高等数学：11-9多重积分应用

1、第9节,一、物体的质心,二、物体的转动惯量,三、物体的引力,上页 下页 返回 结束,多元函数积分的物理应用,一、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即,采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心,上页 下页 返回 结束,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,上页 下页 返回 结束,同理可得,则得形心坐标,上页 下页 返回 结束,若物体为占有xoy 面上区域

2、D 的平面薄片,A 为 D 的面积,得D 的形心坐标,则它的质心坐标为,其面密度,对 x 轴的 静矩,对 y 轴的 静矩,上页 下页 返回 结束,例1. 求位于两圆,和,的质心,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,上页 下页 返回 结束,例. L为球面,面的交线 , 求其形心,在第一卦限与三个坐标,解: 如图所示 , 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,上页 下页 返回 结束,例. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心,解: 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,上页 下页 返回 结束,二、物体的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y

3、, z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算,上页 下页 返回 结束,类似可得,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,上页 下页 返回 结束,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分,上页 下页 返回 结束,例3. 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量,上页 下页 返回 结束,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例4.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量,设球,所占域

4、为,用球坐标,上页 下页 返回 结束,例. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I (设线密度 = 1,解: 建立坐标系如图,则,上页 下页 返回 结束,G 为引力常数,三、物体的引力,设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,在上积分即得各引力分量,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,上页 下页 返回 结束,对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,上页 下页 返回 结束,例5,设面密度为 ,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解: 由对称性知引力,处的单位质量质点的引力,上页 下页 返回 结束,例6. 求半径 R 的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力,解: 利用对称性知引力分量,点,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,作 业,P253 A类： 1(1); 2(1); 3(1); 4; 5; 8,上页 下页 返回 结束,t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,1.设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,比例系数 0.9,问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小时? (01考研,上页 下页 返回 结束,附加题,提示,记雪堆体积为 V, 侧面积为