江苏省南京市第二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试数学试题(含附加题)

1、南京二十九中 2020 届高三年级第二学期阶段测试数学试题一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，计 70 分请把答案写在答题纸的指 定位置上）readifxx 5then1已知集合 axn|1x3，b2，3，4，5，则 ab_yx 22设复数 z +2i =1 -i1 +i，则z =_else3某算法的伪代码如图所示，如果输入的 x 值为 32 ，则输出的 y 值为_ylog x 2第 3 题图4某班有男生 30 人，女生 20 人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15 人参加座谈会，则抽到的女生人数为_5某学校高一高二高三三个年级的学生人数分别为 240 人，240 人，120 人，

2、现采用分层抽样的方法从中抽取 5 名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从 5 位同学中选出 2 名一等奖，记事件 a 为两名一等 奖来自同一年级，则事件 a 的概率为_6在平面直角坐标系 xoy 中，已知双曲线x 2 y 2- =1(a 0，b 0) a2 b 2的一条渐近线的倾斜角为 45，且过点(3，1)，则双曲线的焦距等于_7已知f (x)是定义在 r 上的奇函数，当 x 0时，f (x)=2x-x2，则f (-1)+f(0)_8底面半径都是 3 且高都是 4 的圆锥和圆柱的表面积之比为_9己知等比数列an的前n 项和为 s ，若 s 7， s 63，则n 3 6a +a +a 7

3、8 9_10已知 a, b, c 均为正数，且 abc =4( a +b ) ，则 a +b +c 的最小值为_11在平面直角坐标系xoy中，已知点 a，点 b 是圆c : (x-3)2+(y-4)2=5上的两个动点，且 ab =2，则uuur uuuroa ob的取值范围为_ox1 52012在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l：kxy5k0 与圆 c：x2y210x0 交于点 a，b，m 为弦 ab 的中点，则点 m 的横坐标的取值范围是_13在 dabc中，若c =120， tan a =3tan b， sin a =lsin b，则实数l=_14已知函数 f (x)=-1,x-1,0

4、，g(x)=a 2 2 2 log x +3 a, x ,2 ，若对任意的 x ,2 2 2 ，总存在x -1,0使得g(x 1 0)=f(x)成立，则实数 a 的取值范围是_ 1二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在 答题纸的指定区域内）15（本题满分 14 分）已知向量a =(1,m)，b =(2, n )（1）若 m =3， n =-1，且a (a +lb)，求实数l的值；（2）若a +b =5 ，求 a b的最大值1 1 111 1 111 11 116（本题满分 14 分）如图，在三棱柱 abca b c 中，abac

5、，a cbc ，ab bc ，d，e 分别是 ab ，bc 的中点 求证：（1）de平面 acc a ；（2）ae平面 bcc b ；17（本题满分 14 分）如图，om，on是某景区的两条道路（宽度忽略不计，om为东西方向），q为景区内一景点，a为道路6 10om上一游客休息区已知tanmon3，oa6(百米)，q到直线om，on的距离分别为3(百米)， (百5米)现新修一条自a经过q的有轨观光直路并延伸至道路on于点b，并在b处修建一游客休息区（1） 求有轨观光直路ab的长；（2） 已知在景点q的正北方6 百米的p处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟表演时，喷泉喷洒区域以p为

6、圆心，r为半径变化，且t分钟时， r 2 at (百米)（0t9，0a1）当喷泉表演开始时，一观光车s（大小忽略不计）正从休息区b沿（1）中的轨道ba以 2(百米/分钟)的速度开往休息区a，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由nbpqoa （第 17 题）m18（本题满分 16 分）在平面直角坐标系 xoy 中，过点 p (0,1) 且互相垂直的两条直线分别与圆m : ( x -2)2 +( y -1)2=1 交于点 c , d 与圆3ab =7 ，求 cd 的长；（1）若2o : x2+y2=4 交于点 a, b ，（2）若 cd中点为e，求dabe面积的取值范围yapcemd

7、xob00019（本题满分 16 分）已知数列 a n，其前 n 项和为 sn，满足 a =2 1， s =lna +ma n n n-1，其中 n 2 ， n n*，l， mr （1）若 l = 0 ， m = 4 ， b = an n +1- 2a （ n n *），求证：数列 b n n是等比数列；（2）若数列 a n是等比数列，求 l， m的值；（3）若 a =3 2，且 l+m=32，求证：数列 a n是等差数列20（本题满分 16 分）已知函数 f(x)exa(x1)，其中 e 自然对数的底数，ar（1） 讨论函数 f(x)的单调性，并写出相应的单调区间；（2） 已知 a0，br，

8、若 f(x)b 对任意 xr 都成立，求 ab 的最大值；（3） 设 g(x)(ae)x，若存在 x r，使得 f(x )g(x )成立，求 a 的取值范围， n =x y，若 mn =5 13南京二十九中 2020 届高三年级第二学期阶段测试数学试题21【选做题】在 a、b、c 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作 答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分）设矩阵m =1 2 2 4-1 -1 0 2 ，求矩阵 m 的逆矩阵m-1b选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）x3cos，已知椭圆

9、 c 的参数方程为 ( 为参数)若点 p 在椭圆 c 上，求点 p 到直线 l：xy80ysin的距离 d 的最大值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目 a，b，c 的测试，如果通过两个或三个项目的1测试即可被录取若甲、乙、丙三人通过 a，b，c 每个项目测试的概率都是 2012nk（1） 求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2） 设甲、乙、丙三人中被录取的人数为 x，求 x 的概率分布和数学期望23（本小题满分 10 分）2

10、已知 n 为给定的正整数，设 ( +x ) n =a +a x +a x 2 +l +a x n ， x r 3（1）若 n =4 ，求 a ， a 的值；0 11 n（2）若 x = ，求 ( n -k ) a x 3k =0k的值参考答案11，2，3，4，5 233 54 65156 87 18479 44810 811 8,485 12( ，5213 14 1 + 1310 a 115（本题满分 14 分）解：（1）当m =3，n =-1时，a =(1,3)，又b =(2, -1)，11 1 11 11 11 1111111 1 11 11 111111 a +lb=(1,3) +l(2

11、, -1) =(1+2l,3 -l)，若a (a +lb) ，则 a (a +lb ) = 0 ，即 (1+2l) +3(3 -l)=0 ，解得 l =10 （2）因为a =(1,m)，b =(2, n)，所以a +b = (3, m +n )，因为a +b =5 ，所以 32 +( m +n ) 2 =5 2 ，则 ( m +n ) 2=16，所以a b= 12 +mn 2 +1 1( m +n ) 2 =2 + 16 =6 4 4，故当 m =n =2 或 m =n =-2时， a b的最大值为 615（本题满分 14 分）证明：（1）连结 a b，在三棱柱 abca b c 中，aa b

12、b ，且 aa bb ， 四边形 aa b b 是平行四边形，又d 是 ab 的中点，d 是 ba 的中点，在c 中，d 和 e 分别是 ba 和 bc 的中点，dea c，de平面 acc a ，a c平面 acc a ，de平面 acc a （2）由（1）知 dea c，a cded，ab ，de平面 ade，bc 平面 ade，ae平面 ade，aebc ，111 1()2在abc 中，abac，e 是 bc 的中点，aebc，aebc ，aebc，bc bcb，ae平面 bcc b 17（本题满分 14 分）解：（1）以点 o 为坐标原点，直线 om 为 x 轴，建立平面直角坐标系则由

13、题设得 a(6，0)，直线 on 的方程为 y =-3x，q3 x +36 100=，解得 x =3 ，所以 q (3，3) 由0510(x ，30)(x00)故直线 aq 的方程为 y =-(x-6)， y =-3x， x =-3，由 得 即 b -3，9 ，故 ab = x +y -6 =0 y =9，(-3-6)+92=9 2 ，答：水上旅游线 ab 的长为 9 2 km（2）将喷泉记为圆 p，由题意可得 p(3，9)，生成 t 分钟时，观光车在线段 ab 上的点 c 处，则 bc 2t，0t9，所以 c(3t，9t)若喷泉不会洒到观光车上，则 pc2r2对 t0，9恒成立，即 pc2(

14、6t)2t22t212t364at，当 t0 时，上式成立，18 18当 t(0，9时，2at 6，(t 6) 6 26，当且仅当 t3 2时取等号，t t min因为 a(0，1)，所以 rpc 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上答：喷泉的水流不会洒到观光车上18kk解：（1）直线ab斜率显然存在，设为k，则直线ab : y =kx +1，因为(ab 1) 2 +(2 2+1) 2 =4，所以ab =24k 2 +3 k 2 +1，由24 k 2k 2+3 3= 7+1 2得k2=15，cd( )22=1 -(2- +1 -1 k1 1 +( - ) 2k)2，所以cd =2 1 -4 4

15、=2 1 - = 3 k 2 +1 15 +1（2）当直线 ab 斜率不存在时， dabe 的面积 s =124 2 =4；当直线 ab 斜率存在时，设为 k ，则直线ab : y =kx +1，显然 k 0，直线1 cd : y =- x +1k，由1- 2-1+1 k1( - ) 2 +1 k3，所以k ( -,- 3) u ( 3, +)因为(ab 1) 2 +(2 2+1) 2 =4，所以ab =24k 2 +3 k 2 +1，e到直线ab的距离即m到ab的距离，为d =2 k -1+1 k 2 +1=2 kk 2 +1，所以 dabe 的面积 s =1 (4 k 2 +3)k 2 a

16、b d =22 ( k 2 +1)2=233 +k 21(1+ )k 22，t + -2令4 +3k 2=t (4 t 5)t 1 3，则 s =6 =6 ( 5, 4) (t -1)2 1 2t综上， dabe 面积的取值范围(325, 419（本题满分 16 分）（1）证明：若 l= 0, m= 4 ，则当 s = 4an n -1(n 2 )，所以 an +1= sn +1- s = 4(a - a ) n n n -1，即 an +1- 2a = 2( a - 2a ) n n n -1，所以 b =2b n n -1，又由 a = 21， a + a = 4a 1 2 1，得 a =

17、 3a = 62 1， a - 2a = 2 0 2 1，即 b 0n，b所以 n = 2 ， bn -1故数列 b n是等比数列（2）若 a n是等比数列，设其公比为 q （ q 0 ），当 n = 2 时， s = 2la + ma ，即 a + a = 2la + ma ，得 1 + q = 2lq + m2 2 1 1 2 2 1，当 n = 3 时， s = 3la + ma3 3 2，即 a + a + a = 3la + ma1 2 3 32，得 1 + q + q2= 3lq2+ mq ，当 n = 4 时， s = 4la + ma ，即 a + a + a + a = 4l

18、a + ma ，得 1 + q + q4 4 3 1 2 3 4 4 32+q3= 4lq3+ mq2 ，-q ，得 1 = lq 2 ，n n -1n +1n +1 n2 2nn +1 n n -1-q ，得 1 = lq 3 ，解得 q = 1,l= 1 代入式，得 m = 0 此时 s = na n n(n 2 )，所以 a = a = 2 n 1， a n是公比为 1 的等比数列，故 l=1，m= 0 （3）证明：若 a = 3 ，由 a + a = 2la + ma2 1 2 2 1，得 5 = 6l+2 m，又 l+ m=3 1，解得 l= ，m= 1 2 2由 a =2 ， a

19、=3 ， l = 1 212， m =1 ，代入 s =lna +ma 得 a =4n n n -1 3，所以 a1， a2， a3成等差数列，由 s =nn n +1a +a ，得 s = a +a ， 2 2两式相减得： an +1=n +1 na - a +a -a n +1 n n n -1即 ( n -1)a n +1-( n -2)a -2an n -1=0所以 nan +2-( n -1)an +1-2a =0n相减得： na n +2-2(n -1)an +1+( n -2) a -2a +2an n n -1=0所以 n( a n +2-2an +1+a ) +2(a n n

20、 +1-2a +a ) =0n n -1所以 ( an +2-2 an +12 2 2 +a ) =- ( a -2 a +a ) =n n( n -1)( a -2 a +a ) n n -1 n -2=l l =( -2) n -1 n(n -1)l 2( a -2 a +a ) 3 2 1，mine因为 a -2a +a =0 ，所以 a 1 2 3 n+2-2an +1+a =0n，即数列 a n是等差数列16 分20(1)由 f(x)exa(x1)，知 f (x)exa若 a0，则 f (x)0 恒成立，所以 f(x)在(，)上单调递增； 若 a0，令 f (x)0，得 xlna，当

21、 xlna 时，f (x)0，当 xlna 时，f (x)0，所以 f(x)在(，lna)上单调递减；在(lna，)上单调递增 (2)由(1)知，当 a0 时，f (x)f(lna)alna因为 f(x)b 对任意 xr 都成立，所以 balna，所以 aba2lna1设 t(a)a2lna，(a0)，由 t(a)(2alnaa2 )a(2lna1)，a1令 t(a)0，得 ae 2，1 1当 0ae 2时，t(a)0，所以 t(a)在(0，e 2)上单调递增； 1 1当 ae 2时，t(a)0，所以 t(a)在(e 2，)上单调递减，11所以 t(a)在 ae 2处取最大值，且最大值为 2e

22、所以 aba21 11 1 1 lna ，当且仅当 ae 2，b e 2时，ab 取得最大值为 2e 2 2e(3)设 f(x)f(x)g(x)，即 f(x)exex2axa，题设等价于函数 f(x)有零点时的 a 的取值范围当 a0 时，由 f(1)3a0，f(1)e 1ea0，所以 f(x)有零点当 a0 时，若 x0，由 e2a0，得 f(x)ex(e2a)xa0； 20005 134 323若 x0，由(1)知，f(x)a(2x1)0，所以 f(x)无零点e当 a 时，f(0)1a0，21a又存在 x 0，f(x )1(e2a)x a0，所以 f(x)有零点e2ae综上，a 的取值范围

23、是 a 或 a0221【选做题】在 a、b、c 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作 答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分）解：因为mn =0 2 ，所以 2 x -y =5, 4 x -y =13.所以x =4, y =3；矩阵m =1 2 的逆矩阵m-1=-453525-15 b选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 设 p( 3cos，sin)，|2cos( )8| 3cossin8| 6则点 p 到直线 l 的距离 d ，2 27 10所以当 时，d 取到最大值 5 26 222(1)设甲恰好通过两个项目测试的事件为 a1 1 3p(a)c ( )2(1 ) 2 2 82313230414knnknnnn -1n -13答：甲恰好通过两个项目测试的概率为 8(2