精选高考数学专题突破规范答题示范课——概率与统计函数与导数

1、第3讲圆锥曲线中的热点问题,高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查,真 题 感 悟,答案5,2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴,设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA,此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足. 从而可设l：ykxm(m1,由题设可知16(4k2m21)0,解得m2k1，此时32(m1)

2、， 当且仅当m1时，0， 直线l的方程为ykx2k1，即y1k(x2). 所以l过定点(2，1,由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0,2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2,36m216(3m23)12m2480，所以0m24,1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解. 温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响,考 点 整 合,2.圆锥曲线中的定点、定值问题,1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，

3、其都过某定点，这类问题称为定点问题. 若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m). (2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题,3.圆锥曲线中的存在性问题的解题步骤,1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3)得出结论,热点一圆锥曲线中的最值、范围问题,解得a28，b2,2)由(1)知F(2，0)，当直

4、线l的斜率不存在时，S1S2，于是|S1S2|0； 当直线l的斜率存在时，设直线l：yk(x2)(k0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2,综上，|S1S2|的最大值为4,探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围,又a2b2c2，得2b2b21，b21，a22,2)设A(x1，y1)，B(x2，y2,当直线l不垂直于x轴时，设直线l：yk(x1,热点二圆锥曲线中的

5、定值、定点问题 角度1圆锥曲线中的定值 【例21】 (2018北京卷)已知抛物线C：y22px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围,1)解因为抛物线y22px过点(1，2)， 所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x. 由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为ykx1(k0,依题意(2k4)24k210，解得k1， 又因为k0，故k0或0k1. 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2). 从而k3. 所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1

6、,2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2,探究提高1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的,1)求椭圆E的方程； (2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20,从而直线AP，AQ的斜率之

7、和,故kAPkAQ为定值2,角度2圆锥曲线中的定点问题,1)解设点P坐标为(x，y)，点Q坐标为(0，y,消去y得(2k21)x24k2x2k240. 则0恒成立,探究提高1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0). 2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点,2)证明法一易知直线l的斜率存在，设直线l：ykxm,依题意得(8km)24(34k2)(4m212)0， 即34k2m2,综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0,即x0(1t)t

8、24t30. 由x0的任意性，得1t0且t24t30，解得t1. 综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0,热点三圆锥曲线中的存在性问题,解(1)在ABC中，由余弦定理AB2CA2CB22CACBcos C(CACB)23CACB4,2)设直线方程yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2,消去y得(12k2)x24k2x2k220，8k280,探究提高1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2.求解步骤：假设满足条

9、件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在,解(1)2a4，a2,消去x，得(3m24)y26mty3t2120,2)存在定点D满足条件. 设D(t，0)，直线l方程为xmyt(m0,解得t4， 此时由0得m24. 存在定点D(4，0)满足条件，且m满足m24,由A，F，E三点共线，可得(x21)y1(x11)y20， 即2my1y2(t1)(y1y2)0,1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握,1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直

10、接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标,2.圆锥曲线的范围问题的常见求法,1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值,3.存在性问题求解的思路及策略,1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在. (2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论； 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件,第4讲函数与

11、导数的综合应用,高考定位在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题,真 题 感 悟,f(x)x26x3,综上，f(x)只有一个零点,2.(2019全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数. (1)证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点； (2)若x0，时，f(x)ax，求a的取值范围,1)证明设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1， g(x)sin xsin xxcos xxcos x,所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点.

12、(2)解由题设知f()a，f()0，可得a0. 由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减. 又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0. 又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax. 因此，a的取值范围是(，0,1.利用导数研究函数的零点,函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解,考 点 整 合,2.三次函数的零点分布,三次函数在存在两个极

13、值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1x2的函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的零点分布情况如下,3.利用导数解决不等式问题,1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI). xI，使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI,对x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. 对x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min. 温馨提醒解决方程

14、、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键,热点一利用导数研究函数的零点,因此当a0时，1ax2ex0，从而f(x)0， 所以f(x)在(0，)内单调递增,故g(x)0在(0，)内有唯一解， 从而f(x)0在(0，)内有唯一解,所以f(x)在(0，x0)内单调递增,所以f(x)在(x0，)内单调递减， 因此x0是f(x)的唯一极值点. 令h(x)ln xx1,故h(x)在(1，)内单调递减， 从而当x1时，h(x)h(1)0， 所以ln xx1,又因为f(x0)f(1)0， 所以f(x)在(x0，)内有唯一零点. 又f(x)在(0，x0

15、)内有唯一零点1， 从而，f(x)在(0，)内恰有两个零点,探究提高1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题. 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解. 2.根据函数零点情况求参数范围：(1)要注意端点的取舍；(2)选择恰当的分类标准进行讨论,训练1】 函数f(x)axxln x在x1处取得极值. (1)求f(x)的单调区间； (2)若yf(x)m1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围,解(1)f(x)aln x1

16、，x0， 由f(1)a10，解得a1.经检验a1满足题意， 则f(x)xxln x,f(x)ln x，令f(x)0，解得x1； 令f(x)1， 即m2,当00且x0时，f(x)0； 当x时，显然f(x). 如图，由图象可知，m10，即m1， 由可得2m1. 因此实数m的取值范围是(2，1,热点二利用导数证明不等式 【例2】 (2019安徽“江南十校”联考)已知函数f(x)ln xax1(aR). (1)讨论函数f(x)的单调性,当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增,综上所述：当a0时，f(x)在(0，)上单调递增,2)证明由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，不满足

17、条件,由已知得ln(a)0，故a1，此时f(x)ln xx1. 不妨设0 x1x2,故g(x)在(1，)单调递减， 所以g(x)g(1)0 x2x1. 所以对于任意互不相等的正实数x1，x2,探究提高1.证明不等式的基本方法： (1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论. (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则xD，有f(x)M(或f(x)m). 2.证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0,因此曲线yf(x)在(

18、0，1)处的切线方程是 2xy10,g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)g(1)0. 因此f(x)e0,2)证明当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex. 令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1. 当x1时,热点三利用导数解决不等式恒成立、存在性问题 角度1不等式恒成立问题 【例31】 (2019西安模拟)已知函数f(x)mexx2. (1)若m1，求曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线方程； (2)若关于x的不等式f(x)x(4mex)在0，)上恒成立，求实数m的取值范围,解(1)当m1时，f(x)exx2，则f(x)ex2x. f(0)1，且在点(0，f(0)处的切线斜

19、率kf(0)1. 故所求切线方程为y1x，即xy10. (2)由mexx2x(4mex)得mex(x1)x24x,角度2不等式存在性问题,当m2时，若x1，e，则f(x)0， f(x)在1，e上是增函数，则f(x)minf(1)2m. 当me1时，若x1，e，则f(x)0,当2me1时，若x1，m1，则f(x)0； 若xm1，e，则f(x)0. f(x)minf(m1)m2mln(m1). (2)已知等价于f(x1)ming(x2)min. 由(1)知m2时，在xe，e2上有f(x)0,又g(x)xex(x1)exx(1ex)， 当x22，0时，g(x2)0，g(x2)ming(0)1,探究提

20、高1.对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化. 2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍,训练3】 设函数f(x)(1x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围,解(1)f(x)2xex(1x2)ex(12xx2)ex. 令f(x)0，得x22x10,2

21、)f(x)(1x)(1x)ex. 当a1时，设函数h(x)(1x)ex，h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上单调递减，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1. 当00(x0)，所以g(x)在0，)上单调递增，而g(0)0，故exx1. 当0(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2,1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01,则x0(0，1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01. 综上，a的取值范围是1，,热点四利用导数求解最优化问题,例4】 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中

22、四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy,1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围； (2) 求当x取何值时，凹槽的强度最大,解(1)易知半圆CmD的半径为x， 故半圆CmD的弧长为x,探究提高利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)

23、结论：回归实际问题作答,训练4】 (2019成都诊断)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_,f(x)单调递减，故当x2时，f(x)取得最大值80,则f(x)100 x350 x4， 令f(x)0得x2， 当x(0，2)时， f(x)0，f(x)单调递增,1.重视转化思想在研究函数零点中的应用，如方程

24、的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点，充分利用函数的图象与性质，借助导数求解. 2.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件,3.利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.其中找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口. 4.不等式恒成立、能成立问题常用解法 (1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分

25、离参数转化为函数的最值问题，形如af(x)max或af(x)min. (2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论. (3)数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视函数性质的灵活应用,规范答题示范课概率与统计解答题,破题之道概率与统计问题需要从数据中获取有用的信息，通过数据的筛选、分析构建相关模型特别是从图表、直方图、茎叶图中获取信息，利用图表信息进行数据分析. 解题的关键是在“辨”辨析、辨型、辨图，只要找到模型，问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，同时，

26、还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别,满分示范 【典例】 (2018全国卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图,1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表,3)根据(2)中

27、的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异,切入点：由茎叶图提取数据信息，进行数据分析. 关键点：由茎叶图求中位数m，列出22列联表,第二种生产方式的效率更高.6分,规范解答(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：2分 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟. 因此第二种生产方式的效率更高.4分,2)由茎叶图数据得到m80. 由此填写列联表如下,9分,高考状元满分心得 得步骤分：步骤规范，求解完整，解题步骤常见的失分点.如第(1)问不能明确指出“第二种生产方式的效率更高.第(2)问不能写出中位数m，第(3)问不能代入K2公式等. 得关键分：如第(1)问理由表述要紧扣茎叶图的数据信息(表达方式不唯一)；第(2)问准确指出m8