勾股定理与方程

1、勾股定理的方程思想,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,勾股定理,勾股定理的常见表达式和变形式,在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢,感受新知1,二）例题,问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢,例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少,例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉

2、向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少,设计意图,1.能利用勾股定理解决简单的实际问题,2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识,3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力,4.本题是我国古代数学著作九章算术中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果,解决与勾股定理有关的实际问题时，先要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾股定理求解,小结,AB的中垂线DE交BC于点D,AD=BD,BC

3、=3,BD+CD,AD+CD,3,如图，在RtABC中，C=90, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，则AD的长为,x,3-x,感受新知2,在直角三角形中（已知两边的数量关系,设其中一边为x,利用勾股定理列方程,解方程,求各边长,基本过程,如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长,6,6,例 1,解：在RtABC中 AC=6cm，BC=8cm AB=10cm,设CDDExcm，则BD（8-x）cm,由折叠可知AEAC6cm，CDDE, C= AED=90,解得x3 CD=DE

4、=3cm,BE10-64cm, BED=90,在RtBDE中 由勾股定理可得（8-x）2 x2+42,例 1,问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢,例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长,例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长,方法一,方法二,例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长,1.如果一道题目中有多个直角三

5、角形，要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常数），在这个三角形中利用勾股定理求解,2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量,小结,例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长,注意,1.基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形”知二推一,2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好在图中标出相等的线段和角,练习,思考1,1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D

6、两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处,解,设AE= x km，则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：E站应建在离A站10km处,x,25-x,思考1,在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高,A,B,C,D,思考2,A,B,C,D,解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m,设AD长

7、为x m，则树高为(x+5)m,AD + DC = AB + BC,DC = 10 + 5 x = 15 - x,在RtABC中，根据勾股定理得,解得x=2.5,答：树高为7.5米,x+5=2.5+5=7.5,10 2+ (5 + x )2= (15 x)2,思考2,例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积,问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解,设计意图,经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想,例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面

8、积,方法一,例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积,方法二,例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积,小结,1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直角三角形,2. “斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解,例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积,注意,2.本题也可以过A或B作对边的高,问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解,设计意图,问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解,1.经历

9、对几何图形的观察、分析，初步掌握利用“补”图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想,2.题目中设置的已知量并不是整数，意在增强学生的计算能力,小结,题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上，本题利用“割”也有多种做法,小结,题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上，本题利用“割”也有多种做法,注意,1.本题的解法很多，但是解法上却有的简单，有的复杂，要选择好方法,2.注意不要跳步.不能直接用结论：“含有30的直角三角形的三边的比为： ”; 如：要求CE，需先求DE，再由勾股定理求CE,设计意图,1.从证明方法角度看，通过利用“割”、“补”图形构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理的结论，