反比例函数知识讲解

1、 反比例函数（提高） 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质3. 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义kyx?y0?kk是自变量，)为常数，的函数称为反比例函数，一般地，其中形如 (x .是函数，定义域是不等于零的一切实数kkkx?y0x?无意义，时，分式是分式1）在中，自变量的分母，当要点诠释：（xxxyx0y? 的取值范围是，函数.的取值范围是故函所以自变量yx 数图象与轴无交点；轴、k x?y 的指数是

2、的形式，自变量2）可以写成() ( （x 这一条件. 1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k y? )也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比） (（3xk，从而得到反比例函数的解析式.例函数的比例系数 要点二、确定反比例函数的关系式 k?y中，只有一个待 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数xx、ykk的值，的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出定系数，因此只需要知道一对从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： k?yk?0) (；）设所求的反比例函数为： （1 x（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程

3、； k的值； 3）解方程求出待定系数（k?yk 中）把求得的（4值代回所设的函数关系式. x 要点三、反比例函数的图象和性质 、 反比例函数的图象特征： 1三象限或第二、反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、yx轴相交，只是无限靠近两坐轴、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 标轴.k?yb?a，a，b?也在此图象(要点诠释：（1）若点(在反比例函数)的图象上，则点x 上，所以反比例函数的图象关于原点对称； 0k?k中，由于) 为常数，（2）在反比例函数，所以(yx 两个分支都无限接近但永远不能达到轴轴和 、反比例函数的性质2y0k?在每个象限内，双曲线的

4、两个分支分别位于第一、三象限，时，）（1如图1，当x 值随值的增大而减小；y0k?在每个象限内， （2）如图2当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，x 值随值的增大而增大；它的增减性都是在各自的象限内的增减情要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的， k由双曲线所在的位置反过来，况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；k 的符号和函数的增减性，也可以推断出. 的几何意义要点四、反比例函数()中的比例系数k kyxk0k?y过双曲线.) 上任意一点作(轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为xk0k?y所得三角形上任意一点作一坐标轴的垂线，过双曲线(连接该点和原点，) xk 的面积为.2

5、只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴 要点诠释： 的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】 类型一、反比例函数定义 21k?2k?2kx?(k)?ky 、为何值时，是反比例函数1 【答案与解析】2?2?0或k?k1k?1?k?2?2?k 解：由 得 ?1k?k?0且20?k?k?k1?0)(ky?kx?0)?(ky?，根据反比例函数关系式的一般式【总结升华】也可以写成，xx，条个件数，必须具备两此的次数为1，可知函数为反比例后一种写法中函221?2k?1?k0kk? ，二者缺一不可且 类型二、确定反比例函数的解析式 yy?y?yyxxxy；当成反比例，

6、且当，与成正比例，1与时，2、已知72121xy 82时，xy 之间的函数关系式；(1) 与 (2)自变量的取值范围；xy 当的值4时，(3) 【答案与解析】yx 成正比例，与解：(1)10)?kx(ky? 设 111yx 成反比例，与2k2y0)?(k?设 22xk2?kxyy?y? 112xk?k?7,?x?21x?21?把与分别代入上式，得 ?ky?87?y28.?2k?1?2k?3,?1 ?k?4.?24?x3y?xy与所以的函数解析式为 xx 0自变量的取值范围是(2)413?3y4?x 4时，(3)当4kkk.注意，比例系数要分别用表示，不能用成同一个比例系数和 【总结升华】12举

7、一反三： 1?xxyy2?y?3?2x的函数关系式时，【变式】已知与成反比例，且与，求 4 【答案】y3?2x 与解：因为成反比例，kky?2?5?k所以 ，且，解得.132x?3?245?yxy 的函数关系式为所以 .与3x?2类型三、反比例函数的图象和性质 1、3?y的图象上，当、)在函数满足_时，若A()、B(，xxyxxy2121122xy?y .21x?x?0x?00?x?x?x；【答案】或 或 2112211?yxy减小，所的图象在一、三象限，在每个象限内，随着【解析】的增大，函数值2xx?x?0y?yxx?0?.当或以B点在三象限，A点在一象限，即时，211221y?yxx?0?

8、.，也满足 2112【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整. 举一反三： k?1?ykx?2y在同一坐标系中的图象不与反比例函数【变式】如图所示，正比例函数x 可能是（） 【答案】D； y?2kxk，由0的图象经过第二、第四象限，得项，由正比例函数D提示：对于1k?ykk不存在，解，反比例函故D的图象位于第一、第三象限，得项错误1x决这类图象问题的一般解法是先根据函数表达式的大致图象来确定函数表达式中字母系数的符号或范围，再根据字母系数的符号或范围确定另一个函数图象的大致位置 类型四、反比例函数综合 k(k?y?0)，经过RtOAB斜边OB的中点D4、如图所示，已知双曲线，与直角边xS?3，求反比例函数的解析式OA， AB交于点C，DEOBC 【答案与解析】 解：过点D作DMAB于点M DMOA， BDMBOA 在BDM和EOD中 ?DMB?OED?90? ?BDM?BOA ?OD?DB? BDMDOE(AAS)， 11OABM?DE?ABDM?OE? ，22baa，b2，2 D(设)B()，则1abS?S? ， AOCODE2S?S?3 OBCABDE梯形?(b?2b)ga?3ab?2，解得： 即22?y 反比例函数的解析式为x【总结升华】本题欲求解析式有两个思路可考