第五章定积分及其应用

1、第5章 定积分及其应用5.1 定积分的概念 设函数在上有界，在上任意插入若干个分点把区间分成个小区间，则各个小区间的长度依次为，在每个小区间上任取一点（），做函数值与小区间长的乘积（）并作出和。记，如果不论对怎样划分，也不论怎样选取，只要当时，极限存在，则函数在上可积，记为。其中称为积分区间，为被积函数，为被积表达式，为积分变量。（1） 定积分的实质是和式极限，是一个确定的数值。它只与被积函数和积分区间有关，与积分变量无关。（2） 区间的划分和点的选取是任意的，但是在实际过程中经常“均分，端点取”（3） 函数可积的充分条件： 若函数在上连续，则在上可积。 若函数在上有界且只有有限个间断点，则在

2、 上可积。（4） 函数可积的必要条件：若函数在上可积，则函数在上有界。（5） 定积分的几何意义：表示由曲线，直线 ，以及轴所围成的面积的代数和。备注：定积分的结果可正可负可为零。例1：求极限例2：求极限例3：求定积分例4：求定积分例5：设连续且，求5.2 定积分的性质（1）（2）（3）（4）（5） （也可以外）备注：积分区间的可加性适用于被积函数中含有， ，等符号以及被积函数为分段函数。（6） （几何意义：由区间的长为底，为 高矩形的面积）（7） 设，（），则。 推论：设，（），则。 设，（8） 设，（），则（9） 定积分中值定理：设函数在上连续，则存在，使得。备注：称为函数在上的平均值。例6

3、：证明：例7：估计下列定积分的值（1） （2）例8：设，则有（）（A） （B）（C）（D）5.3 微积分基本公式5.3.1 积分上限函数 设函数在上连续，是上任意一点，则称为积分上限函数。备注：的几何意义是由曲线，直线，轴以及右侧直线可以移动的面积的代数和。5.3.2 积分上限函数的性质（1）若函数在上可积，则在上连续。（2）若函数在上连续，则在上可导。（3）微积分基本定理： 备注：对积分上限函数求导时，如果被积函数中含有自变量，则需先将自变量移到定积分符号外面来，能直接移到外面来的就直接移，直接移不出来的利用换元积分法移出来。（4） 设函数在上连续，则是在上的一个原函数。5.3.3 牛顿-莱

4、布尼茨公式 设函数是连续函数在上的一个原函数，则 （1） 牛顿-莱布尼茨公式架起了不定积分与定积分的桥梁。（2） 求定积分转化为求原函数在积分区间上的增量问题。例9：求极限例10：试确定常数的值，使得例11：设，求在内的表达式。例12：设函数连续且，求例13：设，求例14：求下列定积分（1） （2）例15：设函数在内连续，。证明：（1）若为偶函数，则为的偶函数； （2）若为单调减函数，则为的单调增函数。例16：设函数连续，且。已知，求5.4 定积分的计算方法5.4.1 换元积分法 设函数在上连续，且满足：（1）（2） 在或上具有连续导数 则 备注：利用换元积分法求定积分时，积分变量、被积表达式

5、、积分上下限都需要发生变化（“三变”），最后的结果不需要进行回代；积分上下限的变化原则是：上对上，下对下。例17：求下列定积分（1） （2）（3）例18：设连续，其中，则的值（）（A） 依赖于和 （B）依赖于，和（C）依赖于和，不依赖（D）依赖，不依赖5.4.2 分部积分法 设函数在具有连续导数，则。备注：定积分的分部积分法中的的选择原则和不定积分的分部积分法中的的选择原则相同。例19：求下列定积分（1） （2）（3）例20：设，求例21：已知，则例22：设在有二阶连续导数，证明：5.4.3 特殊定积分的计算公式（技巧）（1） 设函数在上连续，则 （2） 设是周期为的连续周期函数，则 备注：周

6、期函数在它的任意长度为一个周期的积分区间内围成面积的代数和都相等。（3） 设函数在上连续，则 （4） 华里士公式 ，例23：设，则（）（A） 为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数例24：求下列定积分（1） （2）（3）（4） （5）5.5 反常积分5.5.1 无穷限的反常积分（1） 设函数在上连续，若存在，则收敛；若不存在，则发散。（2） 设函数在上连续，若存在，则收敛；若不存在，则发散。（3） 设函数在上连续，只有当与都存在时，则收敛；反之则发散。（4） 例25：求下列定积分（1） （2） （3）5.5.2 无界函数的反常积分（瑕积分）（1） 设函数在内连续，且在点的右领域内无界

7、，对于任意给定的正数，若存在，则收敛，若不存在，则发散。（2） 设函数在内连续，且在点的左领域内无界，对于任意给定的正数，若存在，则收敛；若不存在，则发散。（3） 设函数在上连续（除点外），且在点的领域内无界，只有当与都存在时，则收敛；反之则发散。（4）备注：常义积分中积分区间关于原点对称奇偶函数的积分性质是不能推广到广义积分中；求定积分之前一定要分清是常义积分还是广义积分；特别是无界函数的广义积分，一定要先找到瑕点，然后通过引入正数使之成为常义积分，最后一定要求极限。例26：求下列定积分（1） （2）例27：下列运算正确的是（）（A） 因为是奇函数，所以。（B） （C）设，因为是奇函数，所以（D）5.6 定积分的几何应用-（微元法）5.6.1 平面图形的面积（1） 直角坐标系下平面图形的面积（2） 极坐标系下平面图形的面积5.6.2 旋转体的体积例28：过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形。求：（1）的面积；（2）求绕直