点直线平面之间的位置关系练习题

1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系A.若 1 m , m/n ,则 1 nB .若I,n ，则1 nC.若 1 m , m n,则 1 n.D .若I /,n / ，则 1 / n.【05北京理】 在正四面体 PABC中，D ,E,F分别是AB , BC ,四个结论中不成立的是A . BC /平面 PDFB .DF平面 PAEC.平面 PDF 平面 ABCD.平面PAE 平面 ABC1.【05广东】4.【05上海春招】 已知直线I、m、n及平面CA的中点,5.一、选择题若m,lA,点Am,则I与m不共面；若m、1是异面直线， /,m/ ,且 nI, n m,则 n;若 / , mil ,/

2、,则 I /m ;若,m, m 点A,I / , m/,则 其中为假命题的是A .B .C.D.)5江苏】设,为两两不重合的平面,I, m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则II;若m,n,m|,nII ，则 II若|, I，则 I II;若I ,m ,n , I II :m | n其中真命题的个数是A. 1B . 2C. 3D . 405辽宁】已知m、n是两条不重合的直线，a、B、丫是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若m, m,则/;若，则/;若m, n,m/ n,贝 U/ ;若m、n是异面直线，m,m/ , n,n/ ,则/ 。其中真命题是A .和B .和)C.和D.和

3、，则F列命题中的假命题是2.3.【给出下列关于互不相同的直线m、I、n和平面a、B的四个命题:6. 【05北京春考理】 有如下三个命题： 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； 过平面 的一条斜线有一个平面与平面垂直.其中正确命题的个数为A0B1C 2D37. 【05北京春考文】 下列命题中，正确的是A .经过不同的三点有且只有一个平面B 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D .垂直于同一个平面的两个平面平行&【05福建理】 已知直线m、n与平面,，给出下列三个命题: 若 m , n/ ,则m/n;若 m

4、，n ,则n m;若 m ,m/ ,则.其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 39.【05湖北文】 已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：若 a b,b c,则a/c； 若 a/b,b c,则 a c ； 若 a/ ,b ,则a/b ； 若a与b异面，且a/,则b与相交； 若 a 与 b 异面，则至多有一条直线与 a， b 都垂直 . 其中真命题的个数是A1B2C3D410.【05全国I 理】过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A 18对B 24 对C 30 对D36对11. 05全国n 理】正方体 ABCDA|B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B

5、1C1的中点那么，正方体的过 P、Q 、 R 的截面图形是A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形12. 【05全国川理】 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个13. 【05天津理】 设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是A.,l,m lB.m,C., ,mD. n ,n ,m14.【05浙江理】设为两个不同的平面， l、 m 为两条不同的直线， 且 l，m有如下的两个命题：若/ ，则I / m;若I丄m,贝U丄那么A .是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C.都是真命题D都是假命题15.【05重庆理】对于不重合的两个平面与

6、，给定下列条件： 存在平面，使得、都垂直于； 存在平面，使得、都平行于； 内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线I、m,使得 I/, I/, m/, m,其中，可以判定与平行的条件有二、填空题1.【05湖南文】 已知平面，和直线m,给出条件： m ：m :m ： / (i) 当满足条件时，有m ；(ii) 当满足条件 时，有m (填所选条件的序号)2. 【05全国理】在正方形ABCD ABCD中，过对角线BD的一个平面交 AA于E,交CC于F,则 四边形bfde一定是平行四边形 四边形bfde有可能是正方形 四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形bfde有可能垂直于平面

7、bbd以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号)3. 【05全国n 理】 下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）4.【05山东理】 已知m、n是不同的直线,是不重合的平面，给出下列命题:若/,m ,n ,则 m n +若m, n,m，n,则 /若,n , m / n ,则 /”m、n是两条异面直线，

8、若m ，m,n ，n,则 /上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）5.【05山东文】 已知m、n是不同的直线,是不重合的平面，给出下列命题:若m，则m平行于平面内的任意一条直线.若 /,m,n ，则 m n +若m若 ,m测m/上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号 ）6.【05重庆理】连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选有3条边相等的四边形有一组对角相等的四边形项的序号）梯形菱形 平行四边形二、计算题1.【05广东】如图1所示，在四面体PB=2. 34 .F是线段PB上一点，CF在线段 AB上，且 EF PB.(I)(n)解证明：PB丄平面CEF;

9、 求二面角 B CE F的大小.（I）证明：/ PA22 2AC 3664100 PC PAC是以/ PAC为直角的直角三角形，同理可证 PAB是以/ PAB为直角的直角三角形， PCB是以/ PCB为直角的直角三角形 故PA丄平面ABC1 1又Spbc ?|PC|BC| ? 10 6 30而 1|PB|CF | - 2 3415 3430 S pbc2 217故CF丄PB,又已知EF PB PB丄平面CEF（II）由（I）知PB丄CE, PA丄平面 ABC AB是PB在平面 ABC上的射影，故 AB丄CE 在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则 EF1是EF在平面 ABC上的射

10、影， EF丄ECFFi丄平面ABC ,F1 /C故/ FEB是二面角BCE F的平面角tan FEB cot PBAABAP5 面角BCE F的大小为arctan32.【05江苏】如图，在五棱锥 SABCDE中，SA丄底面 ABCDE , SA=AB=AE=2 ,BCDE 3 ,BAEBCD CDE 120 .求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）； 证明：BC丄平面SAB ;用反三角函数值表示二面角B SC D的大小（本小问不必写出解答过程）解(I)连结 BE，延长 BC、ED 交于点 F,则/ DCF= / CDF=60, CDF为正三角形， CF=DF.又BC=DE , BF

11、=EF,因此， BFE为正三角形， / FBE= / FCD=600,所以/ SBE (或其补角)T SA丄底面 ABCDE , BE/CD就是异面直线SA=AB=AE=2 ,CD与SB所成的角+B CS* SB=2 .2，同理 SE= 2 . 2 ,又/ BAE=120 0,所以 BE= 2 3，从而,cos/ SBE= 64- 6 / SBE=arccos -4.6所以异面直线CD与SB所成的角是arccos(H )由题意， ABE为等腰三角形，/BAE=120 0, / ABE=30 0,又/ FBE =60,/ SA 丄底面 ABCDE , BC SA 丄BC,又 SA BA=A ,

12、/ ABC=90, 底面ABCDE , BC丄平面SAB* BC 丄 BA（川）二面角 B-SC-D的大小782arccos 82(I)(n)(出)/解锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间 想象能力及运用方程解未知量的基本方法。I）证明：连结（PE1 EF -BC2CFAB,PFPC平面 PCF,AB, AB 平面 PCF.PC丄 AC, AP PC.2AB. PC 平面 PAB.I3.【05辽宁】 已知三棱锥 PABC中，E、F分别是 AC、AB的中点, ABC , PEF 都是正三角形，PF丄AB.证明PC丄平面PAB ;求二面角 PAB C的平面角的余弦值； 若点P、A、B、C

13、在一个表面积为12 n的 球面上，求 ABC的边长.本小题主要考查空间中的线面关系，三棱(n)解法一：AB PF , AB CF,PFC为所求二面角的平面角.设 AB= a，贝UAB=a，贝U PF EF -,CF2旦cos PFC2.3a2解法二：设P在平面ABC内的射影为O.PAF 也 PAE, PAB 也 PAC.得PA=PB=PC.于是0是厶ABC的中心.设 AB=a，则 PF 旦，OF -a.2 32PFO为所求二面角的平面角cos PFOOFPF（川）解法一：设PA=x，球半径为R.PC 平面 PAB, PA PB,3x 2R. 4 R2 12 , R3得x 2. ABC 的边长为

14、 2 2.解法二：延长 PO交球面于D,那么PD是球的直径.连结OA、AD，可知 PAD为直角三角形.设AB=x,球半径为 R.4 R212 , PD 2 3. PO OF tan PFO 6 x, OA -3 x,632(-x)2-x(2 3-x).于是 x 2 2.ABC 的边长为 22.3 664.【05上海春招】已知正三棱锥P ABC的体积为72、3，侧面与底面所成的二面P角的大小为60。(1) 证明：PA BC ;(2) 求底面中心O到侧面的距离.A证明(1)取BC边的中点D，连接AD、PD , 平面APD.贝U AD BC, PA(2)如图，由 .面角的平面角.过点O作OEPD B

15、C，故 BCBC.(1 )可知平面PBCCO平面APD，则 PDA是侧面与底 B 面所成PD, E为垂足，则 就是点O到侧面的距离.设OE为h，由题意可知点 O在AD上,PDO 60 , OP 2h.2hOD石BC 4h ,OEP4、3h2,小V32S ABC(4h)4/ 72、31 4 3h23即底面中心O到侧面的距离为3.5.【05北京理】 如图,在直四棱柱 ABCD ABQD1中，AB AD 2, DC 2 3,AA3, AD DC , AC BD 垂足为 E、(I )求证 BD A-|C ;(n )求二面角A1 BD C1的大小；(川)求异面直线 AD与BC1所成角的大小解(I)在直四

16、棱柱 ABCD AB1C1D1中，T AA1丄底面 ABCD . AC是AQ 在平面 ABCD上的射影.- FCi= . 7 , BCi = ,T5,在厶 BFCi 中，cos CiBFi5 4 7i 2、i5 / CiBF = arccos卫5即异面直线AD与BCi所成角的大小为i5arccos5解法二：(I)同解法(H)如图，以D为坐标原点，DA, DC.DD,所/ BD 丄 AC. BD丄 AiC;（II）连结 AiE, CiE, Ai Ci.与（I）同理可证 BD丄AiE, BD丄CiE,二/ AiECi为二面角Ai BD Ci的平面角./ AD 丄 DC,二 / AiDiCi = Z

17、 ADC = 90 又 AiDi=AD = 2, DiCi= DC = 2 , 3 , AAi=、3 且AC丄BD, AiCi = 4, AE= i , EC = 3,AiE= 2, CiE = 2 . 3 ,在厶 AiECi 中，AiCi2= AiE2 + CiE2,- / AiECi = 90即二面角Ai BD Ci的大小为90 （III ）过 B 作 BF/AD 交 AC 于 F，连结 FCi,则/ CiBF就是AD与BCi所成的角.AB= AD = 2, BD 丄 AC, AE = i,在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系+连结 AE,GE, ACi.与同理可证，BD AE

18、,BD CiE,- AEG为二面角 A ED Ci的平面角由 A（2,0,、3）,Ci（O,23八 3）,3 fa2E2,uuu i 3- uuin得EA（2, “3），ECi(1UULT uuuu3 9 EA ECi3 4 3umr EAuiuuEC1,即 EA, EC1.BF=2, EF = i, FC = 2, BC= DC ,面角A ED G的大小为90o(川)如图,由 D(0,0,0) ,A(2,0,0), G(0,2 、3, 、3),B(3,、3,0),uuruum_ -得 AD ( 2,0,0), BC1(3,., 3, .3),UUUT UULUUULTUULUAD BC16,

19、 AD 2, BC1UUUT UUUU.15,.UUUUUUUUcos AD, BC1AD,BCt UUUT uuluT AD BC1.155异面直线 AD与BCi所成角的大小为arccos 送.解法三：(I)同解法(n)如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E连结A1E,C1E, AC1.B1与(I)同理可证 BDA,E,BDGE,二 AEG为二面角A BD C1的平面角+ 由 E(0,0,0), A(o, 1 八3),G(0,3, .3).UUU- UUUU-得 EA (0, 1j3), EC1(0,3,胎).UUU UJUU EAgEG3 3 0,UUUUJUU二 EAEC1 即 EAiE

20、Ci,面角A BD C1的大小为90.6. 【05北京文】如图，在直三棱柱ABC ARG中,AC 3, BC 4, AB 5,AA14 ，点 D 为AB的中点，(I )求证 AC BC1;(n )求证AC1 P平面CDB1;(川)求异面直线 AC1与BQ所成角的余弦值+解(I)直三棱柱 ABC A1B1C1，底面三边长 AC=3 , BC=4 , AB=5 ,(II )设CBi与CiB的交点为E,连结DE ,/ D是AB的中点，/ DE 平面 CDBi,(III )T DE/AC i,1在厶 CED 中，ED=_AC i = _2 2E是BCi的中点,ACi DE/AC i, AC i/平面

21、CDB i;平面CDBi, / CED为ACi与BiC所成的角,5,CD=1AB=2，CEA2 2，8- cos CED2 2近-22.25A1C1B1juurujjjujj(I )Q ACi ( 3,0,0), BCi (0,4,4) , AG(n )设CBi与CiB的交点为E,贝y E(0,2,2)uurQ DEuurDE3juur(-,0,2),ACi ( 3,0,4),i juuu uur uuuu -ACi, DE/ACiCi峯Ai厶BiQ DE平面 CDBi, ACi 平面 CDBi,By异面直线 ACi与BiC所成角的余弦值2-25解法二:直三棱锥ABC ABQi底面三边长AC

22、3,BC 4, AB 5 ,AC, BC, CCi两两垂直+3如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C i(0,0,4),B(0,4,0),B i(0,4,4),D( - ,2,0)juur jurjuurBG0, ACiBG +ACi/ 平面 CDBi-jjjjjur(m )Q ACi ( 3,0,4), CBi (0,4,4), cosujun uuurACi,CBiujuu jurACigCBijuur tiJJFIAGIICB, |2.25242.异面直线ACi与BiC所成角的余弦值为57. 【05北京春考理】 如图，正三角形 ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行

23、线，分别交AB、AC于Bi、Ci 将 ABiCi沿BiCi折起到 AiBiCi的位置，使点 Ai在平面BBiCiC上的射影恰是线段 BC的中点M 求:(1)二面角A B1C1 M的大小;(2)异面直线 AiBi与CCi所成角的大小(用反三角函数表示).解本小题主要考查直线与平面的位置关 系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能 力和运算能力.(I)连接 AM , AiG/ G是正三角形 ABC的中心，且M为BC的中点， A , G , M三点共线，AM丄BC .T BiCi / BC,- BiCi 丄 AM 于 G,即 GM 丄 BiCi, GABiCi,/ AiGM是二面角 Ai BiCi

24、 M的平面角.T点Ai在平面BBiCiC上的射影为 M , - AiM 丄 MG，/ AiMG=90 在 Rt AiGM 中，由 AiG=AG=2GM 得/ AiGM=90即二面角 Ai BiCi M的大小是 60(H)过Bi作CiC的平行线交BC于P,则/ AiBiP等于异面直线 AiBi与CCi所成的角 由PBiCiC是平行四边形得 BiP=CiC=i=BP ,1PM=BM BP= , AiBi=AB i=2 .2T AiM 丄面 BBiCiC 于 M , AiM 丄BC ,Z AiMP=90在 Rt AiMP 中，AiP2AiM2 PM2（2）2（2）2在 Rt AiGM 中，AiM=A

25、 iG sin 602 2 2Ai BiBiPAi P2 Ai Bi Bi P在厶AiBiP中，由余弦定理得 cos AiBiP5异面直线 AiBi与CCi所成角的大小为 arccos-.8&【05北京春考文】如图，正三棱锥S ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点求：AM 古(I)的值；SM(n)二面角 S BC A的大小； (川)正三棱锥 SABC的体积解本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力.(I)v SB=SC , AB=AC , M 为 BC 中点, SM 丄 BC , AM 丄 BC.1 1AM由棱锥的

26、侧面积等于底面积的2倍，即3 BC SM 2 -BC AM 得2 2SM(n)作正三棱锥的高SG,则G为正三角形 ABC的中心，G在AM上,GM32-AM.3/ SM 丄 BC, AM 在 Rt SGM 中, SM 2 AM3丄BC，/ SMA是二面角 S BC A的平面角.-33即二面角S BC A(川) ABC3GM 2GM ,/ SMA= / SMG=60 AM ,GM21Vs abc S3的大小为60。的边长是3,.3SGGMtg 60ABCSG1 9.3349.39.【05福建理】如图，直二面角D AB E中，四边形 上的点，且BF丄平面ACE.(I)求证AE丄平面BCE ;(n)求

27、二面角 B AC E的大小； (川)求点 D到平面ACE的距离.解本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础 知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.ABCD是边长为2的正方形，AE=EBF为CE(I) Q BF 平面 ACE, BF AE,EQ二面角D-AB-E为直二面角,平面ABCD平面ABE ,又 BC AB , BC平面 ABE , BC AE,又BF 平面BCE ,BF I BC=B,AE 平面BCE。(II)BD 丄 AC ,的平面角，BD交于G,连结FG,t ABCD为正方形，连结AC、/ BF 丄平面 ACE , FG 丄 AC , / FGB 为二面角 B-A

28、C-E由(I)可知，AE丄平面BCE, AE 丄 EB，又 AE=EB , AB=2 , AE=BE= 2 ,在直角三角形BCE中，店”be2 6,bF巴黃23在正方形中，BG,2，在直角三角形 BFG中，sin FGB二面角 B-AC-E 为 arcsin63(III )由(II )可知，在正方形 ABCD中，BG=DG , D到平面ACB的距离等于 B到平 面ACE的距离，BF丄平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为 D到 平面ACE的距离.所以D到平面的距离为23 T二面角D AB E 为直一.面角，EO丄平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,VD ACEVe1S

29、ACDACB3h丄3S ACDEO.1-AD DC EO1 22 1AE平面 BCE ,AEEC.h222-: 31AE EC1 .263另法：过点E作EO AB交AB于点O. OE=1.2 2i 点D到平面ACE的距离为乙3.3解法二：(I)同解法一 (H)以线段 AB的中点为原点 O, 0E所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过0 点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系 0 xyz,如图.AE 面 BCE, BE 面 BCE, AE BE ,在Rt AEB中,AB 2,O为AB的中点,OE 1.A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE (1,1,0), AC(0,

30、2,2).设平面AEC的一个法向量为n (x, y,z),则AE n 0即AC n 0,x y 解得 y x,2y 2x 0.z x,令 x 1,得 n (1,1,1)是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为 m(1,0,0),cos(m, n) 钉.| m | | n | v3(III ) AD/Z 轴，AD=2 , AD (0,0,2),点D到平面ACE的距离d | AD | |cos AD,n| AD n |n|=3.310.【05湖北理】 如图，在四棱锥 PABC中，底面ABCD为矩形，侧棱 PA丄底面 ABCD，AB= ,3，BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点.（I

31、）求直线 AC与PB所成角的余弦值；（n）在侧面PAB内找一点 N，使NE丄面PAC， 并求出N点到AB和AP的距离+解解法一：（I）建立如图所示的空间直角 坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A （0，0,0），B（ 3，0，0），C（ 3，1，0），D（0，1，0），(0, 0,2), E(0,从而 AC = ( V3 ， 1， 0)， PB = ( U3 ， 0， -2) *设AC与PB的夹角为，则cosAC PB|AC| |PB|32、73. 714 ，3J7 AC与PB所成角的余弦值为14（n）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z），则ME1x2,1 z).由

32、NE丄面PAC可得：乎AP ,即NE AC 0,(x, 1,121(x , , 12z)z)化简得(0,0,2)(3,1,0)1 0,3x 120,0,361.y-1.pDCo丄B x即N点的坐标为兰3，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为6解法二：(I)设 AC A BD=O，连 OE,贝U OE/PB ,/ EOA即为AC与PB所成的角或其补角*在厶AOE中，AO=1 ,OE= 1 PB= 7 , AE= 1 PD=2 273.17141 - cos EOA 4丿72 12即AC与PB所成角的余弦值为3 1714(H)在面 ABCD内过D作AC的垂线交AB 于 F，ADF 6连PF,

33、则在Rt ADF中 DF= 一AD一cos ADF,af3AD tan ADF.3设N为PF的中点，连 / DF 丄 AC , DF 丄 PA,NE，贝U NE/DF , DF丄面PAC+从而NE丄面PAC.113 N点到AB的距离=iAP=1，N点到AP的距离=2aF=11.【05湖北文】如图所示的多面体是由底面为BC=2 , CCi=3, BE=1 (I) 求 BF 的长；(n)求点C到平面AECABCD的长方体被截面解本小题主要考查线面关系和空间距离的求法 等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力解法1: (I)过E作EH/BC交CC1于H，则 又 AF / EC1,./ FAD=

34、 / C1EH. Rt ADF 也 Rt EHC1.DF=C 1H=2.AEC i F所截面而得到的，其中AB=4 ,A-C1CH=BE=1，EH/AD，且 EH=AD.C1BF 、BD2 DF22 6FDE/(n)延长 C1E与CB交于G,连AG , 则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG. 过C作CM丄AG，垂足为 M，连C1M ,由三垂线定理可知 AG丄C1M.由于AG丄面C1MC，且AG 面AEC1F，所以平面 AEC1F丄面CMC.在Rt C1CM中，作 CQ丄MC1,垂足为 Q， 则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离+eb bg由可得,BG 1,从而AG , AB2 BG217

35、.CC1 CG由GAB4 12MCG知,CM 3cos MCG 3cosGAB 3-,帀CQ4 3311解法2 : (I)建立如图所示的空间直角坐标系，贝UD ( 0, 0, 0), B ( 2, 4, 0),(0, 4, 3).设 F (0, 0, z).A (2, 0, 0), C (0, 4, 0), E ( 2, 4, 1), AEC1F为平行四边形,CiZi由AECiF为平行四边形,umr 由AFuurnEG得,(2,0,z)( 2,0,2),Iz 2.F(0,0,2).uuurEF ( 2, 4,2).于是uuu|BF | 2、6,即BF的长为26xA(Il)设 n1n1 AF又C

36、CicosC1为平面AEC1F的法向量，显然厲不垂直于平面ADF,故可设n1(x,y,1) +，得0,(0,0,3),设CCi与ni的夹角为CCi n1a，则4 331 16 133 C到平面AEC 1F的距离为d |CC1 |cos12.【05湖南理】如图1，已知ABCD是上.下底边长分别为轴0。1折成直二面角，如图 2.(I)证明：AC 丄 BO1；(n)求二面角0ac 。1的大小.4y 10,2x 24,33330,1,144 “33112和6，高为-3的等腰梯形,将它沿对称DOB图21 C0,所以BOi丄0C,BOi是平面0AC的一个法向量由n ACn 0Q解解法一（I）证明 由题设知

37、OA 丄 00i, OB 丄 001.所以/ A0B是所折成的直二面角的平面角，即0A丄0B.故可以0为原点，0A、0B、00i所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图3,则相关各点的坐标是 A (3, 0,B (0, 3, 0), C (0, 1, V3 ) 0i (0, uuruum从而 AC ( 3,1八3), B0i (0, 3, .3), uur uuu-AC B013 .3 .3 0.所以AC丄B0i.(II)因为 B01 0C 333由(I) AC丄B0i,所以BOi丄平面0AC ,（x, y, z）是0平面Oiac的一个法向量,3x y 畑 0,取z ,所以 co

38、s cos n , B01 = n B01|n | | B0! |即二面角 0 AC 0i的大小是arccos解法二（I）证明 由题设知0A丄001 , 所以/ A0B是所折成的直二面角的平面角，即0A丄0B.从而A0丄平面 0BC01 ,因为 tan OO1B -0B3OO1所以/ OO1B=60由三垂线定理得（II ）解由（I）丄平面A0C.设 oc n 01B=e,0B 丄 001,0C是AC在面0BC01内的射影 0C .3 , 003，/ 010C=30 ，从而 0C 丄 B01AC 丄 B01.AC 丄 BO1 , 0C 丄 BO1 ,知 B01tan Q0C01过点E作EF AC

39、于F,连结O1F （如图4）,则EF是01E在平面 A0C内的射影, 由三垂线定理得01 F丄AC.E所以/ OiFE是二面角 0 AC 01的平面角.AiACiC由题设知 0A=3 , 00i=3 , 0iC=1,所以0小 .0A200；2、3, AC.0-a201C2,13 ,0i A 0iC2 3.3从而0iF又 0iE=00i sin30=,AC13201E,13所以 sin-即二面角0AC -0i的大小是arcs in 01F4413.【05江西理】 如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi，中，AD=AA i=1, AB=2，点E在棱AB上移动.(1) 证明：DiE 丄 AiD;

40、(2) 当E为AB的中点时，求点 E到面ACDi的 距离；(3) AE等于何值时，二面角 Di EC D的大小为一.4解解法(一)(1)证明： AE 丄平面 AA iDDi, AiD 丄 ADi,. AiD 丄 DiE(2)设点E到面ACDi的距离为 饥在厶ACDi中，AC=CD i= * 5 , ADi= 2 ,ADiC2、2 512,而Sace 2 AE BC 2VD1 AECIsaec DDiAD1Ch,h,(3)过 D 作 DH 丄CE 于 H,连 DiH、DE ,则DiH丄CE,/ DHD i为二面角Di EC D的平面角设 AE=x，贝U BE=2 x在 Rt DiDH 中,Q D

41、HDiDH1.Q 在Rt ADE中,DE .1 x2,D iA产DAH ECiBlx2 4x 5.在Rt DHE 中,EH x,在 Rt DHC中 CH ,3,在Rt CBE中 CEx 3, x2 4x 5 x 23.AE 2寸,二面角Di EC D的大小为一.4解法（二）：以D为坐标原点，直线 DA , DC, DDi分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，贝V Ai（ 1，0，1），Di（0，0，1），E（ 1，x，0），A（ 1，0，0）C （0，2，0）(1)因为DA1, D1E(1,0,1), (1,x, 1)0,所以 DA1D1E.(2)因为E为AB的中点，贝U E

42、（1，1,0)，从而D1E(1,1, 1),AC ( 1,2,0)，AD1(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为(a,b,c)，n AC0,n AD10,BA1BE（2,1,2），所以点E到平面AD 1C的距离为C1D o也即2b 0，得，从而ncn|n|（3）设平面D1EC的法向量n(a, b,c)， CE(1,x 2,0), D1C (0,2, 1),DD1(0,0,1),n D1C0,2b c 0n CE0,a b(x 2)令 b=1, 0.-c=2,a=2 x，. n (2x,1,2).依题意co、|n DD1 |n| |DD1 |业2 (x 2)252为 2. 3 （不合，舍去），

43、X2 AE= 23时，二面角 D1 EC D的大小为一.414.【05全国I 理】 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形， AB / DC，宀k1DAB 90 , PA 底面 ABCD，PA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中点 +2（I）证明：面 PAD丄面PCD;（H）求AC与PB所成的角；（川）求面 AMC与面BMC所成二面角 的大小.解本小题主要考查直线与平面垂直、 直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力考查应用向量知识解决数学问题的能力(I)证明： PA 丄面 ABCD , CD 丄 AD ,由三垂线定理得：CD丄PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线 AD

44、, PD都垂直, CD 丄面 PAD.又CD 面PCD，面 PAD丄面PCD.(H)解：过点 B作BE/CA，且BE=CA , 则/ PBE是AC与PB所成的角连结 AE，可知 AC=CB=BE=AE= 2，又 AB=2 ,在 Rt PEB 中 BE= 、2 , PB= . 5 ,COS PBEBE . 10PB 5所以四边形 ACBE为正方形.由PA丄面ABCD得/ PEB=90AC与PB所成的角为arccos5(川)解：作 AN丄CM，垂足为N，连结BN.在 Rt PAB 中，AM=MB，又 AC=CB ,AMC BMC, BN丄CM，故/ ANB为所求二面角的平面角./ CB丄AC，由三垂线定理，得 CB丄PC,在 Rt PCB 中，CM=MB，所以 CM=AM.在等腰三角形AMC 中,AN MC=CM(A2c)2AC AB=2 ,2 2 2A” AN BN AB cos ANB2 AN BN2故所求的二面角为 arccos().3方法二：因为 PA丄PD, PA丄AB , 图建立空间直角坐标系，则各点坐标为AD丄AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如A (0, 0, 0) B (0, 2, 0), C (1 , 1,10 )，D (1, 0, 0 )，P(