寿险中的破产理论及应用

1、寿险中的破产理论及应用在我国保险公司的运作中，保费收入是主要收入，理陪是主要风险因素，为了保障保险公司的正常运作，保险公司必须充分考虑所面临的风险，而破产理论的研究主要针对保险公司如何估计所面临的风险，它主要研究在较长时间上保险公司发生盈余或破产的概率，以前我们所研究的破产理论主要是针对非寿险进行研究，并且主要考虑在理赔次数 N(t) 为泊松过程，理赔额S(t) 为复合泊松过程情况下的盈余过程，在非寿险研究中得到一个Lundberg 不等式，这个破产概率上界为保险公司的风险分析提供了有力工具。本文利用（文献 1 ）风险理论，考虑在寿险中破产理论的研究，得到寿险破产模型， 设计了求解寿险中的破产

2、概率的一种算法， 并得到寿险破产概率的一个上界。二、单一年龄结构下的破产模型设寿险中，刚投保时（ t=0 时刻），年龄均为x 的被保险人有n,1 个，每个被保险人的死亡概率遵循相同的生命表，初始准备金为 u,1 ，并且设n,k：第 k 年年初时的被保险人数c ：被保险人每年所交的保险费d,k：第 k 年内 (k,k+1) 被保险人死亡的人数 (1)q,x；被保险人在 (x,x+1) 死亡的人数的概率b ：每个被保险人死亡时，保险人要支付的保险金由此假定我们知：t=0 刻被保 人的 数n,1,n,k=n,k+1+d,k。定 1 任意 t 0， c0 位 内的保 收入率， s(t) 到 刻 t 保

3、 公司支付的理 ， u(0)=u 刻 0 的初始准 金， u(t)=u+ct-s(t) (2)称 刻 t 的盈余由 (2) 可 ： 里的盈余并没有考 除了保 和理 以外的影响盈余的因素，如附加 和保 持有人的分 等， 然， 种盈余并不是 意 上的盈余， 只是 了数学上 理方便而已当盈余在某一 刻 ，我 称“破 ” 生，既然此 盈余并不是 意 上的盈余， 此 破 就不等价于保 公司真的破 ， 但破 是衡量保 公司金融 的极其重要的尺度。 我 定 不 的破 概率定 2 称 ,t(u,n)=Pr u(t) 0/ u( ) 0， 某 , =1,2,t-1， 定u,n ，第t年首次出 破 的概率。设u,

4、k表示第k 年年初的准 金，且此 尚未收取第k 年的保 ，v,k表示第k 年年末的准 金，且此 尚未支付第k 年年末的保 金， i 是常数利率， v,k=(u,k+n,kc)(1+i) u,k+1=v,k-bd,k定理 1 寿险中，设初始准备金为u,1,t=0时刻被保险人的总数 n,1 ，且，c,q,x,b 满足 (1) 的假设条件，则保险人在第 t 年末的破产概率附图证明：被保险人在第一年末， 可能发生死亡也可能不发生死亡，当死亡时，保险人由于支付保险金，可能导致破产发生，也可能不发生破产，我们考虑临界状态： 即第 1 年年初所收保费与初始准备金之和等于第一年年末支付的保险金。bd,1=(u

5、,1+n,1c)(1+i)，即附图对给定的 n,1 ，在第 1 年内死亡人数的概率分布服从参数为(n,1,q,x)的二项分布，由此我们推得：附图注：定理 1 给出求解破产概率的公式，实际上我们可以利用迭代法求解保险期内任意年的破产概率。实际上，寿险保险人数相当大，而且被保险人死亡的概率非常小，存活过保险期的人数也相当大。我们知道二项分布中当n,1充分大， q,x充分小时，由概率论中泊松定理知，泊松分布可更好逼近二项分布，记 ,1=n,1q,x，由泊松定理及定理1 可得：推论 1 寿险中，设初始准备金为u,1,t=0时刻被保险人的总数 n,1 ，且 c,d,k,q,x,b满足 (1) 的假设条件， 则保险人在第 t年末