数学建模与数学实验：2.6 非线性方程近似根

1、问题背景和研究目的,解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一,非线性方程没有一般的解析方法,本节主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法 （ 牛顿法）。同时要求学会利用Matlab 来求方程的近似解,2.6 非线性方程近似根,问题： 求连续的非线性方程 的根的近似值,根的隔离,若函数 f(x) 在闭区间a,b上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在开区间 (a,b)内至少存在一个根。通过根的隔离，可假设此区间内存在唯一根 x,基本思想,二分法,将有根区间进行对分，判断出解在某个区间内，然后再对该区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为止,

2、算法,二分法,设方程在区间 a,b 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ，若有 |f(x)| ，则 x 就是f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根,收敛性分析,二分法收敛性,设方程的根为 x* (an , bn ) ，又 ，所以,根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 an , bn ，在 (an, bn ) 中含有方程的根,二分法总是收敛的,二分法的收敛速度较慢 通常用来给出根的一个 较为粗糙的近似,一步迭代法,(x) 的不动点,f (x) = 0,x = (x,f (x) 的零点,x) 称为迭代函数,若 收敛，即 ，假设 (x) 连续，则,收敛性分析,迭代法的

3、收敛性,即,注：若得到的点列发散，则迭代法失效,迭代法的收敛性判据,定理2.1：全局收敛,定理2.2：全局发散,定理2.3：局部收敛与发散,定理2.4：收敛速度,定义,迭代法收敛性判断,定理 2：如果定理 1 的条件成立，则有如下估计,如果存在 x* 的某个邻域 =(x*- , x* + ), 使得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛,迭代法收敛性判断,L 越小，迭代收敛越快,收敛阶,为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念： 记 ，如果 ( p=1时还要求01时称为超线性收敛。 p越大收敛越快,牛顿迭代法,令,设非线性方程 f (x)=0

4、 , f (x) 在 xk 处作 Taylor 展开,牛顿迭代公式,k = 0, 1, 2, .,牛顿迭代公式,牛顿法的优点,牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法,对于单重根迭代2阶收敛，收敛速度较快， 特别是当迭代点充分靠近精确解时,在实际计算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解,牛顿迭代法大范围收敛性,割线法,与Newton法不同的是，用割线法计算 时，需要有两个初始值 。割线法是一种两步迭代法，不能直接用单步迭代法收敛性分析的结果。 下面给出割线法收敛性的定理,定理 设 ,在区间 上的二阶导数连续,且 。又设 ，其中 则当

5、时，由迭代式产生的序列 ，并且按 阶收敛到根,割线法的收敛阶虽然低于Newton法，但迭代一次只需计算一次 函数值，不需计算导数值 ，所以效率高，实际问题中经常使用,Matlab 解方程的函数,roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量,fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用 inline、字符串、或 ，但不能是方程或符号表达式,solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解,linsolve(A,b)：解线性方程组,其他 Ma

6、tlab 相关函数,g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数 g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数 g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数,diff,f 是符号表达式，也可以是字符串,默认变量由 findsym(f,1) 确定,syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x,g=diff(sin(x)+3*x2,x,作业,用两种迭代法求解下面非线性方程的根： 1） Newton迭代法； 2）自己构造（非牛顿）一步迭代格式（需讨论并保证收敛性） 迭代过程可以计算器（机）编程实现,迭代法的加速,设迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的 近似根分别为 xk 和 (xk) ，令,其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = (xk,松弛迭代法,松弛法迭代公式,松弛法具有较好的加速效果，甚至有些不收敛的迭代，加速后也能收敛,缺点：每次迭代都需计算导数,Altken 迭