2015江苏高考热身卷数学一

1、 丁蜀高级中学届高考数学热身卷（二）2015 高考，是一场持久战，只有坚持到最后的人才能笑到最后； 高考，是一场心理战的拼搏，谁心态好谁就是黑马； 高考，是一场大师级的博弈，时刻保持清醒的头脑才能取得最后的胜利！ 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上小题，每小题一、填空题：本大题共145分，共7022 B= x0，xR，则A 已知集合Ax=|x1，xR)，B=x|x1z z，则= 2 已知复数z满足 =1+i(i是虚数单位)i名应聘者笔试试卷，统计他 某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中203们的成绩如下表90,95)85,90)75,80)80,85)70,75)分数60

2、,65)65,70)人1613126人8由此可估20名应聘者中达分及以上的 开始 则输出S的值是 ，4 如图是一个算法流程图，若输入n的值是6 已知4本不同的教科书中有本书中随机取本是数学书，从这425输入 2本，则所取的两本书中至少有一本是数学书的概率是 一个正四棱锥的底面边长和高都为6 2，则该正四棱锥的侧面积为02x2 =1的左准线为准线的抛物线方程是 7顶点在原点且以双曲线y 3n 1 ，且sin2=，则sin()的值为 8若(0，)44输+2222y x+t)|9设集合A=(x，yx)|(+y+2x1=0，B=(x，y ，则实数?Bt的取值范围为 若结1n?5a?aa?a?a 10、

3、正项等比数列满足：，1432na?a 。的最小值为则 65) 题(第42，x12x0， ? 0上的奇函数11已知定义在Rf(x)，满足当x时，f(x)=?3，1xx， 3x? 2上有个不同的零点，9c(x)在闭区间2，)=若函数g(xf(fC 则实数c的取值范围为 ruuuruuu 的值为ABGA的重心，GB，则 12如图，点G为ABC6?BC?ACx，1 e， 0x?3e 2mx 已知函数f()=有个不同若方程f(x)=13G x3ex+，1?22x1 ，则的取值范围是 x，的解xx，且 B A 2112)(xf212第（的最大，则，14已知实数，cos2+cos2+cos2=1sin+si

4、n+sin=0tan 值是 解答时应写出文字说明、 内作答6二、解答题：本大题共小题，共90分请在答题卡指定区域 证明过程或演算步骤 分) 14(15本小题满分2 ABS，且的面积为AB已知CS2=BABC ，S）若2的大小；A）求角（ 1（=1，求5=BC的最短边的长ABC P) 分本小题满分1416( PC，底面ABCD如图四棱锥P-ABCD中，是直角梯形，PB ；PCD ABC=60，DC=1，AD=3 （1）求证：AB平面，ABDCAB （2）求证：PABC DC 题）（第16) 1417(分本小题满分，其中CD=8km如图，某城市有一个五边形的地下污水管网主通道ABCDE，四边形BC

5、DE是矩形，的B，E是以BE为底边的等腰三角形，AB=5km现欲在BC=3km；ABA 的地下水“直线型”中间点P处建地下污水处理中心，为此要过点P建一个 或CD上MN接通主管道，其中接口处M点在矩形BCDE的边BC通NP EB 和NE的长；=，用表示BM（1）若点M在边BC上，设BPM的周长？请平分主通道ABCDE）点M设置在哪些地方，能使点M，N（M 说明理由Q DC 17第( ) 16分(本小题满分1y 22yx如图， 0)bxOy在平面直角坐标系中，已知椭圆E：=1(A2bD 212与AOA(，)，射线的另一上E椭圆在椭圆的离心率，点E33OxP 与椭圆BP在椭圆t)内部，射线AP，点

6、为B，点P(4t，的交ECB D点分别为C， 另一交的斜率为定值2）求证：直线CD （1）（ E的方程求椭圆 )(本小题满分16分19x的图)f(xg=(x)的图象与y=xR)（1）求函数f(x)的极小值；（2）已知函数(已知函数fx)=(x+1)ey (交y=m=f(x)的图象与直线（f(x)g(x)；3）若函数y2象关于直线x=对称，证明：当x2时， 0f(x)，于AB两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：00 ) 16分20(本小题满分?2 ，r是常数，+qnr，其中p，q+的前设数列an项和为S，且aS=pnNn?nnnn a的通项公式；2，r=，求数列=51（）若数列a是等差数列且p

7、，q=13nn =0；pq+r3（2）求证：数列a为等差数列的充要条件是nn11 1)=1+ ，Q(T=是首项为若r=0，且a1的等差数列，设Tininaa22+ii1=1i)x(都成立，若存在，求出，对一切正整数=1QQnf)(试问：是否存在非零函数fx，使得()Qnfn21 的解析式；否则，请说明理由 附加题?MTT对应的变换矩阵是角的旋转变换，对应的变换矩阵是变换1是逆时针旋转；变换1122T(2,1)P11PP? ，求点经过变换的坐标；（1）点得到点.?M1?210?2xy?TT 所得到曲线的方程，再经过变换先经过变换（2）求曲线.12 轴正半轴为极轴，曲O为极点，以x、极坐标系与直角

8、坐标系2xOy有相同的长度单位，以原点 的参数方程为为参数）.的极坐标方程为2cos，曲线C线C?,tcosx?2lt(?sinty?变化时，设曲线）若，当的公共点的直角坐标； （12）当与时，求曲线CC?2l ?42C与C的公共点为A、B，试求线段AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线 21 3如图所示，已知正方形ABCD所在平面垂直于矩形ACEF所在的平面，AB2，AF1 （1）求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值； （2）M为AB的中点，试在线段EF上找一点P，使平面PCD与平面PCM相互垂直 *naa)?n(的正整数中完全平方数的个数，即当表示小于等于4设数列N，满足：nn

9、*aL?akS?aa)?(n?(k22 ，记N N时，kk?2?k?nnnn21nn880SS?,a的值；若不存在，说明，若存在，求2）是否存在正整数使（1（）求的值；n8888理由 321?X=1已知矩阵A=X满足X A若矩阵，试求矩阵?110 ：C轴的正半轴重合，曲线O与直角坐标系的原点重合，极轴与x2已知极坐标系的极点1?2?,2tx?2?cos(?)与曲线C OB：OABARt（）交于、两点求证：?2 4y?2t? 作答解答应写纸指定区域内20分请在答题第22题、第23题，每题10分，共计【必做题】 出文字说明、证明过程或演算步骤CDBCDABCABCD?QP在棱中，22（本小题满分1

10、0分）如图，在正方体的中点，是棱111114A?CQ?P?CDC?DQ 的余弦值为，若二面角求：上，且1 D 1 17 ?C 1）实数的值；11 QC与BP夹角的余弦值（2）异面直线11AD Q C B P ?ab2?0,?sinb,aab?，23（本小题满分10分）已知，其中为正整数且? 222b?a?n22?ncos?ab?A. na,b表示A； （1）试用1An都为整数 ，2（）求证：对一切正整数n a?910088?Q81?； 1解：（） ，故 （2分） 88 8?516?72?S?(2k?1)k?9?8?444 （4分）. 881k?k5)1)(4?k(kk?2?(2i?1)iS?k

11、?2n?k， ）首先当 时，（7分） （2n61i?10k(k?1)(4k?5)10?11?45?1)i?SS?825(2i，从而可得 120210?210?661?i880?825S?S?5a?825?5?11?8805?. ，故 而（10分） 12112012511 120?1?. M M?,? 解：(1) （2分） ?112110? 5分）所以点P(2,1)在T作用下的点P的坐标是P(-1,2). （11?1?,?M?MM 分）（7 (2)?1201?xx?0, 设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是?yy?0xx? ?0?M, ,即则,也就是?yy?02yy?x? 10分） 所

12、求曲线的方程是所以, （ . CE,CBCDC 为原点，方向为轴建系，1简答：（）以ruuuruuu2,0)?BD(2,?2,1),?(0,DFACEF 平面的法向量 ， 分）2（ ruuuuruu10?DF|cos,?BD|, 510 5分） （ 所以直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为 . 5ru)tm?(0,1,?2)P(t,t,1),(0?t?PCD ）设的一个法向量为，平面，（2r)t?(?2,1,nPCM （7分） 平面 的一个法向量为 ， rur0?n?mPCM?PCDQ1t?EFP，平面平面 （，即10为，解得分）的中点. 年江苏高考热身卷（一）2015 参考答案及评分标准5

13、2 x5； 7y；=6 340； 418； 5； 64 ；x1 |1x0 21+i； 616 0,)； 14；1 102 72； 11(2,2)；12； 1382； 9t3或te4 C所对的边分别为a，b，c，15【解】（1）法一：设角，122 分 2 =因为2SA2BABCacsinB=caccosB， 22 sinC，sinAsinBsinC=sinsinCAcosB由正弦定理化得 分Bcos， 4A三角形中sinC=sin(A+B)0，即有sinAsinB= sin(+B)sinA sinB0，得tanA=1，B亦即sinAsin=cosAsinB，由 分 7 A(0因为A，)，即= 4

14、 ，C所对的边分别为a，b，c，法二：设角AB223 ACABBCABABBCABABBCBA因为AB=+=(+)=， 分 2 5分=cosA， 所以2S=ABBABC可化为bcsinA=bccosA，即sinA 7分 A因为(0，)，即A= 41 分 9 S，=1，所以bcsinA=1，即bc =22， （2）因为a =5 222222 分 11 b +c =9 由余弦定理得a = b + c，得2bccosA，=1b?，b2=2=22，bc 13分 得由或 ?22=1+c=9cbc2=2? 分 14 所以最短边的长为1 ，?平面PCD）因为ABCD，AB16【证】（1 ，?平面PCDCD

15、6分 所以AB平面PCD E点，点作AB的垂线交AB于（2）过C =DC=1，AD3因为ABCD是直角梯形，ABDC，ABC=60， AC易得P7 =CBAB=2， 分 PMM，连接AM，取BC中点AB PB=PC，因为，P MDC BC，所以PM 题）（第16P ，因为AC =AB 9分 AM所以BC， ，PM=M又因为AM 12分 平面AM，PM?PAM， 13分 AM所以BC平面P 分 14 BCPA ，所以P?因为AP平面AM 解：17（1）当点上，BCM在边3 分 =4tantan=中，在(0tan=设BPM)RtBPMBMBP 2 4 43A ；，其中sin=，cos=在PEN中，

16、不妨设PEN= 55N NEPE 则 =，P E B )sinsin(20tan4sin20sinM ； 6分 = 即NE= = +3sin(+4tan)4sin+3cosQ D C (第17题) BC上，（2）若点M在边 =2；DE+EN，得BMEN由BM+AB+AN=MC+CD+10tanA 2tan即=1； +34tanN 2 3=0，8tan8tan所以P E B 1023102+ =解得tan=0或tan， 444Q D C M 3 )(第17题 矛盾，所以均不符合题意； 9分与0tan 4 CQ上；CD中点为Q，由对称性，不妨设点M在线段当点M在边CD上时，令3 =QPtan=3t

17、an=(0tan)，在RtQPM中，QM设QPM 4ANPA43 ，cos=；=AN中，设PAE=，其中sin=，在P sin)55sin(15tanAN3sin15sinPA ；AN= 由= ，得 +4+4cos3tan)3sinsin()sinsin(15tan =； EN，得AN=MQ；即3tanMQ由MC+CB+BA+AN=+QD+DE+ +43tan22 =0，即3tan，tan+4tan=5tan3tan 所以 1 12分 或所以tan=0tan=，符合题意 3 Q处；，M位于CD中点当tan=0，CM=41 处也可；C距离为5km3，M在到C距离为km处；由对称，M在到=4当ta

18、n=，CM1=3 3 或5km处时，Q处，或M在到C的距离为3km中点答：当M位于CD 14分的周长 NM，平分总通道ABCDE4122b =1 A点坐标代入得+18解：（1）， = 1，且 222b9a92a122 b=1=解得a， ， 2 ； 6分22=1 所以椭圆 x的方程为：E+2y （2）设， ，B(x，(x， y)yC(x， y)P(x，y)D)y (x，A24043032112222?1?y2?1xxy?2， ， ， 则 8分 0x?4y?212100uuuruuuruuuruuur?，其中 又设 ， PDPC?AP?BPR，?2121?1)x?x(?101x?， ? ?3?12

19、2?12yx?并整理得，代入椭圆 则 ?1)y?(y?101， y? ?3?1222222?y)x?22y)?(2(?1)y(x?2y1)()?(xx?， 1110001011122?1)?2y2yy)?2(x?1)(xx?， 12 从而有 分 1000110122?12yy)?2(xx(?1)(x?2y，同理可得， 1002022022?1)?2?y)(x0?(， 得， 14分 021022?1y?x?2，,所以 因为 ?0021 从而，故 16分 CDAB/2?k?kABCDxxx?，则， （1） 1，令分 19【解】2)e?fe(x)?(?(1?x)ex2?x0)?f(x?，的变化情况如

20、下表：变化时， 当)(x)xff(x x ),?(?(?,?2)2 -2 ? ? )(xf ?0 )xf(减 增 极小值 ?2 在所以函数处取得极小值 3分 e?2)?f(2x?)x(f（2）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， )xy?g(2?x)(xfy?4?x)e?3?xf(?4?x)?(?g(x) 所以 4分 当时， 2x?x?4?x)e?x(3)g(x?(x?1)e?f(Fx)?(x)，记 x?4?x?)(?x?2)(ee?F(x)， 5分 1x?4?xx令上是单调增的， ，可知在?eee?h(x)?)xh()?2(?, x?4ex?x?4? 又，所以，所以0e)(x)?(x?2

21、)(e?F?0?h(?2)h(x)?02?x? 分 8 于是函数在区间 上是增函数 2?,?)xF(2?2 因为，所以，当时，0?e?)?(?eF(?2)0?F(?2)F(x)?2?x9 因此 )(xf(x)?g 分 ）不妨设，）方法一：设，由（1（3x,m)?2?xA(x)mx,B(2112 ，又，由（2）得)?g(xf(?xf(x)?g(x)1111 ，即，所以)4?x(x)?f(f(x)?f(?4?x)?f1121 ，而，又因为，所以2x?x?2x?2?4211 分 14 单调递增，所以且在， x?x?4)(?2,?f(x12x?x21，2? 所以，即2?x 20? 分 16 所以 0(

22、x)?f0 且，方法二：不妨设， xA(x,m)x?),mB(x2112xx?21?2? ，即证，只要证(*) ，即证要证，xx?42)(x?0x?f12 200 ）及， ，由（1 若m)?(x2)(x?x?2)?0)f(xf2112 与得矛盾； x?xxx?2121 ，若，由（1）及m)?(fx)?(x?2)(x2)?0f(x2211 12分 矛盾； 与 得 xx?x?x2211 不妨设由可知x?0?x?2?(x2)(x2)2121 ，又由（2）得)g)x4()(?)(fxgxf?(x1111 所以，即， )?x?f(?4?x)4f(x)f(x)?f(?1112又因为，而， 2?2?xx?2

23、1且f(x)在单调递增，所以,所以(*)式成立16分 x?x?4)2,?(?122， 1）方法一：由题意，20【解】（2nn?13a?S?5nnn(n?1)2， 设数列a的公差为d，则有 2?13nd?5a?(n?1)d?na?nn 112dd22， 即 3分 2?13n?ad)?5n?n?(a?)n?( 1122d?， =5? 2?，=2ad 解得， 因为上式对任意正整数n均成立，所以，10?d8a?11d?，a+ =13 12? 所以 5分 )Na?10n?2(n?n2（）方法二：由题意， 2?13n?na?S?5?nn 令得， 8a?1?n1 令得，所以 2分 18?44a?a?S2n?

24、222? 4分 因为数列a是等差数列，所以 )N(n?2a?10n?nnn(a?a)2n1，所以 nS?3?5n n2 代入（）式检验，符合题意， ? 5所以分 )2(n?Nna?10?n（2）充分性： 方法一：已知， r?q?3p2?q(n?(n1)1)?rSa?p， 1n?n?12?qn?Spnra， nn得， q2a(2?pa?n1)?n?n1 又 ， q?(2n?3)?2a?ap1n?2n?得， 7分 p2?2a3a?a?nnn?2?1即有， p2?a)?2(a?a)?(ann?2?1n?1n令，则， p2?b?b?aa?2bnn?1n?1nn所以 ， p2?b?2(b?2p)n?1n

25、令，代入得， r?2pa1n?1令，代入得， r?4pa2n?2所以，即， 02p?2p?b?b?a?a1211所以，为常数，即为常数， pa?2p2a?b?2p?0b?nn?1nn所以数列a是以为首项，为公差的等差数列 9分 pr22p?n2， 方法二：因为，所以rn?(3p?ra?S?pn)?0?3p?q?rnn当时， rp?a?2a?S?4p?2r1n?111?2， 当时，nr2，?r)(n?1)n?N1)a?S?p(n?(3p1?1?nn两式相减得， rp?1)?3?a?p(2n?2a1?nn ， 7分 r?2pn?p?2nn?1nn?11?n， 两边同乘以得，)2rp?apn2?(2

26、2?a221n?nn1nn?12n?1n?2，叠加得， 2)?2?L?2?2(2?p?r)(21)22?a2a?pn2?(n?L?1nnn?1n?)(22)(2p?ap(n?1)2?r2?，化简得， n所以，从而，为常数， p?2pn?r?aa2a?nnn?1所以，数列a为等差数列 9分 n必要性： d2，为等差数列，设公差为 ，由因为ar?qna?S?pn?nnn12， 得r?qn1)d?pn?n?1)d?na?n(n?a?( 1121d2对任意正整数都成立 即0?da?r(a?)?q)n(?d?p)n(?n 11221?，=0pd? 2?1 分 12所以 所以03p?q?r?，=0a+dq

27、 12?，=0dra1因为a是首项为1的等差数列，由知，公差d=1，所以a =n 13分 nn 2222i1)?(11ii(i?1)?T?1? 所以i22221)i1)?i(i(i?i(i?1)?1111， ?1?1? i(i?1)i(i?1)ii?1n111111111?L?(1?)?)?(1?n?1?T?(1?)?(1?)， 所以 i122334nn?1n?1i?11n?1?Q 分 15因此 nn?1n?11L1?QLQ(n?1)QQ?QQ，即于是 16分 ，所以f(x)=x+1 n21n121?n AB,CDE因为AB是线段CD相交于点的垂直平分线，21 A连接BC， AE?xEB?6?

28、x，由射影定理得所以AB是圆的直径，ACB90设 ，则 CE?52x(6?x)?5x?1x?5 ，即有 ，解得 （舍）或 CEAEEB ，又 AC?302 5AEAB630 ， 所以，AC10分 a?2,12?a?4,2224?a4? ， ，解得 ， ，即 21B ?M?M?513?21b?2b15.513.?b?1?212? 21 77?771? 10， 解法一： ?M?7?)det(?M?13?311?3? ?7777?分 dc01?3dd2cc?01?1?1? ，得 解法二:设 ，由?M?MM?1f02ee?3f?fe10?1?,?c? 7?1,d?c?3?221?,?d?0,?e?3f

29、 ?7771?M? 解得10分 ?0,2c?d?133?,e? ?77?71.f?2e?1?.?f? 7?2? 因为圆心为直线 与极轴的交点，所以令 ，得，即圆心是 21C0?(1,0)?1sin)?sin(? 33 ? ），P（3 ， ，圆的半径又圆圆过原点，经过点13cos?r?3?1?2C? 66? 分 10 圆的极坐标方程是 C2cos?（说明：化为普通方程去完成给相应的分数） 211211211 ，为正数，根据平均值不等式，得21D由，?c,a,b? cabacbacabbc111111112221 将此三式相加，得，即 ?)2(? cababcacabbcabbcac 由，则有1?abc1?abc abcabcabc111 所以，分10c?a?b? cbaacbcab ）建立如图所示的空间直角坐标系， 解（1