华南理工大学高等数学 13届 统考卷下 (3)_第1页
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文档简介

1、高等数学下册试卷B20141012姓名： 学院与专业： 学号： 一、 填空题每小题4分，共20分1. 函数的连续范围是 2. 设函数在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是3. 曲面在点处的法线方程是4. 假设L为圆的右半部分，则5. 函数在点处的梯度是 二、（本题8分）函数，试研究在点的可微性解 ，函数在点的全增量为，由于，当时与有关，从而，由定义可知该函数在点不可微。三、（本题8分）设，其中为可微函数, 求 解 方程两边取微分整理得， 于是四、（本题8分）计算二重积分，其中D由抛物线与直线所围成的闭区域（注：在原点处，补充定义被积函数为1）解 作图， 五、（本题8分）

2、计算，其中L为下列闭曲线，沿反时针方向：（1）圆周；（2）曲线。解 在这里，进而在点以外成立且连续，从而（1）点在L所围区域之外，由格林公式，可得=0；（2）点在L所围区域之内，可以为中心做一个适当小的圆，使得这个小圆包含在L的内部，取逆时针方向，设。从而L与的负向构成了所围成的区域的正向边界，且可用格林公式，得=0；从而，对新的积分在所围区域再用格林公式，得（后面步骤也可用代入去计算的，繁些）六、（本题8分）计算由曲面和所围成立体的表面积。解 由和得和，立体在xoy平面上的投影区域为，对，；对，七、（本题8分）计算曲面积分，式中是旋转抛物面下侧介于平面0及2之间的部分。解 取曲面，取上侧，配

3、合构成立体的表面的外侧。用高斯公式八、（本题6分）设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且。（1）求，（2）计算曲线积分。解 （1）由曲线积分与路径无关，可得，即，得，再由可得（2）九、（本题6分）求微分方程的通解。解 对应齐次方程 的特征方程为，解得。对应齐次方程通解为。非齐次项与标准形式比较，得，从而不是对应齐次方程的特征根，故待定的特解可设为，由于，代入原方程，得，所以，于是非齐次方程通解为。十、化工类做（本题6分）已知容积为V的开顶长方体，当其尺寸怎样时，有最小的表面积。解 十一、化工类做（本题7分）设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数。证 设为椭圆上任一点，令，则曲面在点处，（确为指向外侧的法向量）单位化可得，而，。从而点的梯度为，故函数在点处沿方向的方向导数为十二、化工类做（本题7分）求微分方程的通解解 十、非化工类做（6分）判断级数的敛散性解 因为，而，从而由比值判别法得收敛。十一、非化工类做（7分）将函数展开成麦克劳林级数，并指出其成立区间。解 十二、非化工类做

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