宏观电磁场理论1

1、一. 宏观电磁场理论,下 页,电磁感应、位移电流的概念,4. 动态位及其波动方程,内容,2. 麦克斯韦方程,5. 电磁场理论的几个基本定理,3. 电磁场量的衔接条件,6. 电磁波和电磁波动方程,1.电磁感应定律,1831年法拉弟在实验中观测到电磁感应现象，发现仅当与回路交链的磁通发生变化时产生磁的电效应，如,电磁感应定律和全电流定律,下 页,上 页,电磁感应现象的产生分为两类,下 页,上 页,磁场不变，导体回路运动,导体回路不动，磁场变化,两类现象的共同点,导体回路的磁感应通量发生了变化产生感应电势,感生电动势的参考方向,注意 负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化,1）回路不动，磁场

2、随时间变化,称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势,感生电动势,由电磁感应的类型得感应电势产生的方法,下 页,上 页,2）磁场不变，回路运动切割磁力线,称动生电动势，是发电机工作原理，亦称发电机电势,动生电动势,下 页,上 页,若b均匀，且l、b、v三者垂直，则,3）磁场随时间变化，回路切割磁力线,下 页,上 页,两种电磁感应现象是两种物理性质不同的现象，但都服从统一的法拉第电磁感应定律,结论,产生电场的源不仅有电荷，变化的磁场也产生电场，电场与磁场紧密相连,电磁感应定律表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电势，感应电势与构成回路的材料性质无关，回路的材料决定感应电流的

3、大小。麦克斯韦将电磁感应定律推广到一切假想的闭合回路,下 页,上 页,麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发了感应电场，对闭合回路有,感应电场不是守恒场,讨论,楞次定律的作用,变化的磁场产生感应电场,磁铁向下,感应电流产生的磁场与磁铁相斥,外力做功转化为感应电流引起的热损耗,楞次定律实际是能量守恒定律在电磁感应现象中的反映,2. 全电流定律,问题的提出,下 页,上 页,法拉第根据电磁之间的对偶关系，提出变化的磁场产生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢,麦克斯韦从安培环路定律与电荷守恒定律的矛盾出发提出随时间变化的电通量与传导电流一样可以产生磁场,电流连续,交变电路用安培环路定律,电荷与电流连续

4、性定律,取s1面有,下 页,上 页,线积分结果不同,取s2面有,安培环路定律,下 页,上 页,安培环路定律和电荷与电流连续性定理只有在恒定情况下是一致的，在时变情况下是矛盾的,麦克斯韦认为,电荷与电流连续性定理符合电荷守恒定律是无可怀疑的，而安培环路定律是在恒定情况下得出的需加以修正,麦克斯韦的两个假设,静电场中的高斯定理在时变情况下仍然是正确的,下 页,上 页,全电流连续,位移电流与传导电流一样具有磁的效应,位移电流,在时变场中，单纯的传导电流是不连续的，传导电流加位移电流才是连续的，这就是麦克斯韦位移电流假说,结论,全电流定律,传导电流中断处位移电流接上,下 页,上 页,当,当,不仅传导电

5、流引起磁场，位移电流（变化的电场）也引起磁场,下 页,上 页,位移电流不代表电荷运动，只是在产生磁的效应方面与传导电流等效,全电流定律适用于时变场也适用于恒定场,全电流定律反映了电场和磁场作为一个统一体相互制约、相互依赖的另一个方面，它和法拉第电磁感应定律处于同一地位,位移电流,下 页,上 页,已知平板电容器的面积 s ,相距d ,介质的介电常数，板间电压u( t )。试求位移电流 id及传导电流 ic与 id 的关系,例,解,忽略边缘效应和感应电场,电场,1. 电磁场基本方程组 (maxwell equations,综上所述,电磁场基本方程组,全电流定律,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定

6、律,maxwill eguations and boundary conditions,电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变化 的磁场都能产生电场,磁通连续性原理：表明磁场是无源场 , 磁力线总是闭合曲线,高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的磁场以涡旋的形式产生电场,4.2 电磁场基本方程组分界面上的衔接条件,下 页,上 页,在各向同性的媒质中,下 页,上 页,麦克斯韦方程组适用于时变场也适用于恒定场，它全面表达了电磁场的基本规律，是分析和研究电磁场问题的依据,结论,麦克斯韦第一、二方程是独立方程，三、四方程可以从一、二方程中推得,下 页,上 页,同理,麦克斯韦第一、二方程

7、的核心是变化的电场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场，说明电磁场可以脱离电荷和电流而独立存在，且相互作用相互推动，由此麦克斯韦在理论上预言了电磁波的存在,某一瞬间 e 线与 h 线在空间的分布,下 页,上 页,时单元偶极子天线 e 线与 h 线分布,动态描述单元偶极子天线辐射形成的过程,时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，应用积分形式的基本方程,2. 分界面上的衔接条件,下 页,上 页,法向分量,电场的切向分量,根据,下 页,上 页,磁场的切向分量,根据,折射定律,下 页,上 页,推导时变场中理想导体与理想介质分界面上的衔接条件,例,分析,在理想导体中,为有限值,若,b

8、由0c的建立过程中,结论: 理想导体内部无电磁场，电磁波发生全反射,根据衔接条件,分界面介质侧的场量,导体表面有感应的面电荷和面电流,下 页,上 页,3.时变场中的唯一性定理,时变场中的唯一性定理说明在时变场中求解麦克斯韦方程组获得唯一解答所需满足的充分必要条件,唯一性定理,下 页,上 页,在所求区域v中满足麦克斯韦方程组,在所求区域个各点e、h 满足已知的初始条件,在所求区域边界e、h 的切线分量等于已知值,1. 时变场中的动态位,动态位及其积分解,下 页,上 页,1） 引入位函数的依据是什么； 2） 位函数和场量满足怎样的关系； 3） 位函数满足怎样的微分方程,从maxwell方程组出发,

9、矢量位,提出问题,在时变场中是否可以象恒定场那样引入位函数,下 页,上 页,标量位,动态位引入的依据,动态位与场量的关系,注意,a、 相互联系，结合在一起才能确定电磁场，它们是时间和空间坐标的函数，故称为动态位,在时变场中如求得 a、，就可以通过位函数求得场量b、e,下 页,上 页,2）洛仑兹规范,1）库仑规范,当一个矢量场的旋度和散度确定以后，这个矢量场才是唯一确定的,给动态矢位a加一散度条件（称为规范,2. 库仑规范和洛仑兹规范,如,唯一确定动态位a,带入洛仑兹规范,由,由,下 页,上 页,3. 动态位的微分方程,把动态位的定义带入麦克斯韦方程中,注意,下 页,上 页,达朗贝尔方程或波动方

10、程,洛仑兹规范的特殊性质是使a、具有相同形式的微分方程， a、完全分开，简化了动态位与场源之间的关系,若场量不随时间变化，达朗贝尔方程蜕变为泊松方程,达朗贝尔方程适用于各向同性线性的媒质,对波动方程取散度,得,代入洛仑兹条件,洛仑兹规范是电流连续性原理的体现,下 页,上 页,交换微分次序,将的波动方程代入上式，得,整理得,下 页,上 页,4. 达朗贝尔方程的解,以时变点电荷为例，除坐标原点外场中各点满足,下 页,上 页,f 1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数，其具体形式与点电荷的变化情况及空间媒质情况有关,取球坐标,通解,一维波动方程,有,通解的物理意义,下 页,上 页,讨论,当,这种在

11、一给定时间和位置发生的某一物理现象，在下一时间和位置重复发生且延迟的时间与离开前一位置的距离成比例的一组现象称为波,说明 f1 以有限速度 向 方向传播，称之为入射波,下 页,上 页,入射波,当,在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2 = 0,下 页,上 页,波的入射、反射与透射,把波动方程和泊松方程的解结合，由此推论，时变点电荷的动态标量位为,动态位的积分的表达式,根据叠加原理，连续分布电荷产生的位函数为,无反射,无反射,无限大均匀媒质,下 页,上 页,讨论,若激励源是时变电流源时,无反射,达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取 决于 时刻的激励源。又称 为滞后 位，即动态位随时间的变化

12、落后于源的变化,下 页,上 页,方程的解说明电磁场的特性,场的滞后性,下 页,上 页,场的波动性,达朗贝尔方程解的形式表明：场量变化比场源变化滞后的时间正是波以速度v 推进距离r 所需要的时间，电磁波是以有限速度以波的形式传播的， 光也是一种电磁波,恒定场中，电场能量储存在电场中，磁场能量储存在磁场中，能量密度分别为,下 页,上 页,问题的提出,时变场中，电场磁场同时存在，电磁能量密度为多少,麦克斯韦假设时变场中任何时刻空间任一点的电磁能量密度为,下 页,上 页,说明,电磁能量随时间变化，即电磁场的相互作用导致电磁波动，电磁波动伴随电磁能量在空间的流动（传播,任何时刻空间任一点的电磁能量是如何

13、传播的,电磁场中任一体积v内储存的总电磁能量为,1. 坡印亭定理,坡印亭定理给出了电磁能流和电磁场量之间的一般关系，反映了电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律,麦克斯韦方程,下 页,上 页,两式相减,体积v内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面 s 传播到外面的电磁功率,下 页,上 页,若考虑体积内含有电源,坡印亭定理,坡印亭定理的物理意义,在恒定场中,坡印亭定理是电磁场的能量守恒表达式是宏观电磁现象的一个普遍定理,下 页,上 页,注意,坡印亭定理适用于时变场也适用于恒定场,若不存在外电源,若不存在导电媒质,磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成

14、能量的流动,表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，s 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向,2.坡印亭矢量,w/m2,定义坡印亭矢量,下 页,上 页,电磁波的传播,用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a 和b,理想导体内部电磁场为零，s内=0,坡印亭矢量存在于内外导体间的介质中,下 页,上 页,3.坡印亭定理的应用,例,解,电缆外部电磁场为零，s外=0,设介质无损耗,电场强度,磁场强度,坡印亭矢量,下 页,上 页,流入内外导体间任意封闭面的功率为,当导体和介质无损耗时，电源提供的能量全部输送

15、到负载，能量是通过坡印亭矢量传递的,下 页,上 页,结论,s在导体之间的介质中传输，说明电磁能量是通过导体周围的电磁场传播的，导线只起导引电磁能流走向的作用,例,解,电缆长为 l，内导体半径为a，电导率为，试分析内导体损耗的能量,下 页,上 页,设,电场,磁场,计算导体吸收的功率,内导体表面,下 页,上 页,结论,对于有损耗的传输线电磁能量仍通过导体之间的坡印亭矢量（导体周围的电磁场）传输，在传输的过程中部分能量被导体电阻消耗，部分能量传递到负载,电路中正弦量有三要素：振幅、频率和相位,正弦电磁场也有三要素：振幅, 频率和相位,1.正弦电磁场的复数形式,正弦电磁场,下 页,上 页,正弦电磁场基

16、本方程组的复数形式,场量与动态位的关系,下 页,上 页,在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为,称之为平均功率流密度,s 在一个周期内的平均值为,2. 坡印亭定理的复数形式,下 页,上 页,同理,实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度,定义,坡印亭矢量的复数形式,下 页,上 页,例,证,证明,设,取体积分，利用高斯散度定理，并将 代入体积分项，有,对 取散度，展开为,下 页,上 页,坡印亭定理的复数形式,无功部分,有功功率 无功功率,可用于求解电磁场问题的等效电路参数,下 页,上 页,若体积 v 内无电源，闭合面 s 内吸收的功率为,自由空间中电场强度ex=50cos（t- z），求在z=z0处穿过半径r=2.5m的圆平面的平均功率,下 页,上 页,例,解,当平板电容器两极板间加正弦工频交流电压 u（ t ） 时，试分析电容器中储存的电磁能量（忽略边缘效应,忽略感应电场,根据全电流定律,下 页,上 页,两圆电极的平板电容器,例,解,整理得,复坡印亭矢量,吸收能