传输线波动方程及其解

1、本节的主要内容,2.2.1 传输线波动方程 建立双导线传输线的波动方程 2.2.2 传输线波动方程的解 求波动方程的解 求解相速及相移常数的表达式 2.2.3 传输线的特性阻抗 求解均匀无耗传输线的特性阻抗表达式 2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,2.2 传输线波动方程及其解,2.2.1 传输线波动方程,双线传输线：两根铜导线，条件,u(z,t),i(z,t,u(z+z,t),i(z+i,t,z,双导线传输线,z的集总等效电路,R = 串联电阻 （/m,L = 串联电感 （H/m,G = 并联电导 （S/m,C = 并联电容 （F/m,导体损耗,介质损耗,2.2.1 传输线波动方程,返回,

2、传输线l的集总元件电路等效,2.2.1 传输线波动方程,对于z的集总元件电路等效,由Kirchhoffs 电压定律,由Kirchhoffs 电流定律,一） 时域传输线方程,图示,2-2,2-1,2.2.1 传输线波动方程,分布参数电路的偏微分方程 时域传输线方程 电报方程,2.2.1 传输线波动方程,return,二）频域传输线方程,对于时谐电磁波,带入方程 (2-3) 和 (2-4)(电报方程,2.2.1 传输线波动方程,是复传播常数，是频率的函数,公式（26）得,2.2.1 传输线波动方程,计算,项表示 +z 方向传播的电压波,U1为幅度, 为相位项,项表示 -z 方向传播的电压波,U2为

3、幅度, 为相位项,为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数； 叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/m,2.2.2 传输线波动方程的解,在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感和电容来说很小，即RL，GC，故,通解为,其中U1U2I1I2为电压和电流的复振幅，是待定积分常数，由边界条件（这里是传输线始端和终端的电压和电流）确定,分别表示相应的相位,沿+z方向传播的波，相位是滞后的,沿-z方向传播的波，相位是超前的,2.2.2 传输线波动方程的解,2-23,2-24,在无界介质中，TEM波的电场和磁场之比等于,波阻抗,均匀无耗传输线上的行波电

4、压和行波电流之比,均匀无耗传输线的特性阻抗 Zc,描述TEM波,描述均匀无耗传输线,2.2.3 传输线的特性阻抗,即,2-23,2-24,将式(2-23)和式(2-24)重写如下,将上两式代入式,2.2.3 传输线的特性阻抗,得到,0,上式对任何的z值都应成立，因此必须有,由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个,因此式(2-23)和式(2-24)可写为,2-12,2-13,即：,2.2.3 传输线的特性阻抗,返回,U1是正向行波电压U+(z)的复振幅，I1是正向行波电流I+(z)的复振幅，U1/I1的值具有阻抗的量纲； U2是反向行波电压U-(z)的复振幅，I2是反向

5、行波电流I-(z)的复振幅。U2/I2的值也具有阻抗的量纲。 因此定义一个阻抗,2-26,2.2.3 传输线的特性阻抗,均匀无耗传输线的特性阻抗 它是一个实数（纯电阻），单位为（欧姆,注意：特性阻抗的单位虽然为，但它并不表示损耗，而是反映传输线在行波状态下电压与电流之间关系的一个量，其值仅取决于传输线的L和C，即所填充的介质和线的横向尺寸，而与线的长度无关，而且，可近似地认为与频率无关,将表2.2-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(2-26）中，得,2-27,式中，d为导体直径，D为两导体之间的距离， 是电磁波在均 匀、线性、各项同性无界介质 中的波阻抗,2.2.3 传输线的特性阻抗,

6、举例：双导线特性阻抗的计算,自由空间中,F m-1,H m-1,则波阻抗,相对介电常数为 ，相对导磁率为 ，则由式(2-27)可得,2.2.3 传输线的特性阻抗,一般介质中,特性阻抗,若Dd，则有,双导线传输线的特性阻抗一般约在250-700之间,同轴线本质上也是双导线传输线，利用表2-1可求得其特性阻抗为,2-28,式中，a为同轴线内导体的外半径，b为外导体的内半径。 常用的同轴线的特性阻抗多为50或75 ， 个别情况也有用60 或其它值的,2.2.3 传输线的特性阻抗,未解决的问题,确定常数A和B,三.均匀无耗传输线的边界条件,一.传输线方程及其解 正向行波、反相行波、电磁波的叠加性 电压

7、波、电流波 =+j的意义，无耗时： 相速、等相面 二. 特性阻抗的概念,小结,接有任意负载的均匀无耗传输线,信号源 电动势,内阻抗,负载,特性阻抗,说明：如图先把坐标原点取在线的始端，坐标用d表示，求出电压和电流表达式,前面得出的U(z)和I(z,由边界条件确定常数U1和U2,2-29,2-30,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,然后再换算为坐标原点取在终端（负载处），坐标为z的表示式,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,可以分为以下3种情况： 1.已知传输线的终端电压和电流,2.已知传输线始端电压和电流,3.已知信号源的电动势、内阻抗和负载阻抗,1. 已知传输线终端电压U和电流I (重

8、点,注意：坐标原点取在线的终端（负载处），用 z 做坐标变量,由2.2节求得的线上任意位置U(z) 和I(z)，坐标原点在负载端时U(z)和I(z)为,2-31,2-32,式中， U1ejz项：随着z的增加相位是超前的，说明波是 由始端(信号源）向终端传播的，称为入射波,1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,U2e-jz项：随着z的增加相位是滞后的，说明波是由终端向始端传播的 ，称为反射波,终端电压和电流为,将U1和U2代入到式(2-31) ，得,或写为,2-33,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,解方程组得,令,表示传输线上任意位置z处的反射波电压,表示传输线上终端负载处z=0的入射波电

9、压,则U(z)可表示为,2-34,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,表示传输线上任意位置z处的入射波电压,表示传输线上终端负载处z=0的反射波电压,式中,传输线上任意位置z处入射波电流,传输线上任意位置z处反射波电流,终端负载z=0处入射波电流,终端负载z=0处反射波电流,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,同理，对于电流I(z)则可表示为,2-35,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,利用三角函数公式，电压U(z)和电流I(z)还可写为,2-36,2-37,返回,上一节得到的电压电流表达式,则始端电压和电流可写为,2. 已知传输线始端电压和电流时的表示式,注意：同样，坐标原点取在线的

10、始端（信号源处），坐标用d表示,2-29,2-30,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,解方程组得,将A1和A2代入到式(2-29)和式(2-30)中，得,利用三角函数,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,可将U(d)和I(d)写为,2-38,2-39,或,2-40,2-41,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,变换为以终端为坐标原点的表示式，令z=l-d,3. 已知信号源的电动势Eg、内阻抗Zg和负载Z,由式（2-29)和式（2-30)，在始端的电压和电流为,注意：坐标原点取在线的始端（信号源处），坐标用d表示,在终端负载处的电压和电流为,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,解方程组得,将U1和U2代回到式（2-29)和式（2-30)中，得,2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件,2-42,2-4