导数应用的题型与方法[共43页]

1、高三数学第二轮复习导数应用的题型与方法秭归县屈原高中 张鸿斌 443600一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值二、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等） ，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。m x x熟记基本导数公式（ c,x(m 为有理数 )，sin x, cos x, e , a ,lnx, log a x 的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的

2、导数。了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号） ，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、复习目标1了解导数的概念，能利用导数定义求导数掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念2熟记基本导数公式（ c,xm (m 为有理数 )，sin x, cos x, e x , a x , lnx, loga x 的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大 (小

3、)值的问题，掌握导数的基本应用3 了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。4了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。四、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面 :1 导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微） ；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线） ；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得

4、简便）等关于 n 次多项式的导数问题属于较难类型。2关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。4曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的如图 31 中的曲线 C是我们熟知的正弦曲线 y=sinx 直线 l1 与曲线 C有惟一公共点 M，但我们不能说

5、直线l 与曲线 C相切； 而直线 l2 尽管与曲线 C有不止一个公1共点，我们还是说直线 l2 是曲线 C 在点 N 处的切线因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线5瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻 ( 或某一位置 ) 的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度6导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推

6、导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据对导数的定义，我们应注意以下三点：(1) x 是自变量 x 在x 处的增量 ( 或改变量 ) 0y(2) 导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果 x0 时，有极限，那么函数xy=f(x) 在点x 处可导或可微，才能得到 f(x) 在点 x0 处的导数0(3) 如果函数 y=f(x) 在点x 处可导，那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连续 ( 由连续函数定义0可知 ) 反之不一定成立例如函数 y=|x| 在点 x=0 处连续，但不可导由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1) 求函数的增量 ( ) ( )y f x

7、0 x f x ；0(2) 求平均变化率y f ( x0 x) f ( x0 )x x；(3) 取极限，得导数7导数的几何意义f y (x0 ) lim 。 x 0 x函数 y=f(x) 在点x 处的导数，就是曲线 y=(x) 在点 P(x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率由0此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1) 求出函数 y=f(x) 在点x 处的导数，即曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f (x0 ) 处的切线的斜0率；(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y( )(y0 f x x x0 0)特别地，如果曲线 y=f(x) 在点 ( , ( )

8、P x0 f x 处的切线平行于 y 轴，这时导数不存，根0据切线定义，可得切线方程为 x x08和（或差）的导数上一节我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数3 2f (x) x x 的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。f ( x)limx 0f ( xx) f (x) xlimx 0(x3x)(xxx)2(3x2x)2 2 3 23x x 3x( x) ( x) 2x x ( x)limx 0xlim (3xx 02 22x 3x x ( x) x)23x 2x3 x x2 x x x 22 3我们不难发现 (x ) 3 2 ( ) ( ) ，即两函数和的导数等于这两函数的

9、导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。9积的导数两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。 （具体过程见课本 P120）说明：（1） (uv) uv；（2）若 c 为常数，则 (cu) =cu。10商的导数两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下：设y f (x)u(x)v(x)yu ( xv(xx)x)u(x)v(x)u(xx)v( x)v(x u(x)v(xx)v(x)x)u(x x) u( x) v( x) u( x) v(x

10、 x) v( x)v(x x)v( x)yu(xx) u( x) v( xv(x)u(x)x x) v( xx)x v(x x)v( x)因为 v(x) 在点 x 处可导，所以它在点 x 处连续，于是 x0 时，v(x+ x)v(x) ，从而y u (x)v( x) u(x)v(lim2x 0 ( x)xvx)即u uv uv y 。2v v说明：（ 1）uvuv； （2）uvuv2vuv学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。11.导数与函数的单调性的关系 f (

11、x) 0与 f ( x)为增函数的关系。f (x) 0 能推出 f ( x)为增函数，但反之不一定。如函数3f (x) x 在 ( , ) 上单调递增，但 f (x) 0 ， f ( x) 0 是 f ( x)为增函数的充分不必要条件。 f ( x) 0时， f (x) 0与 f (x)为增函数的关系。若将 f (x) 0的根作为分界点， 因为规定 f (x) 0 ，即抠去了分界点， 此时f (x) 为增函数，就一定有 f (x) 0。当 f (x) 0时， f ( x) 0 是 f (x)为增函数的充分必要条件。 f ( x) 0与 f ( x)为增函数的关系。f (x)为增函数，一定可以推

12、出 f ( x) 0 ，但反之不一定，因为f (x) 0 ，即为f (x) 0或 f (x) 0 。当函数在某个区间内恒有 f (x) 0，则f (x)为常数，函数不具有单调性。 f (x) 0是 f (x)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知 y f (x)（1）分析 y f (x)的定义域； （2）求导数 y f (x)（

13、3）解不等式 f (x) 0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 y f (x) 在某个区间内可导。函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数 f (x) 在 (a, b)单调递增，在 (b, c)单调递增，又知函数在 f (x) b处连续，因此 f (x) 在 (a, c)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。12. y f

14、 ( x) x a , b（1） f (x) 0恒成立 y f (x)为(a , b) 上对任意 x (a , b) 不等式 f (a) f (x) f (b) 恒成立（2） f (x) 0 恒成立 y f ( x) 在 (a , b) 上对任意 x (a , b)不等式 f (a) f (x) f (b) 恒成立五、注意事项1导数概念的理解2利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对

15、复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。3要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。4求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导） ；（3）把中间变量代回原自变量（一般是 x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系 y=f( )，=f(x)

16、 ；然后将已知函数对中间变量求导 ( y )，中间变量对自变量求导 ( x ) ；最后求 y x ，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。六、范例分析例 12x x 1y f ( x) 在 x 1处可导，则 a bax b x 1思路：2x x 1y f (x) 在 x 1处可导，必连续 lim f (x) 1ax b x 1x 1l i mfx 1(x) a bf (1) 1 a b 1ylimx0 x2ylim a a 2 b 1x 0x例 2已知 f(x) 在 x=a 处可导，且 f(a)=b，求

17、下列极限：（1）f (a 3h)limh 2h0f (a h)； （2）limh 0f(ah2)hf(a) 分析： 在导数定义中，增量 x 的形式是多种多样，但不论 x 选择哪种形式， y 也必须选择相对应的形式。利用函数 f(x) 在 x a 处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）f (a 3h) f (a h) f (a 3h) f (a)lim limh 0 2h 2hh 0f (a) f (a h)limh 0f (a3h) f (a) 2hlimh 0f (a)f2h(ah)32limh 0f (a3h) f 3h(a) 1 2limh 0f

18、(ah)hf(a)32f (a)12f(a)2b2 2f (a h ) f (a) f (a h ) f (a)（2） lim lim hh 20 h 0 hhlimh 0f (a2h)2hf(a)limh 0h f( )a0 0说明： 只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例 3观察(n nxn1x ) ，(sin x) cos x ，(cos x) sin x ，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。f (x x) f (x)解：若 f (x) 为偶函数 f ( x) f (x) 令

19、( )lim f xx 0xf ( x)limx 0f ( xx) f ( x) xlimx 0f(xx)xf(x)limx 0f (x x) f (x)f (x) 可导的偶函数的导函数是奇函数另证： f f ( x) f ( x) ( x) f (x) 可导的偶函数的导函数是奇函数例 4（1）求曲线2xy 在点（ 1，1）处的切线方程；2x 1（2）运动曲线方程为t 12S ，求 t=3 时的速度。2 2tt分析： 根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数 y=f(x) 在 x0 处的导数就是曲线 y=f(x) 在点 ( , )p x0 y 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对

20、时间的导数。0解：（1）2 22( x 1) 2x 2x 2 2xy ，2 2 2 2(x 1) (x 1)2 20y|x 1 ，即曲线在点（ 1，1）处的切线斜率 k=04因此曲线2xy 在（1，1）处的切线方程为 y=12x 1t 12（2） (2 )S 2 ttt22t(t4t1)4t12t23tt 4 1 2 26S |t 3 12 11 。 9 27 27例 5 求下列函数单调区间13 x x2（1） 2 5y f (x) x 22x 1（2） yx2k（3） xyx(k 0)2（4） 2 lny x2 x2解：（1） 3 2y x (3x 2)( x 1) x ( , ) (1,

21、) 时 y 032 2 2x ( , 1) y 0 ( , ) ， (1, ) ( ,1)3 3 3（2）2 1xy ( , 0) ，(0 , )2x2k（3） y 12x x ( , k) (k , ) y 0 x ( k , 0) (0 , k) y 0 ( , k) ，(k , ) ( k , 0) ，(0 , k)（4）y 4x1x24xx1定义域为 (0 , )1 1x (0 , ) y 0 x ( , ) y 02 2例 6 求证下列不等式（1）2 2x xx ln( 1 x) x x (0 , )2 2(1 x)（2）2xsin x x (0 , ) 2（3） x sin x t

22、an x x )x (0 ,22 2x 1 x 1证：（1） )f ( x) ln( 1 x) (x f (0) 0 f (x) 1 x 02 1 x x 1 y f (x)为 (0 , )上 x (0 , ) f (x) 0 恒成立ln( 12 2x xx) x g(x) x l n1( x) g(0) 0 2 2(1 x)g (x) 124x4 (14xx)22x211 x2x4(122x)02x g( x) 在 (0 , )上 x (0 , ) ln(1 ) 0 x x 恒成立2(1 x)（2）原式sinxx 2令 f (x) sin x / xx (0 , ) cosx 0 x t a

23、 nx 0 2cos x(x tan x)f (x) x (0 , ) f (x) 0 (0 , )2x 2 22f ( ) 2sin x2x（3）令 f (x) tan x 2x sin x f (0) 0f ( x)2secx 2 cos x(1 cosx)(cos 2cos x sinx2x)x (0 , ) f (x) 0 (0 , )2 2 tan x x x sin x例 7 利用导数求和：（1） ；（2） 。分析： 这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式(n nxn 1x ) ，可联想到它们是另外一个和式的导数， 利用导数运算可使问题的解决

24、更加简捷。解：（1）当 x=1 时，；当 x1时， ，两边都是关于 x 的函数，求导得即（2） ，两边都是关于 x 的函数，求导得 。令 x=1 得，即 。例 8求满足条件的 a（1）使 y sin x ax为R 上增函数（2）使 y x3 ax a为R 上 3 x2 x （3）使 ( ) 5f x ax为R 上解：（1） y cos x a a 1a 1时y s i nx x 也成立 a 1 , )（2） y 3x2 a a 0 a 0 时3y x 也成立 a 0 , )1（3） , )a 3例 9（1） x (0 , ) 求证1 x 1lnx 1 x1x（2） n N n 2 求证1213

25、1nln n 112n111（1）证： 令1 t x 0 t 1xx1t 11原不等式 ln 11 t tt令 f (t) t 1 ln t f (t) 11tt (1 , ) f (t ) 0 t (1, ) f (t) f (t) f (1) 0 t 1 ln t 令1g(t) ln t 1 tg (t)1t12tt 12tt (1 , ) g (t) 0 t (1, ) g(t ) g(t) g (1) 0 1ln t 1 t1 x 1 lnx 1 x1x（2）令 x 1 , 2 n 1 上式也成立将各式相加12131nln21ln32lgn 11n 1 2 n11即12131nln n

26、 112n11例 10（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类 19）设a 0，求函数 f ( x) x ln( x a)( x (0, ) 的单调区间 .分析： 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 .1 1解： f ( x) (x 0) .2 x x a2 a x a2当 a 0, x 0 时 ( ) 0 (2 4) 0f x x .f (x) 02 a x a 2x (2 4)0 2 a a（i）当 a 1时，对所有 x 0，有 (2 4) 0 x .2即 f (x) 0，此时 f (x) 在 (0, )内单调递增 . 2 a

27、x a（ii ）当 a 1时，对 x 1，有 (2 4) 0 x ，2即 f (x) 0，此时 f (x) 在（0，1）内单调递增，又知函数 f ( x) 在 x=1 处连续，因此，函数 f ( x) 在（0，+ ）内单调递增 2 a x a2（iii ）当 0 a 1时，令 f (x) 0 ，即 (2 4) 0 x .解得 x 2 a 2 1 a ,或x 2 a 2 1 a .因此，函数 f (x) 在区间 ( 0,2 a 2 1 a) 内单调递增，在区间 (2 a 2 1 a, )内也单调递增 .2 a x a2令 ( ) 0, (2 4) 0f x 即x ，解得 2 a 2 1 a x

28、2 a 2 1 a .因此，函数 f (x) 在区间（2 a - 2 1 a ,2 a 2 1 a) 内单调递减 .说明： 本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册 P148）：设函数 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f ( x) 0 ，则 f (x) 为增函数；如果f (x) 0 ，则 f (x) 为减函数。如果 f ( x) 0 ，则 f (x) 为常数。2例 11 已知抛物线 4y x 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点，过 A 、B 两点的切线分别为l 和l2 。1（1）求 A、B 两点的坐标；（2

29、）求直线l 与l2 的夹角。1分析： 理解导数的几何意义是解决本例的关键。解 （1）由方程组y2x4,y x 2,解得 A(-2 ，0)，B(3 ，5)（2）由 y=2x，则 | 4y ， y|x 3 6。设两直线的夹角为 ，根据两直线的x 2夹角公式，tan4 61 ( 4) 61023所以arctan1023说明： 本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。例 12（2001 年天津卷）设 a 0，xe af (x) 是 R上的偶函数。xa e（I）求 a 的值；（II）证明 f (x) 在(0, ) 上是增函数。解：（I）依题意，对一切

30、 x R有 f ( x) f (x) ，即xe a 1aexxaeaex，1 1x a ) 0 对一切 x R成立，( )(e xa e12由此得到 0a ， a 1 ，a又 a 0 ， a 1。（II ）证明：由x e xf (x) e ，得x e xx e2xf (x) e e ( 1) ，当 x (0, ) 时，有 ( 1) 0e ，此时 f ( x) 0 。x e2x f (x) 在 (0, )上是增函数。2例 13（2000 年全国、天津卷）设函数 f (x) x 1 ax，其中 a 0 。（I）解不等式 f (x) 1；（II）证明：当 a 1时，函数 f (x) 在区间 0, )

31、 上是单调函数。解 1：（I）分类讨论解无理不等式（略） 。（II）作差比较（略） 。x解 2： af (x)2x 1x（i）当 a 1时，有 a12x 1，此时 f (x) 0 ，函数 f (x) 在区间 ( , ) 上是单调递减函数。但 f (0) 1，因此，当且仅当 x 0时， f (x) 1。（ii ）当 0 a 1时，解不等式 f (x) 0，得a ax ， f (x) 在区间 ( , 2 21 a 1 a上是单调递减函数。解方程 f (x) 1，得 x 0或2ax ，21 a0a1 a2a2 12a，当且仅当02ax 时， f ( x) 1，21 a综上，（I）当 0 a 1时，所

32、给不等式的解集为：2ax | 0 x ；21 a当 a 1时，所给不等式的解集为： x | x 0 。（II ）当且仅当 a 1时，函数 f ( x) 在区间 0, ) 上时单调函数。例 14（2002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷理科类 20）1 ax已知 a 0 ，函数 , (0, ),f (x) x 设x20 x1 ，记曲线 y f ( x) 在点aM (x1 f x1 处的切线为 l 。, ( )（）求 l 的方程；（）设l 与 x 轴的交点为 (x2 ,0) ，证明： 10 x2 若 a1x1 ，则ax1x21a解：（1） f (x) 的导数1f (x) ，由此得切线 l

33、 的方程2x1 ax 11 x xy ( ) ，12x x1 1（2）依题得，切线方程中令 y 0 ，得x2 x (1 ax ) x x1(2 ax1) ，其中1 1 1 20 x1 ， a（）由20 x1 ， x2 x1 (2 ax1 ) ，有 x2 0 ，及a1 12x a(x )2 ，1a a10 x2 ，当且仅当a1x1 时，a 12 。 ax（）当1x1 时， ax1 1，因此， x2 x1(2 ax1 ) x1 ，且由（） ，a 12 ， ax所以1x x1 。2a例 15（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷 21）已知 a 0,n 为正整数 .（）设n y n x

34、a n 1y (x a) ,证明 ( ) ；n n（）设 fn (x) x (x a) , 对任意n a,证明fn 1 (n 1) (n 1) fn (n).分析： 本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。证明 ：（）因为(xnn Cka)nk 0n xk k( a) ，n所以 1k n k ky kCn ( a) xnnk 1 n k k 1 nCn ( a) x n(x a)11.k 0 k 0（）对函数n nfn (x) x (x a) 求导数:fn(x)nnx1n(xna)1,所以fn(n) nnn1(nna)1.当x a 0 ,时 f (x) 0.

35、n当xa时,nf (x) x (x a)nn是关于x的增函数.因此,当n a时,(n 1)n(n1na)nn(na)nn n n n ( 1) ( 1)( 1) ( 1 ) ( 1)( ( ) )fn n n n n a n n n a1nn 1 n f n (n 1)( n n(n a) ) ( 1) n ( ).即对任意 n a, n 1 (n 1) (n 1) fn ( n).f七、强化训练1设函数 f(x) 在 x0 处可导，则limx 0f(x0x) f x(x0)等于 （ ）A f ( x0 ) B f ( x0 ) C f ( x0 ) D f ( x0 )f (x 2 x) f

36、 ( x )0 02若 lim 1x 0 x3，则 ( )f x 等于 （ ）0A23B32C3 D233曲线 y x 3x上切线平行于 x 轴的点的坐标是 （ ）A（-1，2） B（1，-2） C（1，2） D（-1，2）或（ 1，-2）4若函数 f(x) 的导数为 f(x)=-sinx ，则函数图像在点 （4，（f 4）处的切线的倾斜角为 （ ）A90 B0 C锐角 D钝角3 x x25函数 y 2x 3 12 5 在0，3上的最大值、最小值分别是 （ ）A 5，15 B5，4 C4，15 D5， 166一直线运动的物体，从时间 t 到 t+t 时，物体的位移为 s，那么A从时间 t 到

37、t+t 时，物体的平均速度B时间 t 时该物体的瞬时速度slim 为（ ）t 0tC当时间为 t 时该物体的速度D从时间 t 到 t+t 时位移的平均变化率3 x 27关于函数 f (x) 2x 6 7，下列说法不正确的是 （ ）A在区间（ ，0）内， f ( x) 为增函数B在区间（ 0，2）内， f (x) 为减函数C在区间（ 2， ）内， f (x) 为增函数D在区间（ ，0） (2, ) 内， f ( x) 为增函数8对任意 x，有3f (x) 4x ，f(1)=-1 ，则此函数为（ ）A4 4 4 4f (x) x B f ( x) x 2 C f (x) x 1 D f (x) x

38、 29函数 y=2x3-3x2-12x+5 在0,3 上的最大值与最小值分别是 （ ）A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -1610设f(x) 在 x0处可导，下列式子中与 f (x0 ) 相等的是 （ ）（1）f (x ) f0limx 20(x 2 x)0x； （2）limx 0f ( x0x)xf(x0x)；（3）limx 0f (x 2 x) f0x(x x)0（4）limx 0f(x x)0fx(x02x)。A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（ 1）（2）（3）（4）11（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16

39、）f( x )是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令 g（ x ）=af（ x ）+b，则下列关于函数 g（ x）的叙述正确的是（ ）A 若 a0,则函数 g（ x ）的图象关于原点对称 .B若 a=1， 2b0,则方程 g（ x ）=0 有大于 2 的实根 .C若 a0,b=2,则方程 g（ x ）=0 有两个实根 .D若 a 1,b2,则方程 g（ x ）=0 有三个实根 .12若函数 f(x) 在点 x0处的导数存在，则它所对应的曲线在点 (x0, f (x0)处的切线方程是_ 。113设f (x) x ，则它与 x轴交点处的切线的方程为_。x14设f ( x0 ) 3，则li

40、mh 0f (x h)0hf(x03h)_。3 x 215垂直于直线2x-6y+1=0 ，且与曲线y x 3 5 相切的直线的方程是 _16已知曲线yx1x，则y|x 1 _。 2 x 的单调递增区间是17 y=x e3 3x2 13处的切线方程为_。 18曲线1 219 P 是抛物线y x 垂直，则过P 点y x 上的点，若过点 P 的切线方程与直线12 处的切线方程是 _。220在抛物线y x 上依次取两点，它们的横坐标分别为 x1 1， x2 3，若抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行，则P 点的坐标为_。321曲线f (x) x 在点 A处的切线的斜率为3，求该曲线在 A 点处

41、的切线方程。222在抛物线y x 上求一点 P，使过点 P 的切线和直线3x-y+1=0 的夹角为4。23判断函数x(x 0)f (x) 在 x=0处是否可导。 x(x 0)24求经过点（ 2，0）且与曲线y1x相切的直线方程。25求曲线y=xcosx 在x处的切线方程。226已知函数 f(x)=x2+ax+b， g(x)=x2+cx+d. 若 f(2x+1)=4g(x) ，且 fx=g(x) ，f(5)=30 ，求 g(4).227已知曲线C1 : y x 与2C2 : y (x 2) 。直线l 与 C1、C2 都相切， 求直线l 的方程。28设f(x)=(x-1)(x-2) (x-100)

42、 ，求 f (1)。 1 129求曲线2 2 (3x x ) 16y 在点 (1, )处的切线方程。30求证方程 x lg x 1在区间(2 , 3) 内有且仅有一个实根31 a 、 b、 x 、 y 均为正数 且 a b 1 n N n 1求证：n by n ax byax ( )n32（1）求函数 y x 在 x=1处的导数；2（2）求函数 y x ax b（a、b为常数）的导数。33证明：如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连续。34（2002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷文史类 21）3 a x已知 a 0, 函 数 f ( x

43、) x , 0, ) ，设 x1 0 ， 记曲线 y f (x) 在点M (x1, f x1 处的切线为 l 。( )（）求 l 的方程；1 1 1（） 设l 与 x 轴的交点为 (x2 ,0) ，证明： x 3 ；若 x 3 ，则 3 2 1 2 a 1 a a x x 。八、参考答案15 CBDCA ； 610 BDBAB ； 11 B12 y f (x0 ) f (x0)( x x0 ) 13y=2(x-1) 或 y=2(x+1)14-6 153x+y+6=0 16123 y17(-,-2)与(0,+ ) 18 x 2 1 0192x-y-1=0 20（2，4）21由导数定义求得2f (

44、 x) 3x ，2令3x 3，则 x=1。当 x=1 时，切点为（1，1），所以该曲线在 （1，1）处的切线方程为 y-1=3(x-1) 即 3x-y-2=0 ；当 x=-1 时，则切点坐标为 （-1，-1），所以该曲线在 （-1，-1）处的切线方程为 y+1=3(x+1)即 3x-y+2=0 。22由导数定义得 f (x)=2，x 设曲线上 P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ，则该点处切线的斜率为2x 30kp 2x ，根据夹角公式有 101 2x 30解得 1x 或01x ， 由 x0 1，得 y0 1；04由11 yx ，得 0 16041 1； 则 P（-1，1）或 ) P( ,

45、 。4 16y f (0 x) f (0) x 023 lim lim lim 1， x x 0 x 00 x x xy f (0 x) f (0) xlim lim limx x0 xx 0x x 001，y ylim lim ，x 0 x 0x xylim 不存在。x 0x函数 f(x) 在 x=0 处不可导。24可以验证点（ 2，0）不在曲线上，故设切点为 P(x0 , y0 ) 。1 1由y|xx x x x0 0lim limx0 0 x x (x x) xx x 00 0limx 0x0(x01x)12x0，得所求直线方程为1( )y y0 x x 。0 2x02由点（ 2，0）在直线上，得 0 0x0 y 2 x ，再由 ( , )P x0 y 在曲线上，得 x0 y0 1，0联立可解得 1x ， y0 1。所求直线方程为 x+y-2=0