泛函分析习题标准答案[共14页]

1、第二章 度量空间作业题答案提示1、 试问在上， 能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。如取x=1,z=0,y=1;则有,而，2、 试证明：（1）;(2)在上都定义了度量。证：（1）仅证明三角不等式。注意到 故有 （2）仅证明三角不等式 易证函数在上是单调增加的， 所以有,从而有 令,令 即4.试证明在上， 定义了度量。证：（1）（因为x,y是连续函数） 及显然成立。5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明证：8.试证明下列各式都在度量空间和的Descartes积上定义了度量证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设，则（3）9、试问在上的是什么？上图像以为中心铅直高为2的开带中的

2、连续函数的集合。10、试考虑并确定使得的最小，其中。11试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。设是离散度量空间的任一子集。，开球，故事开集。同样道理，知是开的，故又是闭集。12设是的聚点，试证明的任何邻域都含有的无限多个点。证：略。13（1）若度量空间中的序列是收敛的，并且有极限，试证明的每个子序列都是收敛的，并且有同一极限。 （2）若是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列，试证明也是收敛的，并且有同一极限。（1） 略（2） ，当时，有，（是Cauchy序列且）因此，当时，18.试证明：Cauchy序列是有界的. 证明：若是Cauchy序列，则存在n0,使得对于一切,有,因此，对

3、于一切，有 19.若和都是度量空间中的Cauchy列，试证明： 是收敛的。证：根据三角不等式，有 故，同样有： 即：而是完备的，则是收敛的。34.若是紧度量空间，并且是闭的，试证明也是紧的。证明：因为是紧的，故中任一序列有一个在中收敛的子序列。不妨设，则有。又因是闭的，所以，因此是紧的。第三章 线性空间和赋范线性空间10.试证明下列都是上的范数 （1） ； (2) ; (3) ;是范数吗？（1）、（2）和（3）的证明略不是范数，不满足三角不等式。以R2为例，令则13.试证明（1）、和都是的线性空间，其中是收敛数列集；是收敛数列0的数列集；是只有有限个元素的数列集。（2）还是的闭子空间，从而是完

4、备的。（3）不是的闭子空间。证明：（2）设，,使得.则有任意的，使得对于一切，当nN,时有xn-xk,时xi（n）2从而有xjxj-xjn+xjnsupxk-xkn+xjn=xm-x+xjnn，从而S是S的一个子列，并且令X=S，X=S-S，则S是级数的部分和序列，从而于是绝对收敛，故收敛。不妨设SSX，由于X是Cauchy列，故又由于S是任意的，故证明X是完备的。17. 设（X，）和（X，）是赋范线性空间，试证明其Descarts积X=X*X在定义范数=max，后也成为赋范线性空间。证：（1）=0=0X=（0,0）=（2）=max，=max，=（3）设X=（X，X），y=（y，y），则 20

5、. （1）若和是X上任意两个等价范数，试证明（X，）和（X，）中的Cauthy序列相同 （2）试证明习题10中的三个范数等价证：设X是（X，）中的任一Cauthy序列，即 ，N，当n，mN时，由于和是X上任意两个等价范数，所以存在正数a，b使ab （*）于是当nmN时，有即x是（X，）中的Cauthy序列。反之，若x是（X，）中的Cauthy序列，则由（*）左边不等式，可证x是（X，）中的Cauthy序列。（2） R是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。20 (2)的直接证明： 证明在中，范数、和等价，其中； 证 ， ， 故和等价。 由Cauchy-Schwart不等式，得， 故有 再有

6、 我们得 故与等价29. 若：是可逆的线性算子，x1,xn是线性无关的，试正明,也是线性无关的.证：若存在1，n且不全为零，使得 ,则由于存在且为线性的，故,与x1,xn线性无关矛盾。32.若是有界性算子，试证明对满足的任意，都有.思路：由即证结论。33.设：ll使得，试证明证：设，则=从而T是线性算子.,所以.进一步可以证明.37.设使得 （1）试求和 （2）试问吗？ （1）是满足且在上连续可微分的函数构成的的子空间，且。 （2）是线性的，但是无界的。 事实上，蕴含着38.在C0,1上分别定义和(1)试问S和T是可交换的吗?(2)试求，和修改，(1), , 故，S和T不是可交换的。(2), 所以 令， 则 于是类似可求：，。39.在上定义范数，并设T：使得，其中试证明。证： ，则 T（）=(t-)+y(t-)=, 即 T是线性算子 =， 40、证明下列在C上定义的泛函是有界线性泛函：（1），固定；（2）证： （1）线性性略令B=，则有 =B（b-a），故有 B（b-a）（2）略41、设上的线性泛函定义为，试求解：, ，所以，取，n为正奇数，则， 由于,故.综上所述，。44.（1）在上定义， 试证明是中的范数。（2