效解,多目标决策解的例子,第三节

14、 多目标最优化问题的解法,求解多目标最优化模型，就是要根据问题的特点和决策者的意图，选择适当解法，求得模型的有效解或弱有效解。本章将介绍一些常用的多目标最优化问题解法,一. 评价函数法,二. 分层求解法,本节将针对第一节中介绍的分层多目标最优化模型，介绍一般的分层评价法和适用于线性分层模型的分层单纯形法。 1、分层评价法 设将目标分为L个优先层，则可首先在约束集R上对第一优先层进行多目标极小化，然后在第一层优化所得的（弱）有效解集上对第二层进行优化，然后在第二层优化所得的（弱）有效解集上对第三层进行优化 可以证明，按分层评价法进行求解时，只要每一层选用的评价函数都是严格增的，则最后所得的解必为

15、相应的不分层多目标最小化模型的有效解,上述结果表明：若该农户认为利润和粮食目标在问题中的重要程度分别为0.6和0.4的话，则他应该选择如下的种植方案： 方案1种植7亩， 方案2不种植， 方案3种植3亩。 这时，还可算出 年总利润1466.66元 粮食总产量8400公斤 氮素投入量470公斤 油料产量390公斤 总用工量3410小时,2、分层单纯形法 将普通单纯形法加以适当推广，便可用来求解分层多目标线性规划模型。其一般步骤如下： (1)将每一优先层中各目标函数通过评价函数法（如线性加权和）转化为单目标； (2)用单纯形法求解各层目标相应的线性规划问题。设共有L个优先层，则在每张单纯形表上的检验数位置有L行检验数(Cj-CBB-1pj)，将P1层对应的检验数写在最下行，PL层对应的检验数写在最上行,3)检验调整时由下往上，先调P1行（迭代方法同单纯形法），直至P1行检验数满足最优性要求（检验数0），再开始调P2行。若某行负检验数相应下行中有正检验数，则根据“高级优先”的原则，放弃调整该列。这样进行直至无法再调时（全部检验数为非负或虽有某为负，但其下方有正的）为止,三. 目标规划法,第一节提出的目标规划模型(3)已经化为单目标问题。特别，当目