概率论复习知识点总结

1、一、事件间关系和运算,第1章要点,二、事件运算满足的定律 事件的运算性质和集合的运算性质相同，设a，b，c为事件，则有 交换律： 结合律： 分配律： 对偶律： 例1.3, 作业: 一、 3，二、 1，2,第1章要点,三、概率的性质 (1) p() = 0 (2) (有限可加性) 两两互不相容，则 (3) (逆事件的概率) 对任一事件a，有 (4) (单调性)若 p(a) p(b) ,且p(ab) = p(a) - p(b). (5) 对任意两个事件a,b有p(ab) = p(a)p(ab) (6)（加法公式）对于任意两事件a，b有 p(ab) = p(a) + p(b)p(ab) 例1.4；作

2、业: 一、4，11 ； 二、3，5，6,第1章要点,四、古典概型与几何概型 古典概型概率计算公式： 作业：三、6，8,第1章要点,五、条件概率与乘法公式 若p(a)0 若p(b)0 例1.11，1.12；作业:一、12；二、4,7 ；三、12,第1章要点,六、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： 贝叶斯公式： 例1.16，1.17，作业：三、14，15,p(b)=p(a1)p(b|a1)+p(a2)p(b|a2)+p(an)p(b|an,第1章要点,七、事件的相互独立性 注意几对概念的区别： 互不相容与互逆 互不相容与相互独立 相互独立与两两相互独立 作业：一、8；二、8，9； 三、17，19

3、,p(ab)= p(a)p(b,第1章要点,第2章要点,一、随机变量及其分布 1.随机变量的概念 2.分布函数： 定义：f(x)=pxx xr 性质：单调性，有界性，右连续性 利用分布函数求概率：即对任意实数a, b, 有 例2.2，2.4，2.5 ，三1，2，4,第2章要点,二、离散型随机变量 1.离散型随机变量的分布律 分布律的概念； 分布律的性质： 分布律与分布函数的关系： 2.常用离散型分布 二项分布：xb(n, p), 00 例2.6，2.7 作业：一、2，3；三、6，7，9,第2章要点,三、连续型随机变量 1.连续型随机变量及其分布 定义： f(x)与f(x)关系： f(x) 性质

4、： 由f(x) 计算概率： 例2.9 ，2.11 作业：三、10，11,第2章要点,三、连续型随机变量 2.常用连续型随机变量 均匀分布 xu(a, b), 指数分布：xexp(), 0, 正态分布：xn(, 2), 0 作业：一、5，6，7，8，11,第2章要点,四、随机变量函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布 分布函数法: 先求分布函数，再求密度函数. 例2.6，作业：三、16，17，18,第3章要点,一、 二维随机变量及联合分布函数 联合分布函数的定义： 二、二维离散型随机变量及其联合分布律 联合分布律定义： 性质,第3章要点,三、二维连续型随机变量及其

5、联合概率密度 定义： 利用概率密度求概率：随机变量落在区域g内的概率,四、 二维随机变量的边缘分布函数与联合分布函数的关系 设二维随机变量(x,y)具有分布函数f(x，y,第3章要点,五、边缘分布律与联合分布律的关系 设二维离散型随机变量(x，y)的分布律为 px = xi，y = yj = pij，i，j = 1，2，则,第3章要点,六、联合概率密度与边缘概率密度的关系 二维连续型随机变量(x，y)的概率密度为f(x，y)，则 例3.5，3.8，3.10，作业 三、7,第3章要点,七、二维随机变量相互独立的充要条件 2) 若离散型随机变量 ( x,y )的联合分布律为,第3章要点,在平面上几

6、乎处处成立,作业： 三、15，18（1,第3章要点,八、二维连续型随机变量函数的分布 1.和的分布 正态分布的性质 定理3.1（正态分布的重要性质）若x1，x2，xn为相互独立的随机变量，且 c1，c2，cn为n个任意常数，则 作业:二、2；三、17,第3章要点,八、二维连续型随机变量函数的分布 （最大值与最小值分布）设x1，x2，xn是相互独立的n个随机变量，若y=max(x1, x2, , xn), z=min(x1, x2, , xn), 试在以下情况下求y和z的分布 若xi同分布，则 作业： 三、19,第3章要点,第4章要点,一、随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望 连续型随机

7、变量的数学期望 随机变量函数的数学期望,第4章要点,一、随机变量的数学期望 数学期望的性质 (1) 设c是常数，则有e(c) = c (2) e(cx) = ce(x)，e(x + c) = e(x) + c (3) e(x + y) = e(x) + e(y) (4) 设x，y是相互独立的随机变量，则有 e(xy) = e(x)e(y,第4章要点,二、随机变量的方差 定义式： 计算式： 性质： (1) 设c是常数，则d(c) = 0； (2) d(cx) = c2d(x)，d(x + c) = d(x)； (3) d(x + y) = d(x) + d(y) + 2ex e(x)y e(y)

8、 特别，当x，y是相互独立的随机变量时，有 d(x + y) = d(x) + d(y,分布,参数,数学期望,方差,0-1分布,二项分布 b(n,p,泊松分布 p(,均匀分布 u(a,b,指数分布 exp(,正态分布 n(,2,三、重要分布的期望和方差,第4章要点,四、协方差及相关系数 定义式： 计算式： 性质: (1) (2) (3) a，b为常数； (4) (5) 当随机变量x与y相互独立时,有cov(x,y)= 0,第4章要点,例4.13,4.15,例4.18例4.19, 作业:一、3,4，二、1,2,6,8,10 三、2，5，7，9，18，20,第4章要点,第4章要点,三、矩的概念 k

9、阶原点矩 k阶中心矩 k+l 阶混合矩 k+l 阶混合中心矩,一、契比谢夫(chebyshev)不等式 【定理5.1】 设随机变量x的数学期望e(x)及方差d(x)都存在，则对于任意正数，有不等式 即 成立,第5章要点,第5章要点,二、大数定律： 三、中心极限定理: 当n充分大时， 例5.1 例5.5 例5.6 作业:一、1,2,3 二、6，7 三、6,9,独立同分布的中心极限定理,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,辛钦大数定律,第6章要点,一、统计量的概念及常用统计量 二、抽样分布：统计三大分布2分布，t分布，f分布 三、分位数的概念： 标准正态分布，2分布，t分布，f分布的分位数 作业：一、1

10、，2，4，7，二、1，2，3、三、1，2,第7章要点,一、参数的点估计 1 矩估计：三步法： 求总体矩； 样本矩代替总体矩； 求出矩估计量（矩估计值） 2 最大似然估计法： 二步法： 求（对数）似然函数； 求（对数）似然函数的最大值点 例7.2,7.3,7.5,7.6 作业：一、4,8,12,13,三、3，5,6,8,第7章要点,二、估计量的评价标准 1.无偏性 2.有效性 3.相合性 作业:二、2,6 三、7,8,9 三、区间估计 正态总体均值与方差的区间估计 例7.10,7.11,7.12 作业:三、12, 14,15,一、假设检验的两类错误 犯第一类错误的概率： p弃真 = p拒绝了h0 | h0为真 = p检验统计量的值落